☉貴州省貴陽市烏當中學 鄧 清

☉貴州師范大學 陳 麗

著名數(shù)學家、哲學家懷特海曾提出“數(shù)學是模式的科學”的觀點，提出“數(shù)學的本質特征就是在模式化的個體抽象的過程中對模式進行研究”.因為數(shù)學的研究對象，即概念和命題，都是對客觀現(xiàn)實或數(shù)學現(xiàn)實的一種抽象，因此它們都是一種“模式”.學生在面臨一個數(shù)學問題時，總會將問題與已認知結構中的問題模式進行比較，通過正確識別問題模式，迅速縮小對問題的搜索范圍，減小思維的強度和負荷.

中考壓軸題側重考查學生對數(shù)學知識點的深度綜合和對數(shù)學思想方法的靈活運用，常常需要較高的思維負荷和較強的綜合應用能力，但其包含的問題本源又常常緊扣學生的已有認知.教師在向學生講解此類問題時，不應該直接給出問題的解決策略，而應盡量挖掘問題中所蘊含模式的背景，將考題與學生認知結構中的已有問題模式聯(lián)系，讓學生自己得出問題解決的策略，如此，能促進學生數(shù)學思維的自然生成與發(fā)展.同時，教材是教師上課之本、中考命題之本，也是學生數(shù)學認知之本.學生認知結構中的問題模式，大多來源于教材中例題和習題的呈現(xiàn).本文以2019年貴陽市的一道中考幾何壓軸題為研究對象，先探尋試題中所蘊含的問題模式在教材中的體現(xiàn)，以此作為思維的邏輯起點，逐步提高解題策略的思維層次，從多個視角提出解決該問題的不同方法.

一、試題呈現(xiàn)

圖1

（貴陽市2019年中考數(shù)學第15題）如圖1，在矩形ABCD中，AB=4，∠DCA=30°，點F是對角線AC上一個動點，連接DF，以DF為斜邊作∠DFE=30°的直角三角形DEF，使點E和點A位于DF兩側，點F從點A到點C的運動過程中，點E的運動路徑長是____________.

評析：解決該問題的關鍵是能感知并證明點E的運動軌跡，需要學生根據(jù)圖形運動變化規(guī)律，抓住其中不變的特點.點E是隨著點F的運動而運動的，根據(jù)已知條件不難知道，在運動變化中，∠EDF=60°、DE=這兩個特點是不變的.如何引導學生想到解決此問題的辦法，或者學生解決該問題可能的邏輯起點是什么，需要從學生的認知結構中可能存在的問題模式進行分析.

二、教材中的問題模式的探尋

北師大版2014年版教材初中數(shù)學八年級第89頁呈現(xiàn)了這樣一個問題：

（第三章復習題第11題）如圖2，點D在等邊三角形ABC的邊BC上，將△ABD繞點A旋轉，使得旋轉后點B的對應點為點C.小明是這樣做的：如圖3，過點C畫BA的平行線l，在l上取CE=BD，連接AE，則△ACE即為旋轉后的圖形，你能說明這樣做的道理嗎？

圖2

圖3

這一復習題實質上是通過證明三角形全等說明△ABD繞點A旋轉后，點D的對應點E恒在平行線l上.該問題的結論可進一步概括為：點D在等邊三角形的邊BC所在的直線上運動時，將線段AD繞點A沿逆時針方向旋轉60°后，點D的對應點恒在與AB平行的直線l上運動.教材中這一復習題與上面中考試題的模式如出一轍，學生在解決這一復習題時，如能得到教師的適當引導，在認知結構中形成一種問題模式，就能形成解決上面中考試題的思維.

三、解題策略的形成

解法1：借助已有模式，構造等邊三角形.

該試題通過添加輔助線構造等邊三角形后，可以得到和教材習題相同的模式，借助這一問題模式，得到以下解決辦法：

如圖4，記AC的中點為O，過點O作直線l//AD，延長DE交直線l于點F′，連接DO.

