龍丁，盧少武，唐小琦，宋寶

(1.武漢科技大學(xué) 教育部冶金自動化與檢測技術(shù)工程研究中心，武漢 430081；2.華中科技大學(xué) 國家數(shù)控系統(tǒng)工程技術(shù)研究中心，武漢 430074)

0 引言

在永磁交流伺服系統(tǒng)的實(shí)際應(yīng)用過程中，由于傳動裝置存在一定的彈性系數(shù)，當(dāng)系統(tǒng)帶寬不斷上升，達(dá)到甚至超過傳動軸的固有頻率時，伺服電機(jī)帶動負(fù)載就會產(chǎn)生機(jī)械諧振[1]。機(jī)械諧振的產(chǎn)生不僅會影響控制系統(tǒng)的性能和精度、產(chǎn)生噪聲污染，嚴(yán)重的情況下還會出現(xiàn)斷軸現(xiàn)象，是存在于工業(yè)生產(chǎn)中的安全隱患。傳統(tǒng)的抑制機(jī)械諧振的方法是從系統(tǒng)的機(jī)械結(jié)構(gòu)入手，提高傳動軸的剛度、增大阻尼系數(shù)、提高電機(jī)與負(fù)載的慣量比，此類方法對材料要求較高,且會讓伺服系統(tǒng)的成本大大提高，實(shí)施困難。隨著伺服系統(tǒng)數(shù)字化程度不斷提高，控制理論與算法不斷成熟，從系統(tǒng)控制的角度抑制機(jī)械諧振已成為伺服系統(tǒng)機(jī)械諧振抑制的主流。引入控制手段的諧振抑制法主要分為兩種：主動抑制[2-4]和被動抑制。主動抑制由于設(shè)計(jì)過程復(fù)雜、受觀測器帶寬和硬件條件的限制、計(jì)算量大等缺點(diǎn)無法得到廣泛應(yīng)用。機(jī)械諧振被動抑制通常是在速度控制器之后加入陷波濾波器以調(diào)節(jié)電流環(huán)的輸入電流達(dá)到抑制諧振的效果。但在陷波器形式和參數(shù)設(shè)計(jì)上，存在阻尼系數(shù)下傅里葉變換頻率辨識不準(zhǔn)確[5]、依賴頻率檢測的快速性[6-7]以及陷波寬度和深度多依靠經(jīng)驗(yàn)值給定[8-10]等缺點(diǎn)，在實(shí)際應(yīng)用過程中會產(chǎn)生多余的工作量，參數(shù)整定過程復(fù)雜繁瑣。

本文從機(jī)械諧振的被動抑制方法入手，提出了改進(jìn)型陷波濾波器，同時根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)給出各參數(shù)的確定方法，通過仿真證明諧振抑制效果良好，驗(yàn)證了此陷波器的可行性和參數(shù)確定方法的有效性。

1 伺服模型建立與諧振原理分析

1.1 雙慣量模型

通常將伺服電機(jī)、傳動軸、負(fù)載組成的伺服系統(tǒng)機(jī)械傳動系統(tǒng)模型簡化成一個雙慣量模型，如圖1所示。

圖1 雙慣量機(jī)械傳動模型

根據(jù)此模型可建立伺服電機(jī)側(cè)動力學(xué)方程式(1)、彈性軸平衡方程式(2)和負(fù)載側(cè)動力學(xué)方程(3)：

(1)

(2)

(3)

式中,JM為電機(jī)轉(zhuǎn)動慣量；Jl為負(fù)載轉(zhuǎn)動慣量；DM、DW、Dl為電機(jī)、負(fù)載、傳動軸的阻尼系數(shù)；ωM為伺服電機(jī)轉(zhuǎn)速(rad/s)；ωl為負(fù)載轉(zhuǎn)速(rad/s)；TM電機(jī)輸出電磁轉(zhuǎn)矩(N)；Tl負(fù)載轉(zhuǎn)矩(N)；TW彈性軸軸距(N);K為傳動軸剛度系數(shù)(Nm/rad)。

由于伺服電機(jī)與負(fù)載的阻尼系數(shù)很小，因此可忽略電機(jī)與負(fù)載的阻尼系數(shù)，從而對系統(tǒng)模型進(jìn)行簡化，整理得電機(jī)側(cè)傳遞函數(shù)為：

(4)

負(fù)載轉(zhuǎn)速與伺服電機(jī)輸出電磁轉(zhuǎn)矩傳遞函數(shù)為：

(5)

1.2 諧振原理分析

由式(4)可看出，電機(jī)側(cè)傳遞函數(shù)由一階慣性環(huán)節(jié)和二階振蕩環(huán)節(jié)組成，其中一階慣性環(huán)節(jié)等效于剛性系統(tǒng)電機(jī)負(fù)載傳遞函數(shù)，二階振蕩環(huán)節(jié)部分就是產(chǎn)生機(jī)械諧振的原因，稱之為諧振方程。令式(4)中二階振蕩環(huán)節(jié)部分分母為0，此時傳遞函數(shù)增益最大，可得諧振頻率：

