王銀國(guó)

[摘 ? 要]研究扇形內(nèi)接矩形問題的解決方法，有利于開闊學(xué)生視野，提高學(xué)生解題能力.

[關(guān)鍵詞]扇形;內(nèi)接矩形;視角

[中圖分類號(hào)] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號(hào)] ? ?1674-6058（2019）26-0021-01

人教版數(shù)學(xué)教材A版必修4第141頁(yè)的例4是三角函數(shù)的一道綜合應(yīng)用問題.它的處理較好地涵蓋了三角函數(shù)、解斜三角形和函數(shù)應(yīng)用的主要內(nèi)容，很好地展示了數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的基本處理方法，是一道經(jīng)典的三角函數(shù)應(yīng)用題.

【問題】如圖1所示，已知OPQ是半徑為1，圓心角為[π3]的扇形，C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，ABCD是扇形內(nèi)接矩形.記[∠COP=α]，求當(dāng)角[α]取何值時(shí)，矩形ABCD的面積S最大？并求出這個(gè)最大面積.

一、一般三角形視角

分析：找出面積S與角[α]的函數(shù)關(guān)系，再通過求函數(shù)S的最大值就可以找到矩形面積的最大值.

方法1：在直角△OBC中 ， [OC=1]， [∠COP=α] ，

所以[BC=sinα]，在△ODC中， ?∠DOC=[π3-α] ，∠ODC=120° ， 其中[0<α<π3] .

由正弦定理得[DCsinπ3-α=OCsin120°] ，所以[DC=sinπ3-αsin120°=2332cosα-12sinα]，

矩形ABCD的面積[S（α）=BC×DC=]

[2332cosα-12sinαsinα][=2332cosαsinα-12sin2α=][2334sin2α-14（1-cos2α）][ =]

[1332sin2α+12cos2α-14][=]

[13sin2α+π6-][143].

由[0<α<π3]得 [π6<2α+π6<5π6]，所以當(dāng)[2α+π6=π2]，即[α=π6]時(shí) S有最大值[36].

二、直角三角形視角

方法2：如圖1所示，在直角△OBC中，[OB=]

[cosα]，[BC=sinα].在直角△OAD中，[OA=sinα3]，[AB=cosα-sinα3]，矩形ABCD的面積[S（α）=AB×BC=cosα-13sinαsinα].以下處理過程同上.

三、坐標(biāo)視角

方法3：以O(shè)P所在直線為x軸，過O垂直于OP的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系.設(shè)[BC=a]，DC所在直線方程為y=[a]，它與圓[x2+y2=1]交點(diǎn)的坐標(biāo)為（[1-a2]，[a]），OQ所在直線方程為y=[3]x與x=[a]交點(diǎn)坐標(biāo)為[a3 ， a].

解析幾何方法表達(dá)矩形邊長(zhǎng)同樣可以求得.[BC=a]， [DC=1-a2-a3].以下處理過程同上.

方法4：設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（cos[α] ，sin[α]），[BC=sinα]， [OB=cosα]，[OA=sinα3]，[AB=cosα-sinα3]，矩形ABCD的面積[S（α）=AB×BC=cosα-13sinαsinα].以下處理過程同上.

上述三種視角處理過程相似，但使用的工具完全不同，它把函數(shù)、三角函數(shù)、解析幾何三個(gè)內(nèi)容進(jìn)行了整合，涉及數(shù)學(xué)學(xué)科的主要內(nèi)容，很好地構(gòu)建了數(shù)學(xué)學(xué)科的一張知識(shí)與思想方法的網(wǎng)絡(luò)，體現(xiàn)了處理問題的學(xué)科價(jià)值.應(yīng)用問題可以為知識(shí)的應(yīng)用提供似曾相識(shí)而又陌生的背景，在陌生的背景下才能讓知識(shí)靈活應(yīng)用.因此知識(shí)的應(yīng)用才是學(xué)習(xí)的終極目的.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）