邵愛珠

【摘 ? 要】通過有關(guān)比例知識的測查，分析與解讀不同年級學(xué)生解決簡單比例問題的方法與策略，構(gòu)建了五個解題策略的水平層次，并進(jìn)行了歸因分析：策略的選擇與年齡階段特點有關(guān)，與已有知識基礎(chǔ)有關(guān)。在此基礎(chǔ)上得出學(xué)生比例推理發(fā)展的一般路徑：三年級以上的兒童會從單維、定性的比較逐漸進(jìn)入多維、定量的比較，從單結(jié)構(gòu)的數(shù)的比差關(guān)系走向多結(jié)構(gòu)的函數(shù)關(guān)系的比較。這為在不同年級設(shè)計比例的系列教學(xué)提供依據(jù)與思路。

【關(guān)鍵詞】比例;解題策略;認(rèn)知水平

目前使用的不同版本的教材都將“比例”知識點的教學(xué)放在六年級下學(xué)期進(jìn)行，也許這正符合了“比例”這塊知識的特點：應(yīng)用性強(qiáng)、綜合性強(qiáng)，是一種新的思維方式和數(shù)學(xué)模型，需要學(xué)生在較高知識水平層面上學(xué)習(xí)。那么在學(xué)習(xí)這一內(nèi)容之前，學(xué)生對此是否一無所知，毫無感覺呢？相信教師們一定會給出否定的答案。當(dāng)然，這僅僅是憑我們的經(jīng)驗得出的結(jié)論，實際情況如何，還需要用數(shù)據(jù)來說明。為此我們進(jìn)行了一個小調(diào)查。

一、測試調(diào)查與結(jié)果

【測試目的】

1. 了解正式學(xué)習(xí)比例前，學(xué)生是否有比例相應(yīng)的思維方式。

2. 了解關(guān)于比例問題，不同年級的學(xué)生有哪些解決問題的策略。

3. 了解比例推理發(fā)展的一般規(guī)律是怎樣的，有什么教學(xué)啟示。

【測試試題】

在查閱資料時發(fā)現(xiàn)，國內(nèi)外很多名家也曾做過類似的研究。他們研究面廣，內(nèi)容多，試題豐富?；谖覀冄芯克脚c能力的現(xiàn)狀，筆者改編、設(shè)計了一道題，以圖文結(jié)合的形式呈現(xiàn)：

小紅和小東分別用蜂蜜沖泡飲料，小紅用了3勺蜂蜜、12勺礦泉水，小東用了5勺蜂蜜、20勺礦泉水，他們沖泡的飲料一樣甜嗎？

【測試對象】

隨機(jī)選擇本區(qū)二到六年級學(xué)生一至兩個班，共308名學(xué)生，以筆試的方式進(jìn)行，時間20分鐘。

【測試結(jié)果】

經(jīng)過測試、整理、統(tǒng)計，認(rèn)為小紅和小東沖泡的飲料“一樣甜”的學(xué)生人數(shù)分別占各年級的百分比是：

這組數(shù)據(jù)與我們的經(jīng)驗判斷不謀而合：在正式學(xué)習(xí)比例前，學(xué)生對于比例相關(guān)問題是有感覺的。從低年級到高年級不斷遞增的數(shù)據(jù)來看：比例推理的發(fā)展有過程性。

測試的結(jié)果有了，那么不同年級的學(xué)生在解決這個問題時是怎么想的？分別用了哪些策略？這些策略背后又有哪些經(jīng)驗支撐呢？從這些數(shù)據(jù)中還能讀出什么，得到什么結(jié)論呢？我們對學(xué)生的解題策略、過程進(jìn)行了進(jìn)一步的研究與分析。

二、學(xué)生的解題策略呈現(xiàn)與分析

什么是解題策略？解題策略是指探求數(shù)學(xué)問題的答案時所采取的途徑和方法。這里的方法是有層次性的，是對解題途徑的概括性的認(rèn)識，是尋找解決問題思路的指導(dǎo)思想。在最新出爐的浙江省學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測報告中，關(guān)于“解題策略”有這樣的描述：能洞察數(shù)量之間的本質(zhì)聯(lián)系，會進(jìn)行轉(zhuǎn)化與溝通，并用巧妙、簡化和與眾不同的方法解決問題。

