張惠 衛(wèi)曉娟 丁旺才

摘要： 針對一類單自由度含間隙和預緊彈簧的彈性碰撞振動系統(tǒng)的分岔控制問題，提出了一種基于Lyapunov指數(shù)及徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡的分岔預測及控制方法。首先建立了系統(tǒng)的Poincaré映射，推導了彈性碰撞振動系統(tǒng)周期運動存在的條件，研究了在主要分岔參數(shù)平面中的動力學分布;其次利用Lyapunov指數(shù)分析了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，提出利用追蹤Lyapunov指數(shù)譜分岔點來預測周期倍化分岔發(fā)生的方法;最后基于徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡設計了參數(shù)反饋分岔控制器、基于周期倍化分岔點處的最大Lyapunov指數(shù)構造適應度函數(shù)，并利用Lyapunov指數(shù)判斷是否實現(xiàn)了分岔控制，以引導自適應混合引力搜索算法對控制器的參數(shù)進行優(yōu)選，從而實現(xiàn)周期倍化分岔控制。

關鍵詞： 非線性振動; 非光滑系統(tǒng); 周期倍化分岔; Poincaré映射; Lyapunov指數(shù)譜; RBF神經(jīng)網(wǎng)絡

中圖分類號： O322; O343.5 ?文獻標志碼： A ?文章編號： 1004-4523（2019）04-0626-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2019.04.009

引 言

分岔是非線性系統(tǒng)所具備的獨特現(xiàn)象且已經(jīng)成為非線性動力學不可或缺的組成部分，分岔理論的研究不僅揭示了系統(tǒng)的各種運動狀態(tài)之間的相互聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，而且與混沌密切相關。對于非線性系統(tǒng)，分岔現(xiàn)象可能產(chǎn)生有害的動力學行為，需要避免或抑制;又或為了使系統(tǒng)產(chǎn)生人們所需要的分岔行為，需要設計適當?shù)目刂破饕愿淖兎蔷€性振動的分岔特性。因此，對非線性系統(tǒng)的分岔分析和控制的研究具有重要的科學意義和廣闊的應用前景[1]。研究分岔控制，可以有效地避免、延緩和消除分岔所導致的不良后果，對提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性和可靠性具有理論指導意義。

非光滑動力系統(tǒng)在機械、電路等領域十分普遍，它會導致類似于復雜非線性系統(tǒng)具有的分岔和混沌運動，然而很多分岔特性及機理又與普通光滑非線性系統(tǒng)完全不同 [2-10]。非光滑系統(tǒng)中含有的間隙、預緊、干摩擦等非光滑因素使其Poincaré映射在控制目標附近不可微，故基于局部線性化映射的各種控制策略及其推廣形式不能勝任這類系統(tǒng)的混沌運動控制[11]。

周期倍化分岔過程是一條通向混沌的典型道路，因此消除或延遲周期倍化分岔的發(fā)生是控制混沌發(fā)生的一個有效方法。Abed等[12]提出了周期倍化分岔的局部鎮(zhèn)定問題，并采用反饋控制延遲倍周期分岔的發(fā)生。唐駕時等[13]研究了Logistic模型的倍周期分岔的控制問題，設計了各種線性控制器，使倍周期分岔延遲或提前出現(xiàn)甚至消失。羅曉曙等[14]利用系統(tǒng)的狀態(tài)反饋和參數(shù)調(diào)節(jié)的方法，有效地實現(xiàn)了離散非線性動力系統(tǒng)的倍周期分岔的延遲控制和混沌吸引子中不穩(wěn)定周期軌道的控制。王學梅等[15]根據(jù)一般迭代映射的倍周期分岔定理，從數(shù)學上論證了電壓型不連續(xù)導電模式（DCM）Boost和Buck變換器中倍周期分岔現(xiàn)象產(chǎn)生的條件， 由此揭示了 DC-DC 變換器中倍周期分岔現(xiàn)象發(fā)生的機理。姜海波等[16]基于Floquet理論揭示了Logistic映射周期解的分岔機理。衛(wèi)曉娟等[17]應用基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡的智能優(yōu)化控制方法研究一類含間隙碰撞振動系統(tǒng)混沌運動的控制，將混沌運動控制為預期的規(guī)則運動。文[18] 提出了一種不依賴被控系統(tǒng)數(shù)學模型的無模型自適應參數(shù)反饋混沌控制方法，研究了一類單自由度非光滑系統(tǒng)的混沌控制問題。文[19]通過分析對稱性破缺分岔機制，采用了一個直接的、有效的線性控制器，精確控制了一類三次方對稱離散混沌系統(tǒng)發(fā)生對稱性破缺分岔和倍周期分岔時分岔點的位置。Souza 等[20]在碰撞瞬時，引進了具有動態(tài)變量的超越映射，計算了碰撞系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)譜。金俐等[21] 對n維剛性約束和分段光滑非光滑動力系統(tǒng)引進局部映射，利用映射分析方法得出了非光滑系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)譜的通用計算方法。

