孫玉芹 劉建軍

摘要：詳細(xì)介紹了大學(xué)數(shù)學(xué)課程中《高等數(shù)學(xué)》的一個教學(xué)案例，從問題的背景知識鋪墊開始，講述了課程教學(xué)的主要內(nèi)容，其中嵌入了數(shù)學(xué)史的相關(guān)知識、數(shù)學(xué)人文思想的相關(guān)介紹，最后對教學(xué)內(nèi)容進行了評析，將純粹傳授數(shù)學(xué)知識升華到教學(xué)理念的哲學(xué)層面、人才培養(yǎng)的價值引領(lǐng)和專業(yè)課程思政的高度。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué);教學(xué)案例;哲學(xué)思維;課程思政

中圖分類號：G642.4? ? ?文獻標(biāo)志碼：A? ? ?文章編號：1674-9324（2019）42-0175-02

一、背景

1.極限概念奠定了高等數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)。極限思想是由于求某些實際問題的精確解答而產(chǎn)生的。例如，我國古代數(shù)學(xué)家劉徽（公元3世紀(jì)）利用圓內(nèi)接正多邊形來推算圓面積的方法——割圓術(shù)，就是極限思想在幾何學(xué)上的應(yīng)用。又如，春秋戰(zhàn)國時期的哲學(xué)家莊子（公元4世紀(jì)）在《莊子·天下篇》中對“截丈問題”有一段名言：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”，其中也隱含了深刻的極限思想，也是現(xiàn)代微積分中本質(zhì)的思想。

2.極限的運算提供了高等數(shù)學(xué)施行的工具。極限是研究變量的變化趨勢的基本工具，是人們從有限認(rèn)識無限的基本方法，本質(zhì)上是客觀世界從量變引起質(zhì)變過程的一種反映。高等數(shù)學(xué)中許多基本概念，如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、無窮級數(shù)等都是建立在極限的基礎(chǔ)上的。極限方法又是研究函數(shù)的一種最基本的方法。

3.清醒地認(rèn)識無限是哲學(xué)思維的一次突破。初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)在有限問題和無限問題上的差別何在？搞清楚這個問題不僅可以提高數(shù)學(xué)能力，而且可以提升思維素養(yǎng)。用有限的生命創(chuàng)造無限的價值，更是人文精神的進階。

二、展示

1.利用“割圓術(shù)”介紹極限思想。黑板上先畫一個圓，在圓內(nèi)作內(nèi)接正n邊形把圓周等分，一般的把內(nèi)接正6×2邊形的周長記為C（n為自然數(shù)）。這樣得到一系列內(nèi)接正多邊形的周長，當(dāng)n越大，越是把圓周分割得細(xì)，其內(nèi)接正多邊形的周長就越接近圓周。但是無論n取多大，只要它被取定了，它所對應(yīng)的正多邊形的周長就不是圓的周長，所以必須如此不斷地分割下去，一直到圓周無法再分割為止，即設(shè)想n無限增大，它的周長就與圓周“合體”而完全一致了。圓的周長是確定的數(shù)值，這個確定的數(shù)值也可以理解為一列有次序的數(shù)（即數(shù)列）當(dāng)n→∞時的極限。

備注1：我國古代（公元3世紀(jì)）數(shù)學(xué)家劉徽形容他的“割圓術(shù)”說：割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣。布置學(xué)生研讀教科書中用圓的面積作為描述對象的講解。

備注2：“割圓術(shù)”思想與古希臘“窮竭法”不謀而合，在圓周率計算史上曾長期使用。1610年德國數(shù)學(xué)家柯倫用2邊形將圓周率計算到小數(shù)點后35位，1630年格林貝爾格利用改進的方法計算到小數(shù)點后39位，成為割圓術(shù)計算圓周率的最好結(jié)果。分析方法發(fā)明后逐漸取代了割圓術(shù)，但割圓術(shù)作為計算圓周率最早的科學(xué)方法一直為人們所稱道。

備注3：劉徽所處的時代是魏、蜀、吳三國割據(jù)的時代，那時候中國的社會、政治、經(jīng)濟發(fā)生了極大的變化，特別是思想界，文人學(xué)士們互相進行辯難，所以當(dāng)時一幫文人學(xué)士走到一起，一個正方一個反方，提出一個命題大家互相辯論，在辯論的時候人們就研究討論關(guān)于辯論的技術(shù)、思維的規(guī)律，所以在這一時期人們的思想解放是在春秋戰(zhàn)國之后沒有過的，這時人們對思維規(guī)律的研究特別發(fā)達，有人認(rèn)為這時人們的抽象思維能力遠遠超過春秋戰(zhàn)國。劉徽在《九章算術(shù)注》的自序中表明：把探究數(shù)學(xué)的根源作為自己從事數(shù)學(xué)研究的最高任務(wù)。他注《九章算術(shù)》的宗旨就是“析理以辭，解體用圖”?！拔隼怼本褪钱?dāng)時學(xué)者們互相辯難的代名詞。劉徽通過析數(shù)學(xué)之理，建立了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的理論體系。眾所周知，古希臘數(shù)學(xué)取得了非常高的成就，建立了嚴(yán)密的演繹體系。然而，劉徽的“割圓術(shù)”卻在人類歷史上首次將極限和無窮小分割引入數(shù)學(xué)證明，成為人類文明史中不朽的篇章。

