仇秋生, 潘銘敏

(浙江師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院,浙江 金華 321004)

0 引 言

標量化方法就是將集值優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為數(shù)值優(yōu)化問題,建立集值優(yōu)化問題的解與數(shù)值優(yōu)化問題最優(yōu)解之間的聯(lián)系.由于數(shù)值優(yōu)化問題的理論與算法相對比較成熟,所以，通過標量化,集值優(yōu)化問題的解可由求解數(shù)值優(yōu)化問題得到.同時,標量化方法還是研究集值優(yōu)化問題解集性質(zhì)的有力工具.標量化方法主要有線性標量化和非線性標量化.而線性標量化通常借助凸集分離定理、擇一性定理等得到各種解的標量刻畫,對目標函數(shù)及可行集有一定的凸性要求.然而,在實際生活中,許多集值優(yōu)化問題是非凸的,因此,非線性標量化方法日益成為研究的熱點.文獻[1]在凸錐內(nèi)部非空的情況下,借助Minkowski泛函構(gòu)造了非線性標量化函數(shù),人們稱之為Gerstewitz泛函,這一泛函也被稱為最小嚴格單調(diào)函數(shù).Gerstewitz泛函被廣泛應(yīng)用于可行集不是凸集的向量優(yōu)化和向量均衡問題.隨后,文獻[2]在拓撲線性空間中運用非凸分離定理,對向量優(yōu)化問題的弱有效解和真有效解進行標量刻畫;文獻[3]在賦范線性空間中利用連續(xù)的最小嚴格單調(diào)泛函,給出了Henig真有效點的非線性標量化定理;文獻[4]在拓撲線性空間中引入了基于改進集的非線性標量泛函,討論了向量優(yōu)化問題的E-弱有效解和E-Benson真有效解的標量化定理;文獻[5]將Gerstewitz泛函的主要性質(zhì)從拓撲線性空間推廣到一般的實線性空間,討論了Gerstewitz泛函的正齊性和單調(diào)性等,并給出了向量均衡問題弱有效解的非線性標量化定理;文獻[6]在一般的線性空間中建立了基于序錐的擬相對內(nèi)部的非凸分離定理.

在不具備拓撲結(jié)構(gòu)的線性空間中,對集值優(yōu)化問題統(tǒng)一解的非線性標量刻畫的研究比較少.因此,在文獻[7-11]的基礎(chǔ)上,本文在實線性空間中引入基于改進集的非線性標量泛函,利用集合代數(shù)內(nèi)部和向量閉集的性質(zhì),得到了非凸分離定理,對集值優(yōu)化問題的E-弱有效解和E-全局真有效解進行標量化刻畫,去掉了目標函數(shù)及可行集的凸性要求.

1 預(yù)備知識

若無特別申明,以下總設(shè)X,Y是實序線性空間.0表示每個空間的零元.記R+=[0,+∞),R++=(0,+∞).設(shè)K是Y的非空子集,若?k∈K,λ≥0,有λk∈K,則稱K為錐;若錐K還是凸集,則稱K為凸錐;若錐K滿足K∩(-K)={0},則稱K為點錐.錐K是非平凡的當且僅當K≠{0}且K≠Y.

以下均假設(shè)K為非平凡的凸錐.

定義1[11]設(shè)E是Y中的非空子集,若0?E且E+K=E,則稱E是關(guān)于錐K的改進集,簡稱E是改進集,記Y中所有改進集的集合為ζY.

定義2[12]若M是Y中的非空子集,則稱

corM:={m∈M| ?y∈Y,?λ′>0,?λ∈[0,λ′],m+λy∈M},

vclM:={m∈Y| ?y∈Y,?λ′>0,?λ∈(0,λ′],m+λy∈M}

分別為M的代數(shù)內(nèi)部和向量閉集.

引理1設(shè)K是Y中的凸錐且corK≠?,對?q∈corK,有Y=qR++-K.

引理2[13]設(shè)K是Y中代數(shù)內(nèi)部非空的凸錐,若E∈ζY,則corE=E+corK.