本文針對一類單自由度含間隙和預緊彈簧的彈性碰撞振動系統(tǒng)的分岔控制問題，應用智能控制方法，提出了一種基于Lyapunov指數(shù)及徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡的分岔預測及控制方法。本文內(nèi)容安排如下：首先建立了系統(tǒng)的Poincaré映射，推導了彈性碰撞振動系統(tǒng)周期運動存在的條件。利用Lyapunov指數(shù)分析了系統(tǒng)的穩(wěn)定性;其次提出追蹤Lyapunov指數(shù)譜分岔點來預測周期倍化分岔發(fā)生的方法;最后基于徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡設計了參數(shù)反饋分岔控制器，并基于周期倍化分岔點處的最大Lyapunov指數(shù)構造適應度函數(shù)（即利用Lyapunov指數(shù)預測周期倍化分岔的發(fā)生，以及判斷是否實現(xiàn)了分岔的控制），以引導自適應混合引力搜索算法對控制器的參數(shù)進行優(yōu)選，從而實現(xiàn)了周期倍化分岔的控制。

1 系統(tǒng)模型及其運動方程

1.1 力學模型

圖1為一個含間隙及預緊彈簧的彈性碰撞振動系統(tǒng)模型，左邊是質(zhì)量為M的物塊由剛度為K1的線性彈簧和阻尼系數(shù)為R1的線性阻尼器連接于支承，并受到簡諧激勵Fmsin（ΩT+τ）的作用（Fm為簡諧激勵力幅值，Ω為簡諧激勵力頻率，τ為初始相位）。右邊是一個帶有預壓縮彈簧K2和阻尼系數(shù)為R2的碰撞面（無質(zhì)量），用來緩沖碰撞。取物塊靜平衡位置為坐標原點，彈簧K2被預壓縮來緩沖振動，設質(zhì)量塊的位移為X，間隙為Δ，彈簧K2的預壓縮量為D。

3.2.2 基于AHGSA的控制器參數(shù)優(yōu)化流程

采用AHGSA算法使式（20）取得最小值的全局最優(yōu)位置g即是RBF神經(jīng)網(wǎng)絡參數(shù)反饋分岔控制器的最優(yōu)參數(shù)w，b和c，其具體優(yōu)化流程如下：

1） 隨機初始化粒子的位置和速度;

2） 按式（20）計算每個粒子的適應值;

3） 對每個粒子，將其適應值與個體歷史最優(yōu)、以及與全局最優(yōu)進行比較，以更新當前的個體最優(yōu)位置與群體最優(yōu)位置;

4） 更新每個粒子的速度和位置;

