中山市教育教學(xué)研究室(528400) 方 勇

三角函數(shù)集數(shù)、形為一體，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁，蘊含了重要的數(shù)學(xué)思想方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)，是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，是歷年高考必考的重點部分.

一、考查要求

高中教材三角模塊主要有三部分內(nèi)容：三角函數(shù)(基本初等函數(shù))、三角恒等變換、解三角形.2019年考試大綱對此部分規(guī)定如下：

表1

表2

表3

由上述表格可以看出，高考主要考查任意角三角函數(shù)的概念和正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)，突出考查三角函數(shù)模型的圖像與性質(zhì)；考查兩角和與差的三角函數(shù)公式和簡單的三角恒等變換.重點考查正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用.對三角函數(shù)的考查重點是考生對基本概念、基本公式的理解和應(yīng)用以及運算求解能力.從下文可以看出，2019年高考全國卷很好的體現(xiàn)了考試大綱的要求.

二、試題評析

2019年全國I卷對三角部分的考查與前幾年保持基本一致，分值穩(wěn)定在15 分左右，其中文科采取“2 選1 填”的形式，理科采取“1 選1 大”的形式，試題總體難度中等及以下，以考查基本知識、基本運算(變換)為主，是學(xué)生得分的“重頭”.

題目1(全國I卷文科第7題)tan 255°=( )

解根據(jù)誘導(dǎo)公式及兩角和的正切公式有，tan 255°=tan(180°+75°)= tan 75°= tan(30°+45°)= 2+故選D.

本題考查知識點為三角誘導(dǎo)公式以及兩角和的正切公式，要求考生能夠利用誘導(dǎo)公式將所求“大角”轉(zhuǎn)化為“小角”，再利用兩角和的正切公式轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行運算求解.本題對考生的運算化簡能力有一定要求，考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法.

題目2(全國I卷文科第11題)△ABC 的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知a sin A - b sin B = 4c sin C，cos A=則=( )

A.6 B.5 C.4 D.3

解因a sin A-b sin B =4c sin C，由正弦定理得

本題考查知識點為正、余弦定理，要求考生能夠利用正、余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，根據(jù)所求目標(biāo)對代數(shù)式進(jìn)行合理變形求解.本題對考生的代數(shù)運算能力要求顯然高于上一題，考查函數(shù)與方程的思想方法.

題目3(全國I卷文科第15題)函數(shù)f(x)=-3 cos x 的最小值為____.

解f(x)= sin- 3 cos x = -2 cos2x -3 cos x+1，顯然fmin(x)=f(0)=-4.

本題考查知識點為三角誘導(dǎo)公式、二倍角公式、三角函數(shù)模型，要求考生能夠利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式將三角函數(shù)模型轉(zhuǎn)化為同名三角函數(shù)模型，再結(jié)合余弦函數(shù)的取值范圍，通過觀察函數(shù)表達(dá)式來發(fā)現(xiàn)最小值.本題對代數(shù)變形有一定要求，考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法.

注：本題設(shè)計精妙，考生在求得f(x)= -2 cos2x -3 cos x+1 后，可以通過觀察函數(shù)解析式的特征，快速發(fā)現(xiàn)

題目4(全國I卷理科第11題)關(guān)于函數(shù)f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四個結(jié)論：

①f(x)是偶函數(shù)

③f(x)在[-π,π]有4 個零點

④f(x)的最大值為2

其中所有正確結(jié)論的編號是( )

A.① ② ④ B.② ④ C.① ④ D.① ③

解顯然，f(x)為R 上的偶函數(shù)，f(x)的最大值為2，故 ① ④正確； 當(dāng)x ∈時，f(x)= 2 sin x，f(x)在上單調(diào)遞減，故 ②錯誤； 當(dāng)x ∈ [-π,π] 時，f(-π)= f(0)= f(π)= 0，f(x)有3 個零點； 故 ③錯誤；故選C.

本題考查知識點為三角函數(shù)(正弦函數(shù))性質(zhì)，要求考生熟悉正弦函數(shù)的圖像性質(zhì)，并能結(jié)合備選項，對題目中函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、零點、值域等)進(jìn)行分析.本題要求考生掌握研究函數(shù)的一般方法，具備一定的推理論證能力，掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法.