引理3[12]若M?Y是非空子集,K是代數(shù)內(nèi)部非空的凸錐,則

1)cor(M+K)=cor(vcl(M+K));

2)cor(vcl(M+K))=M+corK.

命題1設(shè)K?Y是代數(shù)內(nèi)部非空的凸錐,E?Y是關(guān)于錐K的改進集,則corE= vclE+corK.

證明 由于E+corK?vclE+corK,而corE=E+corK,所以

corE?vclE+corK.

另一方面,

vclE+corK?cor(vclE+K).

(1)

下證vclE+K?vcl(E+K). 對?y∈vclE+K,?e∈vclE,k∈K,使得y=e+k.由于e∈vclE,所以?b∈Y,?ε>0,?t∈[0,ε],有e+tb∈E.因此,

y+tb=e+k+tb∈E+K.

由向量閉集定義知y∈vcl(E+K).所以,vclE+K?vcl(E+K).則由式(1)和引理3的1)知,

vclE+corK?cor(vcl(E+K)) =cor(E+K)=corE.

因此,vclE+corK?corE.綜上,corE=vclE+corK.命題1證畢.

注1若E不是關(guān)于K的改進集,則命題1不一定成立.

設(shè)W?X是非空子集,F:W→2Y是集值映射,考慮如下集值優(yōu)化問題:

注2線性空間中基于改進集的全局真有效性是一個一般性的概念,它包括全局真有效性和近似全局真有效性等作為特殊情況.

2 實線性空間中基于改進集的非線性標量化泛函

Gerth等[2]在拓撲線性空間中提出了一類最小嚴格單調(diào)函數(shù),也被稱為Gerstewitz 泛函,在非凸優(yōu)化問題中有著廣泛的應(yīng)用.

下面在實線性空間中引入基于改進集的非線性標量化泛函.

命題2設(shè)Y是線性空間,K?Y是代數(shù)內(nèi)部非空的凸錐,E?Y是關(guān)于K的改進集,q∈corK,令Q(y)={t∈R|y∈tq-E},則集合Q(y)是下有界的.

證明 由于Q(y)={t∈R|y∈tq-E},因此，若t1∈Q(y),則t1∈R,且y∈t1q-E.當λ>t1時,

y-λq=y-t1q+(t1-λ)q∈-E-corK=-corE?-E,

這說明λ∈Q(y),即

若t1∈Q(y),λ>t1,則y∈λq-E.

(2)

下證Q(y)≠R.假設(shè)Q(y)=R,則對?λ∈R,有y∈λq-E.對?z∈Y,有-z∈Y.由引理1知,?k′∈K和s>0,使得-z=sq-k′.因為Q(y)=R,所以-s∈Q(y),即y+sq∈-E.因此,

-z=sq-k′+y-y=(y+sq)-k′-y∈-E-K-y=-E-y.

由z的任意性知,-Y?-E-y,因此Y=E,與E是改進集矛盾.故假設(shè)不成立,從而Q(y)≠R.

由式(2)知,若t1?Q(y),則當μ

定義5設(shè)K?Y是代數(shù)內(nèi)部非空的凸錐,E?Y是關(guān)于K的改進集,q∈corK,定義如下的泛函:

ξq,E(y)=inf{t∈R|y∈tq-E}, ?y∈Y.

規(guī)定inf ?=+∞.

注3ξq,E(y)關(guān)于序錐K是不減的,這是因為,對?y1,y2∈Y,y2-y1∈K.若ξq,E(y2)=∞,則ξq,E(y1)≤ξq,E(y2).若ξq,E(y2)<∞,則對任意滿足y2∈tq-E的t有

y1∈y2-K?tq-E-K=tq-E.

因此,ξq,E(y1)≤t,進而ξq,E(y1)≤ξq,E(y2).綜上,ξq,E(y)關(guān)于K是不減的.

由向量閉集和集合代數(shù)內(nèi)部的性質(zhì)獲得基于改進集的非線性標量化泛函的下列重要性質(zhì):

定理1設(shè)Y是實線性空間,E?Y是關(guān)于K的改進集,q∈corK,則

1){y∈Y|ξq,E(y)<λ}=λq-corE;

2){y∈Y|ξq,E(y)≤λ}=λq-vclE.