(6)

令式(4)中二階振蕩環(huán)節(jié)部分分子為0，此時傳遞函數(shù)增益最小，可得反諧振頻率：

(7)

各環(huán)節(jié)Bode圖見圖2。在諧振頻率處傳遞函數(shù)的幅值增益最大，反諧振頻率處傳遞函數(shù)幅增益最小。

圖2 電機(jī)側(cè)傳遞函數(shù)各環(huán)節(jié)Bode圖

令s=jωA=j2πfA，則在諧振頻率fA處幅值增益MA：

MA=GM(j2πfA)=

(8)

考慮到量級問題，式(8)可近似為：

(9)

由上述公式推導(dǎo)可以看出，伺服系統(tǒng)機(jī)械諧振頻率與電機(jī)慣量、負(fù)載慣量以及傳動軸的剛度系數(shù)密切相關(guān)。剛度系數(shù)越大，機(jī)械諧振頻率越高，可允許的伺服系統(tǒng)頻率帶寬越寬，也就越不易產(chǎn)生機(jī)械諧振；同時，剛度系數(shù)越大，在諧振頻率處的幅值增益越小，對系統(tǒng)的影響越??；負(fù)載慣量比越大，諧振頻率處的幅值增益也越大。

2 改進(jìn)型陷波器的設(shè)計(jì)

利用陷波濾波器只在特定頻率降低響應(yīng)幅值，在其他頻率響應(yīng)幅值基本不變的特性，本文將陷波器加入到速度控制器與電流環(huán)之間，以控制電流環(huán)輸入，達(dá)到抑制機(jī)械諧振的目的，系統(tǒng)整體框圖如圖3所示。

圖3 包含陷波濾波器的速度環(huán)結(jié)構(gòu)

考慮到傳統(tǒng)給的二參數(shù)陷波濾波器的不足，本文在常用三參數(shù)陷波器的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，將陷波中心點(diǎn)頻率、陷波幅值、陷波寬度直接作為陷波器參數(shù)設(shè)計(jì)了一種改進(jìn)型陷波器來抑制機(jī)械諧振，陷波器傳遞函數(shù)為：

(10)

其中，Dp為頻率中心點(diǎn)處的陷波深度，單位為dB；Bf為幅值下降3dB的頻率寬度，單位為Hz；ωA=2πfA為陷波中心點(diǎn)角頻率,單位為rad/s。

此陷波器彌補(bǔ)了傳統(tǒng)陷波器無法單獨(dú)控制陷波寬度和陷波深度的缺點(diǎn)，在常用的雙T型三參數(shù)陷波器的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)并給出個參數(shù)的具體計(jì)算方法便于離線整定。如圖4所示，陷波器中心頻率點(diǎn)、陷波寬度、陷波深度能進(jìn)行單獨(dú)控制，更易設(shè)計(jì)出滿足系統(tǒng)的陷波器。

圖4 改進(jìn)型陷波器傳遞函數(shù)的Bode圖

下面介紹如何根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特性來確定陷波器三參數(shù)。

(1)陷波中心點(diǎn)頻率即為機(jī)械諧振頻率fA；

(2)陷波深度Dp可定義為：

(11)

(3)由諧振方程特性可知，柔性軸阻尼系數(shù)越小，諧振峰值越大，考慮最不利的情況下，令柔性軸上的阻尼系數(shù)DW=0 , 則伺服系統(tǒng)柔性負(fù)載系統(tǒng)的二階振蕩環(huán)節(jié)部分在頻率ωf=aωA處幅值為：

(12)

剛性系統(tǒng)下，處于高頻段的系統(tǒng)增益接近1+R，柔性連接下的系統(tǒng)增益可設(shè)為n(1+R)，即令Mf=n(1+R)，解得：

(13)

又知n>1，顯然a2

Bf≥(a1-a2)ωA

(14)

通過以上公式推導(dǎo)，陷波器的3個參數(shù)均可根據(jù)系統(tǒng)固有屬性：伺服電機(jī)轉(zhuǎn)動慣量、負(fù)載轉(zhuǎn)動慣量、柔性軸剛度系數(shù)等參數(shù)計(jì)算出來，與以往根據(jù)經(jīng)驗(yàn)值來確定陷波器部分參數(shù)相比較更為準(zhǔn)確。

3 仿真平臺搭建與結(jié)果分析

3.1 SIMULINK仿真平臺搭建

利用MATLAB的SIMULINK工具搭建實(shí)驗(yàn)仿真平臺，所使用的數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 仿真實(shí)驗(yàn)參數(shù)

