何京松

摘?要：蝸牛，一種無脊椎生物，通過一種不尋常的機(jī)械原理驅(qū)動(dòng)自身。本文結(jié)合生物學(xué)家的研究成果，針對(duì)蝸牛運(yùn)動(dòng)介紹一種逆行波模型：在運(yùn)動(dòng)過程中，蝸牛身體底部軟體足將產(chǎn)生一個(gè)逆行波，同時(shí)會(huì)在承載物與足之間分泌一層粘液（在本模型中假定為牛頓流體），正是波狀足與粘液層的相互作用，給蝸牛的前行提供了足夠的驅(qū)動(dòng)力。

關(guān)鍵詞：蝸牛運(yùn)動(dòng);逆行波;牛頓流體

中圖分類號(hào)：O313文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

蝸牛是自然界的一種常見生物，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律一向是國(guó)內(nèi)外科學(xué)家感興趣的話題，[1-3]目前對(duì)蝸牛本身運(yùn)動(dòng)規(guī)律的研究已經(jīng)趨于完善：通過波狀足與自身分泌粘液的相互作用，產(chǎn)生一個(gè)與足部波傳播方向相反的推進(jìn)力，從而實(shí)現(xiàn)自身在承載物上的移動(dòng)。本文依據(jù)這一研究成果，通過對(duì)蝸牛運(yùn)動(dòng)實(shí)際模型的簡(jiǎn)化，介紹了一種逆行波模型，可以有效地計(jì)算蝸牛運(yùn)動(dòng)速度。

將蝸牛運(yùn)動(dòng)模型簡(jiǎn)化為二維模型，記蝸牛前進(jìn)速度為V^s，蝸牛底部足波動(dòng)速度為V^w，方向與蝸牛前進(jìn)方向相反，波長(zhǎng)為λ，振幅為a。為消除時(shí)間項(xiàng)，以蝸牛足部波形為參照系，以承載面為x^軸，蝸牛前進(jìn)方向?yàn)閤^軸正方向，以垂直于蝸牛前進(jìn)方向?yàn)閥^軸，由承載面指向蝸牛，則粘液層沿x^軸的厚度為：

h^=h^（x^）（1）

因此，相對(duì)于波參照系，蝸牛速度為V^w，承載面速度為V^w-V^s。

當(dāng)粘液層平均厚度H^遠(yuǎn)小于波長(zhǎng)λ時(shí)，N-S方程可簡(jiǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)潤(rùn)滑方程，[4]在x^與y^方向的動(dòng)量守恒方程可簡(jiǎn)化為：

p^x^=μ2u^y^2，p^y^=0（2）

其中p^為壓強(qiáng)，μ為粘性系數(shù)，u^為x^方向分速度。令x^=λx，y^=H^y，u^=V^wu，p^=λμV^w/H^2p，h^=H^h，V^s=V^wVs，則x^方向動(dòng)量守恒方程變?yōu)椋?/p>

dpdx=2uy2（3）

對(duì)此方程采用無滑移邊界條件：

u（0）=1-Vs，u（h）=1（4）

對(duì)方程（3）積分兩次可得到：

u（x，y）=12dpdxy（y-h）+Vs（yh-1）+1（5）

在穩(wěn)態(tài)時(shí)，粘液層流量Q=∫h0udy在x方向應(yīng)保持不變，對(duì)方程（5）從0到h進(jìn)行積分，并求解出壓力梯度可得：

dpdx=12h3[h（1-12Vs）-Q]（6）

由于h（x）以波長(zhǎng)1周期性變化，故有p（1）=p（0），即：

∫10dpdxdx=p（1）-p（0）=0（7）

結(jié)合方程（7），對(duì)方程（6）在一個(gè)波長(zhǎng)內(nèi)進(jìn)行積分，可解得：

Q=（1-12Vs）I2I3（8）

其中，Ij=∫10dxhj。因此，只要給定波形h（x），即可計(jì)算出流量Q，壓力梯度dp/dx，以及x方向的速度分布。

最后，為了求解蝸牛速度，需在蝸牛足部建立力平衡方程。粘液對(duì)蝸牛的牽引力為F=σ^n^，其中σ^為粘液應(yīng)力張量，n^為外法線單位向量。在一個(gè)周期內(nèi)對(duì)x進(jìn)行積分，并應(yīng)用力平衡方程，[5-6]可得：

∫10pdhdx+uyy=hdx=0（9）

其中第一項(xiàng)為蝸牛足部所受壓力，第二項(xiàng)為粘性力。結(jié)合方程（6）對(duì)第一項(xiàng)進(jìn)行分部積分可得：

3QI2=（3-2Vs）I1（10）

聯(lián)立方程（8）（10）并定義一個(gè)形狀函數(shù)：

A≡I22I1I3（11）

可求出蝸牛速度的表達(dá)式：

Vs=6（1-A）4-3A（12）

綜上，只要給定蝸牛的足部形狀，便可估算出蝸牛的運(yùn)動(dòng)速度。

以上分析僅針對(duì)水平承載面，在方程（6）中加入重力分力便可應(yīng)用于傾斜承載面情況：

-Wsin=∫10pdhdx+uyy=hdx（13）

其中φ為承載面傾斜角，W=H^mg/μV^wλb為無量綱重力，b為z^方向的蝸牛厚度。求解方程（13）可得：

Vs=6（1-A）4-3A-WsinI1（4-3A）（14）

由此方程可知，只需6（1-A）W/I1蝸牛便可以翻越任何障礙物。

通過以上分析我們可以得出結(jié)論，蝸牛的前進(jìn)速度與底部足波形息息相關(guān)，其與波速的比值由底部足波形、蝸牛重力以及承載面傾斜角等共同決定。

參考文獻(xiàn)：

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