☉江蘇省運(yùn)河中學(xué) 袁 健

“概念圖”是一種知識(shí)及知識(shí)之間關(guān)系的網(wǎng)絡(luò)圖形化表征，也是思維可視化的表征.一幅概念圖一般由“節(jié)點(diǎn)”“鏈接”“有關(guān)文字標(biāo)注”組成.概念圖是一種學(xué)習(xí)策略，可以使用它來(lái)輔助解題.

數(shù)學(xué)題的標(biāo)準(zhǔn)形式包括兩個(gè)最基本的要素：條件（已知、前提），結(jié)論（未知、求解、求證、求作等）.條件是問(wèn)題解決的起點(diǎn)，結(jié)論是問(wèn)題解決的目標(biāo)，問(wèn)題的關(guān)鍵在于，達(dá)到目標(biāo)相對(duì)于問(wèn)題解決者來(lái)說(shuō)存在一定的障礙.

解題就是“解決問(wèn)題”，即求出數(shù)學(xué)題的答案.這個(gè)答案在數(shù)學(xué)上也叫作“解”，所以，解題就是找出題的解的活動(dòng).解答習(xí)題時(shí)弄清題目中的已知條件、未知條件，使用運(yùn)算、推理等方式用已知求出未知.解題過(guò)程中，使用概念圖作為分析答題的工具，讓思路更加有條理、清晰.

一、“概念圖”培養(yǎng)解題習(xí)慣，堅(jiān)持四步

為了讓學(xué)生能通過(guò)做一題會(huì)一類題，積累經(jīng)驗(yàn)，以一應(yīng)萬(wàn)，可以讓學(xué)生做一道題分四步走（如圖1）：理解題意、思路探求、書(shū)寫表達(dá)、回顧反思.這與羅增儒教授總結(jié)解題的四步：看題、想題、答題、回題，不謀而合.科學(xué)把握好解題的四個(gè)步驟是一種良好的解題習(xí)慣.下面用連接線將節(jié)點(diǎn)“鏈接”起來(lái)，并且在每一步的“節(jié)點(diǎn)”標(biāo)注文字，用“概念圖”引導(dǎo)學(xué)生掌握解題的四個(gè)步驟.

圖1

案例1：在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC，對(duì)角線AC⊥BD，垂足為點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作EF∥AB，交AD于點(diǎn)E，求證：四邊形ABFE是等腰梯形.（如圖2）

理解題意：

（1）弄清題目的條件是什么，一共有幾個(gè)，其數(shù)學(xué)含義如何.

條件說(shuō)得很長(zhǎng)，其實(shí)獨(dú)立的有四個(gè)：

條件1：四邊形ABCD是直角梯形.“直角梯形”的數(shù)學(xué)含義有三個(gè)意思：AB∥DC，直線AD、BC不平行（相交），∠ABC=∠DCB=90°.

條件2：兩底邊滿足AB=2DC.

條件3：對(duì)角線AC⊥BD（垂足為點(diǎn)F）.對(duì)角線的數(shù)學(xué)含義是梯形相對(duì)頂點(diǎn)的連線.

條件4：EF∥AB.

（2）弄清題目的結(jié)論是什么，一共有幾個(gè)，其數(shù)學(xué)含義如何.

字面上結(jié)論為：求證四邊形ABFE是等腰梯形.而文字語(yǔ)言“等腰梯形”無(wú)法運(yùn)算、不能推理，其數(shù)學(xué)含義有三個(gè)意思：EF∥AB（條件4，已知），直線AE、BF不平行（條件3，對(duì)角線BD與一腰AD相交于點(diǎn)D），EA=FB（或∠EAB=∠FBA）.由于前兩條是已知的，所以，本題的關(guān)鍵是證EA=FB（或∠EAB=∠FBA）.

（3）弄清題目的條件和結(jié)論有哪些數(shù)學(xué)聯(lián)系，是一種什么樣的結(jié)構(gòu).（我們通過(guò)此例來(lái)體現(xiàn)分析法，也就是由結(jié)論到條件的溝通）

思路探求：分析法——發(fā)現(xiàn)多余條件.

圖2

圖3

如圖3，由于EF∥AB，而AE、BF相交于點(diǎn)D，所以四邊形ABFE是梯形.要證梯形ABFE是等腰梯形，只需證AE=BF（或∠EAB=∠FBA）.

