劉永瑞

一、課程開發(fā)方案

1.開設(shè)緣由。

首先，課程“對稱與群”是近代代數(shù)學(xué)分支，概念豐富抽象，數(shù)學(xué)符號語言較多，開設(shè)這門課程可鍛煉學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)語言、理解數(shù)學(xué)抽象概念的能力。

其次，群論是19 世紀(jì)才逐步發(fā)展起來的近代數(shù)學(xué)理論，相對于中學(xué)數(shù)學(xué)知識而言要“先進(jìn)”很多，選修這門課程的學(xué)生能通過這扇窗戶了解到一些近代數(shù)學(xué)的概念和公理化體系，有利于擴(kuò)展學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，有利于提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值、文化價值的認(rèn)識。

基于以上考慮分析，以人教版選修3-4 教材“對稱與群”為參考，結(jié)合校本的實(shí)際情況，用講座的方式開設(shè)這門課程。

2.課時設(shè)計。

本課程共安排6 講12 課時。課程實(shí)施過程中，可以根據(jù)實(shí)際情況調(diào)節(jié)具體進(jìn)度、增減章節(jié)。這6 講課程的具體內(nèi)容見下表。

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二、課程實(shí)施案例展示

下面以“平面剛體運(yùn)動的定義”這一內(nèi)容為例，展示教學(xué)過程。

1.情景引入。

觀察我們身邊的事物，可以發(fā)現(xiàn)，對稱是現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中大量存在的現(xiàn)象，蝴蝶的翅膀、昆蟲的觸角、飛機(jī)的機(jī)身都有軸對稱性。

“對稱”是一種非常普遍的自然現(xiàn)象，它在物理學(xué)、化學(xué)和生命科學(xué)中得到廣泛的研究和應(yīng)有；同樣地，在數(shù)量關(guān)系、空間形式中“對稱”現(xiàn)象也大量存在，因而它也是數(shù)學(xué)研究的重要對象，對其的研究成果形成了系統(tǒng)的數(shù)學(xué)理論。

2.構(gòu)建概念。

定義1：如果一個平面圖形沿著平面上一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線稱為它的對稱軸。

定義2：把一個平面圖形繞平面上某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠和原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點(diǎn)稱為對稱中心。

對“對稱性”的研究常?？梢允刮覀兗由顚ξ矬w性質(zhì)的認(rèn)識，在我們的課程中，將借助新的數(shù)學(xué)概念來研究各種各樣的“對稱性”，介紹關(guān)于“對稱”的數(shù)學(xué)理論。

（1）反射變換的定義。現(xiàn)在我們換個角度來考察剛才的定義1 和定義2。我們知道一個平面可以看成是點(diǎn)的集合，就像我們把直線看成點(diǎn)的集合一樣，設(shè)α 是一個由平面內(nèi)的所有點(diǎn)組成的集合，l 是這個平面內(nèi)的一條直線，定義點(diǎn)集α 到其自身的一個映射r：P→P′，其中r 把平面α 內(nèi)的任意一點(diǎn)P 映到關(guān)于直線l 的對稱點(diǎn)P′，我們把這個映射稱為平面α 關(guān)于直線l的反射（reflection）。

（2）變換觀念下看軸對稱圖形。可以知道，在反射變換r 的作用下，平面α 內(nèi)的點(diǎn)被映到點(diǎn)，平面α 內(nèi)的圖形被映到與它全等的圖形，這時，如果一個圖形在映射r 的作用下仍與原來的圖形重合，我們就稱這個平面圖形是一個軸對稱圖形。

那么，如何用變換的觀念看中心對稱圖形呢？

（3）變換觀念下看中心對稱圖形。180°旋轉(zhuǎn)變換：設(shè)α 是一個由平面內(nèi)的所有點(diǎn)組成的集合，O 是平面α 內(nèi)的一個固定點(diǎn)，定義點(diǎn)集α 到其自身的一個映射ρ：P→P′，ρ 把平面α 內(nèi)的任意一點(diǎn)P 繞點(diǎn)O 旋轉(zhuǎn)180°后映到點(diǎn)P′，這個映射稱為以點(diǎn)O 為中心的180°旋轉(zhuǎn)（rotation）。

一般地，如果一個平面圖形在映射ρ 的作用下仍與原來的圖形重合，我們就稱這個圖形是一個中心對稱圖形。

思考題：按著這個定義，平行四邊形、正六邊形、圓都是中心對稱圖形嗎？這個定義與前面的定義2 等價嗎？

（4）旋轉(zhuǎn)變換與恒等變換。我們可以對以O(shè)為中心旋轉(zhuǎn)180°的旋轉(zhuǎn)進(jìn)行推廣：表示平面內(nèi)以一個固定點(diǎn)P 為中心轉(zhuǎn)任意給定角度的旋轉(zhuǎn)，這樣定義的映射在數(shù)學(xué)上稱為旋轉(zhuǎn)變換。旋轉(zhuǎn)角度為0°的旋轉(zhuǎn)變換把平面上的所有點(diǎn)映到它自身，這個映射使整個平面上的每個點(diǎn)都保持不動，所以稱為恒等變換（identity transformation）。

提煉：可以發(fā)現(xiàn)反射變換和旋轉(zhuǎn)變換有一個共同點(diǎn)——保距性，即對于平面內(nèi)的任意兩點(diǎn)P 和Q，在變換的作用下得到點(diǎn)P′和Q′，滿足|PQ|=|P′Q′|，借用物理學(xué)中的名詞，我們把這類“保持距離不變”的映射稱為平面剛體運(yùn)動。

（5）平面剛體運(yùn)動的概念。定義：設(shè)α 是一個平面，映射m：平面α→平面α 是一個一一映射，若m 保持平面α 內(nèi)任意兩點(diǎn)間的距離不變，則稱m 是一個平面剛體運(yùn)動（the rigidmotion of the plane）。

3.課后思考問題。

尋找身邊有趣的平面剛體運(yùn)動的例子，并用代數(shù)語言解釋描述。