那么關(guān)于沖泡飲料問題，不同年級的學(xué)生分別有哪些解決問題的策略呢？

【策略1】選擇小紅和小東對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。如：小東5勺蜂蜜比小紅3勺多，所以小東的飲料甜;小東20勺礦泉水比小紅12勺礦泉水多，所以不一樣甜。

學(xué)生作品：5-3=2（勺），所以小東的甜。

【策略2】計算蜂蜜與礦泉水的總和或相差關(guān)系，再比較。

學(xué)生作品：小紅：12-3=9（勺），小東：20-5=15（勺），所以不一樣甜。

學(xué)生作品：小紅：3+12=15（勺），小東：5+20=25（勺），所以小東的飲料甜。

【解讀與分析】

策略1和策略2都是將信息中的數(shù)據(jù)進(jìn)行加減法計算，比較結(jié)果的大小并作出判斷。在被測的學(xué)生中，二至五年級都有學(xué)生采用這種方法，占全部學(xué)生的15.58%。

運用加減策略的學(xué)生，試圖將所給的信息建立起聯(lián)系。但這些聯(lián)系僅建立在單維的、外在的基礎(chǔ)上。所謂單維，是指學(xué)生利用與甜度有直接關(guān)系的蜂蜜的數(shù)量或者礦泉水的數(shù)量作出判斷，而忽視部分?jǐn)?shù)據(jù)。如策略1中小東有5勺蜂蜜，減小紅的3勺蜂蜜等于2勺蜂蜜，所以小東的蜂蜜多，他的飲料甜。策略2中的兩個作品，表面上看所給的四個信息都參與了運算，但也僅僅只是數(shù)據(jù)間的運算，如將每個人的蜂蜜與礦泉水的勺數(shù)相加或相減，將數(shù)據(jù)間的關(guān)系看作外在的比差關(guān)系，不涉及蜂蜜與礦泉水之間的內(nèi)在混合關(guān)系。

【策略3】計算蜂蜜與礦泉水的倍數(shù)關(guān)系，再比較。

【解讀與分析】

在被測學(xué)生中，三、四年級都有部分學(xué)生采用這種方法，占全部學(xué)生的11.48%。

從測試題中可以發(fā)現(xiàn)：信息中的數(shù)據(jù)有著明顯的倍數(shù)關(guān)系，且12是3的整數(shù)倍、20是5的整數(shù)倍。學(xué)生利用數(shù)據(jù)之間的相等倍數(shù)關(guān)系，得出小紅與小東的飲料一樣甜的判斷。（學(xué)生作品中的“勺”改成“倍”可能更合適）

這樣的推理從單維發(fā)展到了兩維，也就是既考慮了蜂蜜的量，也考慮了礦泉水的量。雖然同樣不涉及蜂蜜與礦泉水之間的內(nèi)在混合關(guān)系，但可以看出學(xué)生已經(jīng)有了關(guān)聯(lián)意識。

這或許與學(xué)生的知識水平有關(guān)，從三年級開始學(xué)生學(xué)習(xí)了乘除法的意義，也學(xué)習(xí)了倍的認(rèn)識，兩個量的比較從比差關(guān)系向倍數(shù)關(guān)系發(fā)展，因此解決問題的思維更開闊。

同時我們也發(fā)現(xiàn)：數(shù)據(jù)的類型對學(xué)生解決問題有一定的影響，只要有二年級乘除法的相應(yīng)知識，像這樣12與3、20與5之間的倍數(shù)關(guān)系，很多學(xué)生是一目了然的，那么當(dāng)兩個相對應(yīng)的數(shù)據(jù)之間存在非整數(shù)倍關(guān)系時呢，如12與5、36與15，學(xué)生會如何判斷呢？這或許又可以展開一個新的研究。

【策略4】轉(zhuǎn)化成同樣的問題，再比較。

【解讀與分析】

學(xué)生從蜂蜜、礦泉水兩個維度來解決問題，通過將已知信息轉(zhuǎn)化成“1勺蜂蜜放多少礦泉水”的問題，將小紅與小東的飲料配比轉(zhuǎn)化成相同的結(jié)構(gòu)，從而做出判斷。

