劉增壽
(山東省東營市河口區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校,山東東營 257200)
在初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中,基礎(chǔ)理論教學(xué)占據(jù)著重要的地位,但是只有將數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)以致用,靈活地運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題,才能展現(xiàn)出數(shù)學(xué)的真正價(jià)值。同時(shí),這也是教師組織初中數(shù)學(xué)活動(dòng)的最終目的。在很久以前,數(shù)學(xué)家們就開始對“注重應(yīng)用”進(jìn)行不懈的探索,同時(shí)在教學(xué)實(shí)踐中積累了有效引導(dǎo)學(xué)生“注重應(yīng)用”的教學(xué)方法。在這些教學(xué)方法中,教學(xué)建模占據(jù)著重要的地位。那么,什么是數(shù)學(xué)建模呢?教師要如何在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模教學(xué)呢?這是本文論述的重點(diǎn)所在。
要想弄清楚數(shù)學(xué)建模是什么,首先要知道數(shù)學(xué)模型是什么。所謂數(shù)學(xué)模型,是指在一個(gè)特定的目標(biāo)指導(dǎo)下,根據(jù)內(nèi)在的規(guī)律,圍繞一個(gè)特定的對象進(jìn)行簡單猜測,并運(yùn)用適宜的數(shù)學(xué)工具驗(yàn)證猜測,建構(gòu)出一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)建模則是指在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中,靈活地發(fā)揮數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)方法的作用,在抽象、簡化等過程中探索出有效解決數(shù)學(xué)問題的教學(xué)手段[1]。
數(shù)學(xué)建模是有效解決數(shù)學(xué)問題的一種手段、方法,其不能與“解決問題”等同而視。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)開展的過程中,教師要想有效地組織數(shù)學(xué)建模教學(xué),首先要弄清楚數(shù)學(xué)建模與“解決問題”的區(qū)別。“解決問題”是一個(gè)較為復(fù)雜的過程,一般來說,學(xué)生在運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題時(shí)往往會(huì)得到一個(gè)準(zhǔn)確的答案,而數(shù)學(xué)建模卻沒有固定的答案,在這樣沒有固定結(jié)果的限制下,教師需要調(diào)動(dòng)學(xué)生參與的積極性。在此過程中,教師還要以小組合作的形式引導(dǎo)學(xué)生在合作探究的過程中,獲得數(shù)學(xué)思維能力、數(shù)學(xué)表達(dá)能力等綜合能力的發(fā)展。
數(shù)學(xué)建模的實(shí)現(xiàn)不是隨意為之的,其作為“解決問題”的一種有效方法,需要以實(shí)際的問題為基礎(chǔ),在所給出的各種變量關(guān)系中建立數(shù)學(xué)模型,并以該模型為中心,進(jìn)行定性、定量、求解,從而抽象出數(shù)學(xué)結(jié)論,獲得有效的解決數(shù)學(xué)問題的方法。但是,獲得了數(shù)學(xué)問題解決方法并不意味著數(shù)學(xué)建模的結(jié)束,教師還需要將獲得的方法應(yīng)用到實(shí)際問題中,在問題解決中檢驗(yàn)該方法,從而建立一個(gè)準(zhǔn)確的模型,進(jìn)而掌握有效解決數(shù)學(xué)問題的方法。
在弄清楚了數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵及其過程后,教師需要做的就是回歸初中數(shù)學(xué)教學(xué),在課堂教學(xué)活動(dòng)開展中,采取不同的教學(xué)方式引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)建模。
新課程改革倡導(dǎo)在開展初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中,教師要引導(dǎo)學(xué)生積極地體驗(yàn)生活,使學(xué)生在生活體驗(yàn)的過程中感知數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系,從而在主觀能動(dòng)性的發(fā)揮下自主建立簡單的數(shù)學(xué)模型?;诖耍陂_展數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中,筆者會(huì)立足學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn),為學(xué)生創(chuàng)設(shè)生活化的問題,引導(dǎo)學(xué)生在簡單的生活問題解決中運(yùn)用所學(xué)知識(shí),建立簡單的數(shù)學(xué)模型。
以“方程”為例,筆者在教學(xué)活動(dòng)的開展過程中,為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了這樣一個(gè)問題:“某商場的某一熱銷童裝的標(biāo)價(jià)是150元,在六一兒童節(jié)期間,該商場為了提高銷量,搞了打8折的優(yōu)惠活動(dòng)。在此活動(dòng)開展中,商家仍舊可以獲利20%。請問,該童裝的進(jìn)價(jià)是多少呢?”該問題是一道較為簡單的方程題,筆者在引導(dǎo)學(xué)生解決該問題時(shí),先從條件中提取關(guān)鍵詞,即標(biāo)價(jià)150元,打8折,獲利20%。簡單地說,標(biāo)價(jià)是150元,售價(jià)是標(biāo)價(jià)的80%,獲得的利潤率是20%。在分析這些關(guān)鍵詞的過程中,學(xué)生調(diào)動(dòng)自身已有的知識(shí)儲(chǔ)備,自主地建立“利潤率=(售價(jià)-進(jìn)價(jià))/進(jìn)價(jià)”的模型。在建立了模型后,學(xué)生需要根據(jù)所學(xué)到的方程知識(shí)建立未知數(shù),列出相應(yīng)的方程式,從而在解答方程式的過程中獲得答案。根據(jù)所建立的模型,學(xué)生輕松地將進(jìn)價(jià)設(shè)為x,列出這樣的方程式:(150×0.8-x)/x=20%。經(jīng)過求解方程式得到進(jìn)價(jià)是100元。由此可見,貼近學(xué)生生活實(shí)際的問題不僅可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,還能促使學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型,運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題。如此不僅實(shí)現(xiàn)了問題的有效解決,使學(xué)生獲得了解決數(shù)學(xué)問題的樂趣,還避免了死記硬背公式等情況的出現(xiàn),有利于學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)。
