汪麗娜 龐晶

[摘 要] 微課程中的“微”既指教學(xué)時長短又指教學(xué)內(nèi)容少。一方面，教學(xué)時長短便于學(xué)生利用碎片化時間學(xué)習(xí);另一方面，教學(xué)內(nèi)容少對教師做教學(xué)設(shè)計提出了更高的要求。文章以概率論與數(shù)理統(tǒng)計中最重要的一類定理——中心極限定理為例，闡述微課程教學(xué)設(shè)計的特點(diǎn)及其應(yīng)用實(shí)踐。貼近生活的案例設(shè)計使教學(xué)更生動;形象化教學(xué)使抽象的定理更具象化地呈現(xiàn)。微課程教學(xué)實(shí)踐體現(xiàn)了三個特點(diǎn)：合理的教學(xué)結(jié)構(gòu)設(shè)置、有針對性地突出重點(diǎn)、加強(qiáng)教學(xué)系統(tǒng)性的考量。

[關(guān)鍵詞] 微課程;案例設(shè)計;數(shù)值模擬;中心極限定理

[中圖分類號] G642? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)志碼] A [文章編號] 1008-2549（2019） 09-0110-03

微課程是微型學(xué)習(xí)的一種具體形式，主要以短時視頻為載體記錄微型化的教學(xué)內(nèi)容，是對傳統(tǒng)教學(xué)模式的革新[1]。為貫徹落實(shí)《教育部關(guān)于全面提高高等教育質(zhì)量的若干意見》精神，推動信息技術(shù)與大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)深度融合，促進(jìn)教師更新教學(xué)理念、革新教學(xué)方法、創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計、提升教學(xué)能力，由教育部高等學(xué)校大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)指導(dǎo)委員會和全國高等學(xué)校教學(xué)研究中心共同主辦了“全國高校數(shù)學(xué)微課程教學(xué)設(shè)計競賽”，促進(jìn)了數(shù)學(xué)類課程教育教學(xué)改革的發(fā)展、積累了教學(xué)成果。

微課程具有短小精悍可重現(xiàn)的教學(xué)優(yōu)勢。與傳統(tǒng)教學(xué)50分鐘一節(jié)課的安排方式相比，微課程的教學(xué)時間較短，更利于集中注意力學(xué)習(xí)，符合認(rèn)知規(guī)律。其次，微課程是對某個具體的知識點(diǎn)展開教學(xué)，與傳統(tǒng)教學(xué)相比，其主題更加突出、針對性較強(qiáng)。此外，微課程視頻易于保存?zhèn)鞑?，具有更高的教學(xué)可重現(xiàn)性，可以供多位教師多次再利用，也可以供學(xué)生預(yù)習(xí)復(fù)習(xí)使用。本文以概率論與數(shù)理統(tǒng)計中最重要的一類定理——中心極限定理為例，闡述微課程教學(xué)設(shè)計及其實(shí)踐。文章第一部分介紹中心極限定理的教學(xué)特征;第二部分給出中心極限定理的微課程教學(xué)設(shè)計;第三部分闡述微課程實(shí)踐的特點(diǎn)。

一 中心極限定理的教學(xué)特征

在概率論當(dāng)中，將“相互獨(dú)立的隨機(jī)變量和的極限分布為正態(tài)分布”這樣的定理統(tǒng)稱為中心極限定理。它是概率論當(dāng)中最重要的一類定理，具有廣泛的實(shí)際應(yīng)用背景。例如，應(yīng)用中心極限定理規(guī)劃雨量站網(wǎng)設(shè)計[2]，使得降水監(jiān)測更科學(xué)、經(jīng)濟(jì);應(yīng)用中心極限定理計算股價期權(quán)價格[3];中心極限定理在保險精算[4]等行業(yè)中的應(yīng)用。

多數(shù)本科非數(shù)學(xué)專業(yè)概率論與數(shù)理統(tǒng)計教材中，中心極限定理包括：列維——林德伯格定理和棣莫弗——拉普拉斯定理。2019年考研數(shù)學(xué)大綱中對中心極限定理的考試要求是：了解列維——林德伯格定理和棣莫弗——拉普拉斯定理（數(shù)學(xué)一）;了解列維——林德伯格定理、棣莫弗——拉普拉斯定理，并會用相關(guān)定理近似計算有關(guān)隨機(jī)事件的概率（數(shù)學(xué)三）。