如上述學(xué)生，用文字很清晰地進(jìn)行了表述，小紅的飲料與小東的飲料都是“1勺蜂蜜放進(jìn)4勺礦泉水”，因此一樣甜。

與策略3不同的是：策略3中的學(xué)生僅僅是從數(shù)據(jù)的特點展開思考，而策略4中的學(xué)生已經(jīng)對除法的意義理解得較為深刻，能試圖從變化的信息中找到不變的關(guān)系，已經(jīng)有了初步的對最簡單的函數(shù)關(guān)系的認(rèn)知。

【策略5】用簡單的比的知識解決。

【解讀與分析】

“[14]”是一個倍數(shù)關(guān)系，是蜂蜜與礦泉水之間的倍數(shù)關(guān)系。當(dāng)小紅與小東的飲料都存在著“[14]”這樣的倍數(shù)關(guān)系時，學(xué)生判斷兩人的飲料一樣甜。

“[14]”也是一個比，是蜂蜜與礦泉水的關(guān)系比。當(dāng)兩人的蜂蜜與礦泉水的關(guān)系比相等時，學(xué)生判斷兩人的飲料一樣甜。

這樣的方法有兩個特點：一方面，結(jié)果表征方式更豐富：學(xué)生能將蜂蜜數(shù)、礦泉水?dāng)?shù)作互反可逆性比較，從蜂蜜、礦泉水兩個維度來解決問題，可以轉(zhuǎn)化成“1勺蜂蜜放多少礦泉水”的問題，還可以是“蜂蜜占了礦泉水的幾分之幾”的問題，將小紅與小東的飲料配比轉(zhuǎn)化成相同的結(jié)構(gòu)，從而做出判斷。另一方面，學(xué)生已經(jīng)有了初步的等比的意識，能用關(guān)系式表示兩種飲料一樣甜。

【策略6】用比或比例的知識解決。

用比和比例的知識來解決問題的學(xué)生主要集中在六年級，占測試總數(shù)的15.98%。主要有兩種類型。

類型1：算出小紅（小東）飲料的含糖率，再進(jìn)行比較。這是六年級學(xué)生普遍采用的方法，這或許與剛學(xué)了百分比的知識有關(guān)。

類型2：比較兩種飲料配料比值，用比例式來呈現(xiàn)。

【解讀與分析】

這部分學(xué)生表現(xiàn)出更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕鉀Q問題的過程，從規(guī)范地計算飲料中含蜂蜜的量來推斷兩種飲料是否一樣甜。

分析五、六年級學(xué)生的知識獲取情況，學(xué)生不僅學(xué)習(xí)了乘除法，還學(xué)習(xí)了復(fù)合單位的相關(guān)知識，對“路程÷時間=速度”“總價÷數(shù)量=單價”這樣的數(shù)量關(guān)系有一定的了解與掌握，也理解了描述速度的單位可以用“米/時”等來表示，描述單價可以用“元/千克”來表示。在這個測試題中，學(xué)生能將復(fù)合單位的相關(guān)知識遷移到飲料配比問題，從飲料“含糖率”的角度來推理兩種飲料是否一樣甜。從這點來看，學(xué)生已經(jīng)能對信息進(jìn)行整合、從信息內(nèi)在結(jié)構(gòu)中找相關(guān)的聯(lián)系，并理解了比例式的含義。

三、解題策略的水平層次分析

基于學(xué)生對該測試題解決問題策略的不同，我們嘗試將這些策略進(jìn)行了水平分層。

層次1：無解題思路 ——不理解題意，或者空白，或者憑猜測寫一結(jié)論。

層次2：數(shù)據(jù)大小比較——根據(jù)數(shù)據(jù)的大小，直接進(jìn)行比較。

層次3：單維加減運算——運用兩個或四個數(shù)據(jù)進(jìn)行加減運算，建立比差關(guān)系，如策略2。

層次4：兩維簡單倍比——運用數(shù)據(jù)特點計算兩種量的倍數(shù)關(guān)系，建立整數(shù)倍函數(shù)關(guān)系，如策略3、策略4。