在傳統(tǒng)的初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)開展過程中,教師的照本宣科往往使大部分學(xué)生在抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)堆積下迷失方向,無法深刻地理解所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí),其解決實(shí)際問題的能力也受到了極大的限制。在此情況下,教師要利用多種教學(xué)方式打破傳統(tǒng)教學(xué)的限制,使學(xué)生在知識(shí)與能力等方面獲得有效發(fā)展。筆者在初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中,往往采取建立表格、圖形的方式引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)學(xué)問題。以建立表格為例,對于具有復(fù)雜性的數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)問題,教師可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用表格的方式,將一個(gè)個(gè)條件以表格的方式直觀地展現(xiàn)出來,以此使學(xué)生在順利梳理問題條件的過程中,把握建模方向[2]。
例如,“市政公交公司現(xiàn)在有金龍和大宇這兩種客車,其中金龍客車的車載量是45人,每輛車的租金是400元;大宇客車的車載量是30人,每輛車的租金是280元。學(xué)校要組織學(xué)生春游,計(jì)劃一共租用5輛車,請問:(1)在租金不超過1900元的情況下,最多可以租用多少輛金龍客車?(2)現(xiàn)有師生共195人,在保證客車的租金不超過1900元的情況下,你可以給出幾種租車方案呢?最省錢的是哪一種呢?”該問題的條件不僅復(fù)雜,而且較為分散,學(xué)生在分析時(shí),往往會(huì)出現(xiàn)條件遺漏的情況。此時(shí),筆者鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用列表格的方式,按照已知量和未知量將條件關(guān)系直觀地展現(xiàn)出來。根據(jù)題意,學(xué)生可以將租用金龍客車的數(shù)量設(shè)為x,然后列出表1和表2。
表1 已知量關(guān)系表
表2 未知量關(guān)系表
在這兩個(gè)表格內(nèi)容的引導(dǎo)下,學(xué)生可以根據(jù)所學(xué)的方程知識(shí)確定租金一共是400x+280(5-x)元。根據(jù)問題(1),租金一共不超過1900元,那么,400x+280(5-x)≤1900,求得x。根據(jù)問題(2),由問題(1)所獲得的答案,可知,當(dāng)租金不超過1900元時(shí),可以租用0,1,2,3,4輛金龍客車。接下來,則要根據(jù)問題(1)所建立的模型來確定這些答案是否正確。在此次驗(yàn)證模型的過程中,學(xué)生經(jīng)過計(jì)算可以獲得,當(dāng)租用3輛金龍客車和2輛大宇客車或者租用4輛金龍客車,1輛大宇客車時(shí)才最省錢。在解決這樣的問題的過程中,學(xué)生不僅可以以圖表方式準(zhǔn)確把握數(shù)量關(guān)系,還可以在建立模型、檢驗(yàn)?zāi)P偷倪^程中,實(shí)現(xiàn)問題的有效解決,有利于其數(shù)學(xué)問題解決能力的提高。
正如上文所提及的,在初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的目的是引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題。在長期的訓(xùn)練過程中,學(xué)生很難做到學(xué)以致用。造成這些困難的主要原因是學(xué)生缺乏將生活經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的經(jīng)驗(yàn),所以其在難以有效把握數(shù)學(xué)建模的方向時(shí),無法對所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行靈活運(yùn)用。對此,在開展初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的過程中,教師要想有效地實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模教學(xué),使學(xué)生樹立數(shù)學(xué)建模意識(shí),除了要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行大量的訓(xùn)練外,還要對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分類,以此使學(xué)生在條理清晰的情況下,對數(shù)學(xué)建模有一個(gè)深刻的感知,從而為其將生活問題轉(zhuǎn)化為建模經(jīng)驗(yàn)、提升自主建模能力奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
筆者在開展初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中,立足于教學(xué)所需和學(xué)生生活中常遇到的問題,為其歸納出了幾何模型、方程模型、函數(shù)模型等不同的數(shù)學(xué)模型類型。具體來說,筆者在組織三角函數(shù)、四邊形、勾股定理等知識(shí)的教學(xué)時(shí),將教材中所出現(xiàn)的問題轉(zhuǎn)化為了幾何模型,引導(dǎo)學(xué)生在大量的練習(xí)中積累經(jīng)驗(yàn)。在教學(xué)一元一次方程、一元二次方程等內(nèi)容時(shí),筆者則將數(shù)學(xué)教材中所涉及的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成了方程模型,引導(dǎo)學(xué)生在應(yīng)用該模型的過程中掌握解決數(shù)學(xué)問題的方法。在教學(xué)一次函數(shù)、反比例函數(shù)等內(nèi)容時(shí),筆者則引導(dǎo)學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題的過程中建立函數(shù)模型,以此來鍛煉其數(shù)學(xué)建模能力,幫助其積累應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的經(jīng)驗(yàn),為其有效地解決生活中的數(shù)學(xué)問題奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
總之,在開展初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)過程中,教師不僅要向?qū)W生講授基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識(shí),還要以知識(shí)為基礎(chǔ),采取多樣的方式引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)建模,使其在建模的過程中加深對所學(xué)知識(shí)的理解,同時(shí)掌握應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的方法,從而提升其數(shù)學(xué)問題解決能力。