2.舉例說明數(shù)列的各種表現(xiàn)。有的數(shù)列通項無論下標(biāo)變得多大，都看不出確定的趨勢，另外有的數(shù)列能夠看出確定的趨勢，由此引出數(shù)列極限的精確概念。

3.數(shù)列的“ε→δ”定義。設(shè){x}為實數(shù)數(shù)列，a為確定的數(shù)。若對任給的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時，總有|x-a|<ε，則稱數(shù)列{x}收斂于a，定數(shù)a稱為數(shù)列{x}的極限。

備注4：本定義堪稱《高等數(shù)學(xué)》課程中最精妙的定義之一，上文畫線的“4句話”是最巧妙的組合，它們的功能各不相同，缺一不可，在此詳細(xì)講解四句話在概念中的作用和注意事項。

備注5：定義中的N可能是非常大的數(shù)，然而不管它多大，它都是有限的，都與無限具有本質(zhì)的區(qū)別?！盁o限”的意境可以描述為“滿園春色關(guān)不住，一枝紅杏出墻來”。

備注6：極限定義中涉及的“無限”，還有哪些怪異的性格呢？提示：自然數(shù)集合是無限個元素的集合，自然數(shù)中有奇數(shù)和偶數(shù)，那么子集合偶自然數(shù)的數(shù)量是母集合自然數(shù)數(shù)量的一半嗎？

備注7：愚公移山的故事說：“子又生孫，孫又生子，子又有孫，子子孫孫無窮匱也，而山不加增，何苦而不平？”引導(dǎo)學(xué)生用有限與無限的觀點進行描述。

三、評析

1.“體驗學(xué)習(xí)教學(xué)法”是授人以漁的教學(xué)方法?！绑w驗學(xué)習(xí)”意味著學(xué)生親自參與知識的建構(gòu)，親歷過程并在過程中體驗知識。學(xué)生對知識的理解過程并不是一個“教師傳授—學(xué)生聆聽”的傳遞活動，學(xué)生獲取知識的最好途徑是學(xué)生在親自“研究”、“思索”、“想象”中領(lǐng)悟知識，在“探究知識”中形成個人化的理解。本次課程從介紹“割圓術(shù)”到分析各種各樣的數(shù)列表現(xiàn)，都是相當(dāng)具有帶入感的過程，再現(xiàn)了歷史上該知識的形成過程，也由此傳授給了學(xué)生自己思考并逐步掌握全部內(nèi)容的方法，這種“授人以漁”的教學(xué)方法也是“為了每一個學(xué)生終身發(fā)展”的教育理念的體現(xiàn)。

2.用價值觀引領(lǐng)知識教育，把握人才培養(yǎng)的正確方向。劉徽割圓術(shù)的引用不僅體現(xiàn)在知識教育層面，也是我國兩千年文化底蘊的熏陶。數(shù)學(xué)是人類文明的火車頭，社會發(fā)展依賴數(shù)學(xué)的進步，數(shù)學(xué)能力也是體現(xiàn)公民素質(zhì)的重要組成部分。備注3的講解體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化與社會文化之間的共生與互動。

3.愚公移山故事的內(nèi)涵與外延詮釋了專業(yè)思政。愚公講述的數(shù)量表現(xiàn)是有限與無限之間非常形象的比對，然后故事主人公吃苦耐勞、持之以恒的精神也有利于培養(yǎng)合格的社會主義事業(yè)建設(shè)者和接班人。

4.有限的生命升華為無限的價值。雷鋒說：“人的生命是有限的，可是為人民服務(wù)是無限的，我要把有限的生命投入到無限的為人民服務(wù)之中去?！崩卒h在自己的人生中詮釋了有限與無限的比較，劉徽也在他有限的生命里給后人留下了無限的價值（知識無價），那么專業(yè)課程的教學(xué)過程中時常植入這樣的理念，習(xí)近平總書記提出的“培養(yǎng)什么樣的人、如何培養(yǎng)人”的問題也就迎刃而解了。

參考文獻：

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