層次5：兩維整合等比——運用比或比例的相關(guān)知識解決問題，建立一般函數(shù)關(guān)系認(rèn)知，如策略5、策略6。

從上表中，我們可以發(fā)現(xiàn)：低年級學(xué)生在低層次人數(shù)中比重較大，而高年級學(xué)生在高層次人數(shù)中比重較大。對表中呈現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行歸因分析得出以下結(jié)論：

1. 策略的選擇與年齡階段特點有關(guān)。

（1）二年級學(xué)生理解呈現(xiàn)4個數(shù)據(jù)的信息有一定難度，近一半學(xué)生無從下手。能解決問題的，也僅僅是從單一量的比較入手，如蜂蜜和蜂蜜比、水和水比。

（2）三、四年級的學(xué)生解題策略相對豐富些，能基于蜂蜜和水之間的關(guān)系來進(jìn)行比較，包括整數(shù)倍的關(guān)系、分?jǐn)?shù)的關(guān)系等，更多呈現(xiàn)的是復(fù)合量的比較。

（3）五、六年級的學(xué)生更多的是能進(jìn)行任意量的比較，基于運算的意義，通過數(shù)據(jù)的運算解決問題，呈現(xiàn)一般函數(shù)關(guān)系。

2.策略的選擇與已有的知識基礎(chǔ)有關(guān)。

所學(xué)的知識與這一階段采用的策略是相匹配的。

（1）低年級學(xué)生學(xué)習(xí)了100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識，采用的策略更多的是數(shù)的大小比較，因為這一階段乘除法還沒出現(xiàn)，學(xué)生對復(fù)合量還沒接觸，因此策略選擇更多的是數(shù)的大小比較與加減計算。

（2）學(xué)生在三、四年級學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)、小數(shù)，也學(xué)習(xí)了“速度”“單價”這一類的復(fù)合量，因此會關(guān)注蜂蜜和水之間的關(guān)系，算法更多樣、策略更多元：如蜂蜜的倍數(shù)關(guān)系、水的倍數(shù)關(guān)系、蜂蜜與水之間倍數(shù)關(guān)系比較等，其中蜂蜜與蜂蜜的倍數(shù)、水和水的倍數(shù)的比較，依然是單一量的比較。

（3）學(xué)生在五、六年級進(jìn)一步學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)的意義，尤其到了六年級學(xué)習(xí)了比的相關(guān)知識，整合、推理的能力更強(qiáng)。

四、得到的結(jié)論與教學(xué)啟示

前測是為了更好地進(jìn)行教學(xué)，對不同年級的學(xué)生做這樣的測試調(diào)查，我們可以得出怎樣的結(jié)論？又能為教學(xué)提供怎樣的啟示呢？

1. 在正式學(xué)習(xí)“比例”前，學(xué)生對這一內(nèi)容有一定的生活經(jīng)驗，能借助已有的“分?jǐn)?shù)”“比”以及除法的相關(guān)知識解決類似簡單的“比例”問題。

2. 受已有知識經(jīng)驗的影響，在問題解決策略方面，三到五年級學(xué)生的策略更豐富些，而六年級學(xué)生解決問題更規(guī)范、目標(biāo)更明確。

3. 學(xué)生比例推理發(fā)展的一般路徑：三年級以上的兒童會從單維、定性的比較逐漸進(jìn)入多維、定量的比較，從單結(jié)構(gòu)的數(shù)的比差關(guān)系走向多結(jié)構(gòu)的函數(shù)關(guān)系的比較。

通過這樣的小調(diào)查，我們了解了學(xué)生的知識起點與學(xué)情，為在不同年級設(shè)計比例的系列教學(xué)提供了依據(jù)與思路，正如郜舒竹教授所說：不能僅把比例看作是一個知識點，它更是一種思維，是一種關(guān)聯(lián)的思維。如何培養(yǎng)學(xué)生的這種關(guān)聯(lián)思維，需要循著比例發(fā)展的一般路徑有序推進(jìn)。

參考文獻(xiàn)：

[1]萊什，蘭多.數(shù)學(xué)概念和程序的獲得[M].濟(jì)南：山東教育出版社，1991.

[2]方杏，郜舒竹.比例學(xué)習(xí)中的直覺與錯誤[J].教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2019（5）.

（浙江省寧波市鄞州區(qū)教育局教研室 ? 315100）