仿真采用SVPWM算法對永磁同步電機(jī)進(jìn)行電流環(huán)、速度環(huán)雙環(huán)控制，得到電機(jī)空載與帶動柔性負(fù)載轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)速響應(yīng)?？蛰d情況下，驅(qū)動電機(jī)跟隨效果良好，未出現(xiàn)諧振現(xiàn)象，其轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線如圖5所示；帶柔性負(fù)載時，驅(qū)動電機(jī)出現(xiàn)明顯的機(jī)械諧振現(xiàn)象，其轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線如圖6所示。對0.05s～0.15s時間段內(nèi)空載和帶柔性負(fù)載的伺服電機(jī)轉(zhuǎn)速反饋分別進(jìn)行FFT變換，結(jié)果如圖7所示，可以看出在帶柔性負(fù)載時，諧振頻率處出現(xiàn)較大的諧振峰值。

圖5 空載時轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線

圖6 帶柔性負(fù)載時轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線

圖7 空載與帶載時轉(zhuǎn)速FFT變換

3.2 仿真結(jié)果分析

先采用二參數(shù)傳統(tǒng)陷波器對此系統(tǒng)進(jìn)行諧振抑制，確定陷波中心點(diǎn)頻率后，由于二參數(shù)傳統(tǒng)陷波器無法單獨(dú)控制陷波深度和陷波寬度，隨著參數(shù)的變化，如圖8所示，在0.25s時刻引入陷波器當(dāng)陷波深度達(dá)到要求時，陷波寬度過大，損失的相角也會變大，降低系統(tǒng)的魯棒性，影響整個系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，始終無法找到合適的滿足要求的參數(shù)，傳統(tǒng)陷波器失效。

采用常用三參數(shù)陷波器，根據(jù)帶柔性負(fù)載時，電機(jī)轉(zhuǎn)速響應(yīng)的FFT變換結(jié)果確定陷波中心點(diǎn)頻率、陷波寬度以及陷波深度，再根據(jù)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行微調(diào)，結(jié)果如圖9a所示，盡管陷波器有效，但參數(shù)調(diào)整過程緩慢且繁瑣，由圖9b中看出系統(tǒng)在陷波頻率點(diǎn)兩側(cè)產(chǎn)生了兩個幅值較大新的諧振點(diǎn)，存在隱患。

采用本文所改進(jìn)的陷波器，根據(jù)公式(6)可計(jì)算出機(jī)械諧振中心點(diǎn)頻率為fA=379.58Hz，取n=12，根據(jù)公式(14)可計(jì)算出陷波寬度Bf=333Hz，根據(jù)公式(11)可計(jì)算出陷波深度DP=-97.14Hz；如圖10所示，在0.25s時刻引入此陷波器，陷波效果顯著，轉(zhuǎn)速響應(yīng)FFT變換結(jié)果顯示頻率點(diǎn)兩側(cè)并未出現(xiàn)較大的諧振峰值，對系統(tǒng)影響較小。

(a) 轉(zhuǎn)速響應(yīng)

(b) 轉(zhuǎn)速FFT變換 圖8 采用傳統(tǒng)陷波器結(jié)果分析

(a) 轉(zhuǎn)速響應(yīng)

(b) 轉(zhuǎn)速FFT變換 圖9 采用三參數(shù)陷波器結(jié)果分析

(a) 轉(zhuǎn)速響應(yīng)

(b) 轉(zhuǎn)速FFT變換 圖10 采用改進(jìn)型陷波器結(jié)果分析

根據(jù)以上仿真結(jié)果可以看出，基于系統(tǒng)模型結(jié)構(gòu)的改進(jìn)型陷波器在陷波中心點(diǎn)處幅值減小81.7%，陷波寬度設(shè)計(jì)合理，證明了該陷波器的可行性以及參數(shù)計(jì)算的準(zhǔn)確性。此陷波器彌補(bǔ)了傳統(tǒng)二參數(shù)陷波器無法分別控制陷波深度和陷波寬度從而使陷波失效的不穩(wěn)定性，同時彌補(bǔ)了常用三參數(shù)陷波器參數(shù)整定的繁瑣與不便，從系統(tǒng)模型結(jié)構(gòu)入手，快速準(zhǔn)確的設(shè)計(jì)出既滿足陷波要求，又不至于使由于陷波器的加入導(dǎo)致的相位滯后對系統(tǒng)產(chǎn)生太大的影響。

4 結(jié)束語

本文重點(diǎn)分析了雙慣量模型在進(jìn)行諧振抑制時所產(chǎn)生的諧振頻率特性，基于系統(tǒng)模型結(jié)構(gòu)通過公式計(jì)算得出諧振信號的頻率中心點(diǎn)、諧振峰值、寬度等參數(shù)，并且設(shè)計(jì)了一種改進(jìn)型的陷波濾波器包含諧振信號的各個指標(biāo)，基于模型結(jié)構(gòu)快速整定陷波器參數(shù)。通過仿真驗(yàn)證，此陷波器及其參數(shù)整定方法能有效的抑制諧振現(xiàn)象，大幅減小諧振峰值，對系統(tǒng)影響較小，為今后的實(shí)際應(yīng)用提供了理論依據(jù)。