要證∠EAB=∠FBA，只需證△DAB是等腰三角形.

為此，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB，垂足為點(diǎn)G.由四邊形ABCD為直角梯形，且∠ABC=90°，得GD∥BC，且CD∥BG，則四邊形BCDG為平行四邊形，有，從而B(niǎo)G=AG.可見(jiàn)，△DAB中，DG既是AB邊上的高，又是AB邊上的中線，則△DAB是等腰三角形.

這個(gè)思路沒(méi)有用到對(duì)角線AC⊥BD，說(shuō)明這是一個(gè)多余的條件.

書(shū)寫表達(dá)：規(guī)范表達(dá)解題過(guò)程.

證明：如圖3，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB，垂足為點(diǎn)G.在梯形ABCD中，∠ABC=90°，則GD∥BC，且CD∥BG，則四邊形BCDG為平行四邊形，則BG=CD=，從而B(niǎo)G=AG，則，從而∠EAB=∠FBA.又因?yàn)镋F∥AB，AE、BF相交于點(diǎn)D，所以四邊形ABFE是等腰梯形.

回顧反思：解答本題的過(guò)程中，分兩步：先證明四邊形ABFE是梯形，再證明梯形ABFE是等腰梯形.使用了看題、想題、答題、回題的過(guò)程，讓思考有了方向，思維可視化，解題有了模式.在證明過(guò)程中，主要使用了數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，積累了解題經(jīng)驗(yàn)，強(qiáng)化了解題能力.

二、“概念圖”拓寬解題思路，一題多思

初一學(xué)生以形象思維為主，對(duì)剛接觸邏輯推理的初一學(xué)生來(lái)說(shuō)，如何將思維可視化、網(wǎng)絡(luò)化是解題教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn).解題過(guò)程中的“思路探求”環(huán)節(jié)，可以有多種思考路徑.概念圖輔助學(xué)生推理，完成由已知到未知的過(guò)程，在這個(gè)思維過(guò)程中，筆者嘗試從三條路徑引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析.第一種是由已知條件逐步推理，最后求出問(wèn)題，可謂綜合法.第二種是由結(jié)論入手，不斷向前追溯條件，最后推出要使結(jié)論成立，已知或題目中的隱含條件必須成立，可謂分析法.第三種是由已知和結(jié)論兩條線推理，推出中間的共同條件成立.

案例2：如圖4，點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線段BC上，AD=6，DB=4，求線段CD的長(zhǎng)度.

圖4

案例2可用概念圖（如圖5）分析思考過(guò)程.

圖5

結(jié)合本題用三種思路進(jìn)行具體分析.第一種是由已知到問(wèn)題的過(guò)程，可謂綜合法.先由線段AD、DB的長(zhǎng)求出AB的長(zhǎng)，再添加中點(diǎn)的條件求出AC的長(zhǎng)，最后由AD的長(zhǎng)求出CD.第二種是由問(wèn)題追溯已知，可謂分析法.要求CD，用AD-AC或CB-DB即可，要求AC或BC，求出AB即可，而AB=AD+DB，AD、DB是已知條件.第三種方法是由已知、結(jié)論兩條線雙管齊下分析，由線段AD、DB的長(zhǎng)求出AB的長(zhǎng)，進(jìn)而利用中點(diǎn)的定義求出AC、BC的長(zhǎng).要求線段CD的長(zhǎng)，求AD-AC或BC-DB即可.而AC、BC、AD、DB均已求出.三種思路均能分析本題.下面用規(guī)范的表達(dá)方式解答.

解：因?yàn)锳D=6，DB=4，所以AB=AD+DB=6+4=10.

所以CD=AD-AC=6-5=1，即線段CD的長(zhǎng)度是1.

為了讓學(xué)生的思維得到更好的訓(xùn)練，筆者將本題變式為下面的習(xí)題，要求學(xué)生使用概念圖分析解答.

變式1：如圖4，點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線段BC上，AD=6，CD=1，求線段BD的長(zhǎng)度.

變式2：如圖4，點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線段BC上，BD=4，CD=1，求線段AD的長(zhǎng)度.

上面的變式題不僅訓(xùn)練了學(xué)生用概念圖分析問(wèn)題，而且在解題過(guò)程中感受了互逆命題，提升了學(xué)生的解題能力，發(fā)展了學(xué)生的思維能力.