注：本題設(shè)計方式具有一定新意，類似于多選題，主要是為新高考后命題方式進(jìn)行一些探索和過渡.

題目5(全國I卷理科第17題)△ABC 的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.設(shè)(sin B - sin C)2= sin2A -sin B sin C.

(1)求A；

解(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin B sin C，故由正弦定理得b2+ c2- a2= bc，由余弦定理得因為00＜A ＜1800，所以A=60°.

(2)由(1)知B =120°-C，由題設(shè)及正弦定理得

即

本題依托平面幾何中一類相似三角形(有一個內(nèi)角為60°)為載體，將解三角形相關(guān)知識融入其中.第(1)問將余弦定理的代數(shù)表達(dá)式(關(guān)于邊的)經(jīng)過代數(shù)變形，再利用正弦定理轉(zhuǎn)換成關(guān)于角的關(guān)系式，要求學(xué)生能正確識別關(guān)系式，能聯(lián)想到并利用正弦定理將角的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系式，利用余弦定理求出角.第(2)問來源于人教A 版必須5 第一章《解三角形》1.2 節(jié)課后練習(xí)第3題(射影定理)，以題中三角形射影定理為背景，在第(1)問條件的基礎(chǔ)上增加邊的關(guān)系(事實上，這確定了一類相似三角形)，要求學(xué)生能合理利用第(1)問的結(jié)論，根據(jù)要求的目標(biāo)，把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，通過三角變換求得結(jié)果，即求出這類相似三角形的特征(內(nèi)角).

本題考查的知識模塊為人教A 版必須5 第一章《解三角形》章節(jié)內(nèi)容，涉及到的基本知識有正弦定理、余弦定理、三角函數(shù)性質(zhì)(三角函數(shù)取值)、三角恒等變換以及三角形基本性質(zhì)(內(nèi)角和180°等)等，主要考查的基本能力有運算求解能力、推理論證能力，涉及到的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng).

2019年全國I卷三角考題考點匯總?cè)缦拢?/p>

表4

從上面分析可以看出，2019年高考三角部分試題立足于課程標(biāo)準(zhǔn)和考試大綱，以素養(yǎng)為導(dǎo)向，突出能力立意，通過考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識和基本方法的熟練程度，考查學(xué)生對重要數(shù)學(xué)思想方法的理解和掌握，對教學(xué)發(fā)揮了正確的導(dǎo)向作用.

三、典型答卷及分析

下面以理科17題為例，對考生在答卷中反映出來的問題作簡要分析.本題第(1)問較為基礎(chǔ)，絕大部分學(xué)生(80%以上)能夠正確求解，第(2)問對學(xué)生運算能力要求較高，還要求學(xué)生具備一定的推理論證能力，能對可能出現(xiàn)多解的情況進(jìn)行討論，因而具有一定難度和區(qū)分度，有超過一半的考生(53%)未能完美解出.比較典型的答卷情況有：

分析書寫不規(guī)范，這反映考生思維不嚴(yán)密，或?qū)W習(xí)習(xí)慣不好.

2.第(2)問中，停留在√2 sin A+sin B =2 sin C 不知如何繼續(xù).

分析說明考生沒能掌握解三角形的基本方法.

分析說明考生運算能力欠缺.

分析說明考生三角變換運用能力不夠，不能熟練運用輔助角公式.

分析原因同1.

分析算法設(shè)計欠佳，導(dǎo)致運算困難.

分析原因同1.