證明 1)首先證明{y∈Y|ξq,E(y)<λ}?λq-corE.?y′∈{y∈Y|ξq,E(y)<λ},存在s<λ,使得y′∈sq-E.已知q∈corK,則

y′∈λq-((λ-s)q+E)?λq-((0,∞)q+E)?λq-(corK+E)=λq-corE,

即y′∈λq-corE.因此,{y∈Y|ξq,E(y)<λ}?λq-corE.

下證λq-corE?{y∈Y|ξq,E(y)<λ}.對?z∈λq-corE,有λq-z∈corE.因為q∈corK?Y,所以-q∈Y.又因為λq-z∈corE,所以對于-q∈Y,存在α>0,使得λq-z-αq∈E,即z∈(λ-α)q-E.因此,ξq,E(z)≤λ-α<λ.

下證{y∈Y|ξq,E(y)≤λ}?λq-vclE.對?u∈{y∈Y|ξq,E(y)≤λ},當ξq,E(u)<λ時,由定理1的1)可知,

u∈λq-corE?λq-vclE.

結(jié)論顯然成立.

u∈tnq-E.

(3)

下面分2種情況討論:

①若存在n0,使得tn0=λ,則由式(3)知,u∈tn0q-E=λq-E?λq-vclE.結(jié)論得證.

λq-u+αnq∈E.

所以,λq-u∈vclE,即u∈λq-vclE.因此,{y∈Y|ξq,E(y)≤λ}?λq-vclE.定理1證畢.

3 E-全局真有效解的非線性標量化定理

下面對集值優(yōu)化問題基于改進集的弱有效解和全局真有效解進行標量刻畫.

考慮由集值優(yōu)化(VP)誘導(dǎo)的標量化問題:

其中:y∈Y;q∈corK;E∈ζY;ξq,E由定義5所定義.

下面討論實線性空間中集值優(yōu)化問題E-弱有效解和E-全局真有效解的非線性標量化定理.

(4)

由定理1知,當λ=0時,{y∈Y|ξq,E(y)<0}=-corE.因此,由式(4)得

這表明

(5)

ξq,E(0)=inf{t∈R|0∈tq-E}=inf{t∈R|tq∈E}≤inf{t∈R+|tq∈E}=ε,

所以

(6)

然而,存在y′=(-1,-1),使得

(7)

ξq,E(0)≥0.

(8)

假設(shè)ξq,E(0)<0,則存在t1<0,使得0∈t1q-E,即t1q∈E.由于q∈corK?K,所以-t1q∈K.因此,

0=t1q-t1q∈E+K=E.

這與E是改進集矛盾,故假設(shè)不成立.因此,ξq,E(0)≥0.從而

ξq,E(0)=inf{t∈R|tq∈E}=inf{t∈R+|tq∈E}=ε.

(9)

注5對于ξq,E(0),我們無法得到ξq,E(0)>0這一結(jié)論,因為ξq,E(0)=0的情況仍有可能出現(xiàn).

顯然,

(10)

與式(10)矛盾,因此假設(shè)不成立,即

(11)

由定理1知,當λ=0時,{y∈Y|ξq,E(y)<0}=-corE.因此,由式(11)得

這表明

(12)

ξq,E(0)=inf{t∈R|tq∈E}≤inf{t∈R+|tq∈E}=ε.

因此,

(13)

注6定理4的逆命題不一定成立.

又由于

4 結(jié) 語

為了對不具備拓撲結(jié)構(gòu)的非凸集值優(yōu)化問題進行標量刻畫,引入了實線性空間中基于改進集和集合代數(shù)內(nèi)部的非凸分離定理,克服了線性標量化定理中對集值優(yōu)化問題目標函數(shù)和可行集的凸性要求.作為應(yīng)用,給出了線性空間中集值優(yōu)化問題E-全局真有效解和E-弱有效解的非線性標量化定理.由于集值優(yōu)化問題的E-有效性具有統(tǒng)一性和一般性,因此,本文提出的基于改進集的非凸分離定理對精確和近似的真有效解都成立.