三、“概念圖”引導(dǎo)分析過(guò)程，滲透數(shù)學(xué)思想

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中課程總目標(biāo)指出：通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)［1］.對(duì)于數(shù)學(xué)思想，課標(biāo)要求讓學(xué)生在積極參與教學(xué)活動(dòng)的過(guò)程中，通過(guò)獨(dú)立思考、合作交流，逐步感悟數(shù)學(xué)思想.在探求解題思路的過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生用概念圖分析問(wèn)題，體會(huì)、轉(zhuǎn)化、使用數(shù)學(xué)思想，規(guī)范書(shū)寫表達(dá)過(guò)程.

案例3：（初一期末考試卷壓軸題）點(diǎn)A、B、C、D在數(shù)軸上的位置如圖6所示，已知AB=3，BC=2，CD=4.

（1）若點(diǎn)C為原點(diǎn)，則點(diǎn)A表示的數(shù)是______.

（2）若點(diǎn)A、B、C、D分別表示有理數(shù)a、b、c、d，則│a-c│+│d-b│-│a-d│=______.

（3）如圖6，點(diǎn)P、Q分別從A、D兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P沿線段AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B后立即按原速折返；點(diǎn)Q沿線段CD以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C后立即按原速折返.當(dāng)P、Q中的某點(diǎn)回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).

①當(dāng)兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P、Q之間的距離；

②設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：秒），則t為何值時(shí)，PQ=5？

圖6

圖7

本題的第（3）問(wèn)是難點(diǎn)，為了更好地思考、解答本題，筆者用概念圖（如圖7）分析.

將第（3）問(wèn)的解答過(guò)程規(guī)范表達(dá)如下：

解：（3）①由題意知，點(diǎn)P從點(diǎn)A到點(diǎn)B再返回到點(diǎn)A需要6秒，點(diǎn)Q從點(diǎn)D到點(diǎn)C再返回到點(diǎn)D需要4秒.因此當(dāng)兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的左邊1個(gè)單位長(zhǎng)度，如圖8，PQ=BP+CB+CD=1+2+4=7.

圖8

圖9

②當(dāng)點(diǎn)P、Q相向而行，即0≤t≤2時(shí)，如圖9.

由AP=t，AB=3，得BP=3-t.

由DQ=2t，CD=4，得CQ=4-2t.

所以PQ=BP+BC+CQ=3-t+2+4-2t=9-3t.

當(dāng)點(diǎn)P、Q同向而行，即2＜t≤3時(shí)，如圖10.

由AP=t，AB=3，得BP=3-t.

由CD=4，CD+CQ=2t，得CQ=2t-4.

所以PQ=BP+BC+CQ=3-t+2+2t-4=t+1.

因?yàn)镻Q=5，所以t+1=5.解得t=4.由于時(shí)間不符合題意，所以舍去.

圖10

圖11

當(dāng)點(diǎn)P、Q反向而行，即3＜t≤4時(shí)，如圖11

由AB+BP=t，AB=3，得BP=t-3.

由DC+CQ=2t，DC=4，得CQ=2t-4.

所以PQ=BP+BC+CQ=t-3+2+2t-4=3t-5.

四、關(guān)于概念圖解題教學(xué)的感悟

概念圖能將各種概念及其關(guān)系進(jìn)行加工、概括，以形象化的方式反映知識(shí)之間的邏輯關(guān)系與組織結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生對(duì)知識(shí)有效構(gòu)建，增強(qiáng)對(duì)知識(shí)的理解、記憶和保持.概念圖的解題教學(xué)方式能把各個(gè)“節(jié)點(diǎn)”聯(lián)系在一起，形成脈絡(luò)體系，從而幫助學(xué)生“圖腦思維”，從整體上促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知能力和思維綜合能力的發(fā)展.

概念圖作為一種解題的策略，可促進(jìn)學(xué)生有意義的學(xué)習(xí)和創(chuàng)造性的學(xué)習(xí).在教學(xué)過(guò)程中，教師引導(dǎo)學(xué)生靈活使用概念圖解題（如圖12），以“節(jié)點(diǎn)”為載體，以概念圖構(gòu)建為平臺(tái)，提升學(xué)生解題能力，使學(xué)生的學(xué)與教師的教和諧統(tǒng)一，提高課堂教學(xué)效率.

圖12