5） 如未達到預先設定的停止準則，則返回步驟2），若達到則停止計算。

4 仿真研究

在確定神經(jīng)網(wǎng)絡隱層節(jié)點數(shù)時，在滿足控制系統(tǒng)性能要求的前提下，以取盡可能緊湊的網(wǎng)絡結(jié)構為原則，將網(wǎng)絡隱層節(jié)點選定為5個。AHGSA算法的參數(shù)設置為：種群規(guī)模為30，最大迭代次數(shù)為100，G0=129，α=17，等比系數(shù)r=0.96。利用控制器分別對系統(tǒng)可控參數(shù)ω，δ施加微小擾動，以控制系統(tǒng)的周期倍化分岔行為，使系統(tǒng)趨于穩(wěn)定的q=1/1周期運動狀態(tài)。為了清楚地顯示控制效果，前200次迭代不啟動控制項，從第201次開始施加控制，圖7（a）和（b）分別為調(diào)整ω和δ時的周期倍化分岔控制效果。由圖可知，系統(tǒng)的q=2/2運動能夠很快地被控制為q=1/1周期運動，實現(xiàn)了周期倍化分岔控制。同樣的，q=4/4及混沌運動也可以很快地被控制為q=1/1周期運動。因調(diào)整參數(shù)ω和δ的控制效果是類似的，故只呈現(xiàn)了調(diào)整參數(shù)ω的控制效果圖，如圖8及9所示。

5 結(jié) 論

本文研究了一類單自由度含間隙和預緊彈簧的彈性碰撞振動系統(tǒng)模型，針對系統(tǒng)的分岔控制問題，提出了一種基于Lyapunov指數(shù)及徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡的分岔預測及控制方法。

（1） 建立了系統(tǒng)的Poincaré映射，推導了彈性碰撞振動系統(tǒng)周期運動存在條件，研究了系統(tǒng)不同周期運動狀態(tài)在（ω，δ）參數(shù)平面的所處參數(shù)區(qū)域。

（2） 提出追蹤Lyapunov指數(shù)譜分岔點來預測周期倍化分岔發(fā)生的方法;當周期運動的兩個Lyapunov指數(shù)的差值dλ小于突變閾值dλCP時，系統(tǒng)保持穩(wěn)定的周期運動狀態(tài);隨著系統(tǒng)參數(shù)的變化，當dλ逐漸增大到分岔閾值dλPD，即λ1=0時系統(tǒng)開始周期倍化分岔序列，Lyapunov指數(shù)突變點的變化倍率為gω≈3.447，gδ≈3.969。

（3） 基于徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡設計了參數(shù)反饋分岔控制器，并基于周期倍化分岔點處的最大Lyapunov指數(shù)構造適應度函數(shù)，即利用Lyapunov指數(shù)預測周期倍化分岔的發(fā)生，以及判斷是否實現(xiàn)了分岔的控制。以引導自適應混合引力搜索算法對控制器的參數(shù)進行優(yōu)選，從而實現(xiàn)周期倍化分岔的控制。

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Abstract： The paper is devoted to a kind of single-degree-of-freedom non-smooth dynamical system with clearance and pre-compressed springs. The Poincaré mapping of the system is established and the existence condition of periodic motion of the elastic vibro-impact system is derived， and the dynamic distribution in the main bifurcation parameter plane is studied. The stability of the system is analyzed by using Lyapunov exponents， and a method of predicting the occurrence of period doubling bifurcation by tracing the spectral bifurcation points of Lyapunov exponent is proposed. The parameter feedback bifurcation controller is designed on the basis of RBF neural network. The adaptive hybrid gravitational search algorithm （AHGSA） combined with RBF neural network is presented to optimize the parameters in bifurcation controller. To control the period-doubling bifurcations， the fitness function is formulated on the maximum Lyapunov exponent of the corresponding bifurcation points.

Key words： nonlinear vibration; non-smooth dynamical systems; period doubling bifurcation; Poincaré mapping; Lyapunov exponent; RBF neural network

作者簡介： 張 惠（1983-），女，講師。電話：（0931）4957093;E-mail：zhanghui_nice@163.com

通訊作者： 丁旺才（1964-），男，教授。電話：（0931）4956108;E-mail：Dingwc@mail.lzjtu.cn