圖4

易知DO=AO，∠DAO=60°，則△OAD為等邊三角形.

根據(jù)∠ADO=∠FDE=60°，可得∠ADF=∠ODF′.又因為AD=OD，∠DOF′=∠DAF=60°，所以于是可認為DF′為DF繞點D沿逆時針方向旋轉60°得到的，即點F的對應點F′恒在直線l上運動，且始終滿足OF′=AF，所以點F′運動路徑的長度等于點F運動路徑的長度AC=而DE=則點E的運動路徑為點F′運動路徑的一半，即

解法2：觀察軌跡特點，構造相似三角形.

解法1借助教材中的問題模式，符合學生的認知特點，是學生比較容易接受的一種解決方法.問題解決后，引導學生反思，解決該問題的關鍵是知道點E在平行于AD的直線l上運動，那么可以通過證明點E到直線AD的距離為定值來說明直線l//AD.

如圖5，過點D作DM⊥AC于點M，過點E作EN⊥AD于點N.

根據(jù)NE∥DC，可得∠CDE=∠DEN.

由于∠CDE+∠FDA=30°，∠MDF+∠FDA=30°，所以∠CDE=∠MDF.

則∠DEN=∠MDF.又因為∠DNE=∠FMD=90°，所以因此，即NE=DM=DC=1.

因此點E到直線AD的距離為定值，所以點E在一條平行于AD的直線上運動.

圖5

圖6

當點F與起點A重合時，如圖6，∠EDN=∠EDF=60°，所以；當點F與終點C重合時，如圖7，∠EDN=30°，所以所以點E運動路徑的長度為

圖7

圖8

解法3：構造等腰三角形，尋找相同軌跡點.

解法4：尋求問題本質，形成高階思維.

觀察點F與點E的運動過程，實質上是一個圖形的旋轉及拉伸變換的過程.基于此，可以運用點的旋轉坐標公式和拉伸坐標公式來研究點E的運動軌跡.

如圖9，以點D為坐標原點，建立平面直角坐標系.

因為在旋轉變換中，始終滿足∠EDF=60°，且DF=2DE，可設點E的坐標為（x，y），DF的中點E′的坐標為（x′，y′）.點E′（x′，y′）是由點E（x，y）順時針旋轉60°得到的，根據(jù)旋轉坐標公式，可得

圖9

四.結論推廣

解法4 體現(xiàn)了此類問題的本質，即如果點F與其對應點E存在這樣的對應關系：存在一個定點O，使得∠EOF為一個定值，且為定值，當點F在一條直線上運動時，點E也在一條直線上運動.為了探尋兩個動點運動軌跡的關系，根據(jù)以上中考試題的解決過程和得到的結論，歸納、推廣得以下結論，并進行證明.

結論：如圖10，在平面內，若點F與其對應點E存在這樣的對應關系：存在一個定點O，使得∠EOF為一個定值θ，且為定值，當點F在一條長為m的線段上運動時，若該線段所在直線方程為Ax+By+C=0，則點E的運動軌跡也是一條線段，且該線段的長為λm，線段所在直線方程為（Acosθ-Bsinθ）x+（Asinθ+Bcosθ）y+λC=0.

證明：對于軌跡長度的證明，可采用上面的解法4的思路，在線段OE上取一點F′，使得OF′=OF，則點F′的軌跡長度等于點F的軌跡長度，再根據(jù)相似三角形的對應邊成比例關系，不難得出點E運動軌跡的長度與點F′運動軌跡的長度之比為，因此點E運動軌跡的長度為λm.

圖10

五、結束語

本文以一道中考試題為對象，通過在教材中對問題模式的探尋，以遞進和螺旋上升的形式對試題多種解題策略進行探究，最終以蘊含高階思維的解題策略推廣為一般結論.研究過程中，既充分考慮學生的認知結構，也注重思維形成的邏輯，有利于學生數(shù)學思想的生成和發(fā)展，促進學生數(shù)學素養(yǎng)的形成.