中心極限定理的教學(xué)安排在隨機(jī)變量、分布函數(shù)、數(shù)字特征等先修內(nèi)容之后，抽樣、估計、檢驗(yàn)等統(tǒng)計學(xué)教學(xué)內(nèi)容之前。從這個意義上講，中心極限定理可以看作是概率、數(shù)理統(tǒng)計兩部分的銜接，有著承上啟下的作用。一方面，中心極限定理可以刻畫正態(tài)分布的形成機(jī)制，解釋正態(tài)分布的普遍性;另一方面，中心極限定理是大樣本統(tǒng)計推斷的理論基石，是學(xué)習(xí)后續(xù)知識的基礎(chǔ)。從教學(xué)地位、教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容三個方面，中心極限定理都占有重要的位置。與之形成鮮明的對比，在課程考核時，中心極限定理被忽略了。近10年的碩士研究生入學(xué)考試中，沒有涉及到中心極限定理的考題。

雖然中心極限定理應(yīng)用廣泛、地位重要，但是考試“指揮棒”沒有指到這個知識點(diǎn)，造成很多學(xué)生學(xué)習(xí)中心極限定理不夠積極，部分教師對中心極限定理的教學(xué)不夠重視。現(xiàn)有中心極限定理教學(xué)中存在一些問題：教學(xué)內(nèi)容缺乏巧妙的設(shè)計;教學(xué)手段比較簡單，形象化演示不足;教學(xué)中的應(yīng)用場景做得不夠好，缺乏案例設(shè)計。

二 微課程教學(xué)設(shè)計

中心極限定理從理論上說明了“許多類型”的隨機(jī)變量， 它們的極限分布服從正態(tài)分布， 這既肯定了正態(tài)分布在概率論中的重要地位， 也為計算概率提供了強(qiáng)有力的手段。考慮到授課對象是理工科非數(shù)學(xué)專業(yè)本科生，他們的主要專業(yè)需求和未來職業(yè)需求是應(yīng)用概率統(tǒng)計的思想和方法。因此，教學(xué)設(shè)計中， 重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)中心極限定理的研究對象和應(yīng)用中心極限定理解決實(shí)際問題。選取案例時，選擇學(xué)生易于產(chǎn)生共鳴的題材;證明定理時，注重形象化的展示;應(yīng)用定理時，清晰明了地強(qiáng)調(diào)如何使用。

列維——林德伯格定理微課程的教學(xué)設(shè)計以如何設(shè)置住宅小區(qū)的停車位數(shù)量開篇，引出中心極限定理的研究對象：獨(dú)立隨機(jī)變量的和。使用數(shù)值模擬方式，形象化地展示案例，啟發(fā)學(xué)生提出猜想，引出列維——林德伯格定理。省略定理的證明，采用數(shù)值模擬的方法形象化地驗(yàn)證定理內(nèi)容。最后，使用列維——林德伯格定理計算開篇提出的案例：小區(qū)停車位數(shù)量問題。

隨著私家車保有量的增加，住宅小區(qū)停車問題越來越嚴(yán)重。根據(jù)小區(qū)的地理位置、預(yù)期房價、未來業(yè)主情況等信息，獲知某住宅小區(qū)一千戶居民的戶擁有汽車數(shù)量的分布情況，問如何設(shè)置該小區(qū)的停車位數(shù)量，使得每輛車具有一個車位的概率不小于0.97。以此案例開篇，引導(dǎo)學(xué)生：已知戶擁有汽車量的分布，如果能夠得到一千戶居民擁有汽車量的分布情況，問題可解。由此引出中心極限定理的研究對象：隨機(jī)變量和的分布。此外，采用數(shù)值模擬的方法將一千戶居民擁有汽車數(shù)量的分布情況呈現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想：和隨機(jī)變量服從什么分布。

棣莫弗——拉普拉斯定理微課程的教學(xué)設(shè)計以二項(xiàng)分布在醫(yī)學(xué)、保險精算、質(zhì)量檢測等方面的廣泛應(yīng)用開篇，提出問題：在分析計算實(shí)際問題時，不可避免地涉及二項(xiàng)概率的計算，n較大時直接用公式計算比較煩瑣，有更方便的計算方法嗎？開門見山地引出棣莫弗——拉普拉斯定理：n充分大時，二項(xiàng)隨機(jī)變量漸近服從正態(tài)分布。從數(shù)學(xué)證明、數(shù)值模擬兩個方面驗(yàn)證定理內(nèi)容。然后，利用定理解決開篇提出的實(shí)際問題：保險盈利的概率。