四、備考建議

針對高考三角部分試題的特點，結(jié)合上文中考生答卷暴露出來的問題，建議在今后的復(fù)習(xí)中要注意下面幾點：

1.日常教學(xué)中要重視教材知識的生成過程，注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透.數(shù)學(xué)知識的形成與發(fā)展經(jīng)歷了一個漫長的抽象、提煉的過程，最終才形成了今天我們看到的科學(xué)形態(tài)的數(shù)學(xué)，這個過程凝聚了無數(shù)數(shù)學(xué)家、學(xué)者的智慧和汗水，體現(xiàn)了重要的數(shù)學(xué)思想方法.這些數(shù)學(xué)思想方法具有遷移性，對學(xué)生解決新的數(shù)學(xué)問題具有啟發(fā)作用，高考試題也往往在這方面加強考查.比如2019年高考三角試題考查了轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等思想方法.教師在日常教學(xué)中，要拋棄講題練題的功利化思想，不能為了追求進(jìn)度，片面追求知識的應(yīng)用而忽視知識的生成過程，要通過引導(dǎo)學(xué)生自主探究、積極思考，深刻地領(lǐng)悟蘊含在知識形成過程中的思想方法.

2.回歸教材，用好教材，發(fā)揮教材中閱讀材料、例題、練習(xí)、習(xí)題的輻射示范作用.教材是學(xué)生數(shù)學(xué)知識的主要來源，教材知識是學(xué)生能力發(fā)展的基本生長點，教材內(nèi)容是高考命題的重要依據(jù)和試題來源，許多高考試題是教材中的閱讀材料、例題、練習(xí)、習(xí)題的引申或變式(如本題第(2)問).教師在指導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)中要重視教材，引導(dǎo)學(xué)生對教材中經(jīng)典題目進(jìn)行抽絲剝繭，對解決教材問題中的重要的思想方法進(jìn)行舉一反三，發(fā)揮好教材題目的輻射示范作用，學(xué)會“萬變不離其宗”，從而提高復(fù)習(xí)效率.

3.強化落實“雙基”.注重基礎(chǔ)性，注重通性通法，考查學(xué)生必備知識和關(guān)鍵能力是高考數(shù)學(xué)試題的重要特征(這也體現(xiàn)了國家對基礎(chǔ)教育培養(yǎng)人才的基本要求).高考通過加強對基本概念、基本原理、基本思想方法的考查，引導(dǎo)學(xué)生重視基礎(chǔ)，將所學(xué)知識和方法內(nèi)化為自身的能力.如今年理科17題是解答題第一道題，從難度上講，這是一道中等偏易難度題目，是廣大學(xué)生拿分的“大頭”.但從上文中學(xué)生答卷情況來看，情況并不是那么理想.許多學(xué)生對解三角形的基本知識、通性通法(邊角互化)、基本能力(運算求解)仍然掌握不不到位，這反映出來我們前期的復(fù)習(xí)中，“雙基”落實仍有較大提升空間.因此，教師在復(fù)習(xí)教學(xué)中始終要把落實“雙基”作為教學(xué)的基本任務(wù)，不要一味貪多求快，要幫助學(xué)生克服“眼高手低”的不良習(xí)慣，基本知識逐一落實，基本能力逐一過關(guān).

4.提升數(shù)學(xué)表達(dá)能力，做到規(guī)范答題.規(guī)范答題的本質(zhì)是數(shù)學(xué)思維的書面表達(dá)，要求學(xué)生理解、并能靈活運用數(shù)學(xué)語言將問題解決的方法正確表述出來，體現(xiàn)了思維的嚴(yán)謹(jǐn)性程度和深度，也反映了學(xué)生學(xué)習(xí)品質(zhì)的高低.經(jīng)歷過高考閱卷的教師都很清楚，高考答卷中因為學(xué)生不規(guī)范書寫導(dǎo)致的失分情況比比皆是，看起來非常痛心.學(xué)生常犯的答題毛病有：多寫廢話或少寫跳步、忽略關(guān)鍵點、用非標(biāo)準(zhǔn)符號代替書寫，以圖代證(以幾何直觀代替數(shù)學(xué)證明)，用特殊代一般等.這些毛病的養(yǎng)成既與平時教師對學(xué)生要求不嚴(yán)格有關(guān)，也與教師本身習(xí)慣有關(guān)(有些教師自己板書也非常隨意).冰凍三尺，非一日之寒，希望教師們平時就以身作則，嚴(yán)格要求，幫助學(xué)生形成嚴(yán)密思考，規(guī)范書寫的好習(xí)慣.