廣東省華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631)王先義 劉秀湘

2019年數(shù)學(xué)科全國I卷命題以全國教育大會精神為指引，以學(xué)科素養(yǎng)為導(dǎo)向，將高考內(nèi)容和素質(zhì)教育有機結(jié)合，認真貫徹“五育并舉”方針.試題命題立意深刻，穩(wěn)中有變，在數(shù)學(xué)教育、評價中落實“立德樹人”的根本任務(wù).本文就2019年高考數(shù)學(xué)試卷試題分析、考生答卷情況及反映的問題、考生主觀題答卷典型錯誤、教學(xué)備考及建議四個方面進行分析，希望有助于今后的高中數(shù)學(xué)的教學(xué)及高考備考.

一、試題分析

2019年高考數(shù)學(xué)全國I卷命題嚴格依據(jù)考試大綱，試卷從總體上體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性.在文理科試卷考查基礎(chǔ)知識的同時，兼顧試題的綜合性和應(yīng)用性，穩(wěn)中求新，既注重對數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)思想方法的考查，又展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的科學(xué)價值和人文價值.

1.“五育并舉”，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用與育人價值

2019年高考數(shù)學(xué)結(jié)合學(xué)科特點和學(xué)科知識，整份試卷站在“五育并舉”的教育方針高度進行整體設(shè)計，響應(yīng)德、智、體、美、勞全面發(fā)展的教育方針.文、理科試卷的第4題以著名是“維納斯斷臂”為例，探討人體黃金分割之美，該題設(shè)計一個估值問題，在考查學(xué)生估算的能力同時，也引導(dǎo)學(xué)生欣賞人與自然之美，關(guān)注數(shù)學(xué)之美，將美育教育融入數(shù)學(xué)教育.理科第6題以我國古代典籍《周易》中描述事物變化的“重卦”為背景，設(shè)計了排列組合和概率結(jié)合的問題，試卷考查“智育”的同時，也展示了中國傳統(tǒng)文化的博大精深，體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化和中國古代的哲學(xué)思想的傳承和發(fā)展.文科第6題通過設(shè)置學(xué)校對學(xué)生體質(zhì)狀況進行調(diào)查的情境，考查學(xué)生的抽樣調(diào)查知識，理科第15題，以籃球比賽為背景，通過可能存在的比賽結(jié)果和比賽場次的安排情況設(shè)置問題，這些試題在考查學(xué)生數(shù)學(xué)知識的同時，要求考生應(yīng)用數(shù)學(xué)方法分析，解決體育問題，引導(dǎo)學(xué)生加強體育鍛煉，體現(xiàn)了對學(xué)生的體育教育.文科第17題以商場服務(wù)質(zhì)量管理為背景設(shè)計，體現(xiàn)對服務(wù)質(zhì)量的要求，倡導(dǎo)高質(zhì)量的勞動成果，理論聯(lián)系實際，滲透勞動教育.這些情境來源于我國社會主義建設(shè)的不同領(lǐng)域，結(jié)合社會現(xiàn)實，貼近生活，反映了數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣闊領(lǐng)域，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)價值的認識，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對中學(xué)的素質(zhì)教育有很好的導(dǎo)向和促進作用.同時，這些試題一方面發(fā)揮了思想教育功能，引導(dǎo)學(xué)生熱愛祖國，激發(fā)考生熱愛我國的傳統(tǒng)文化，另一方面引導(dǎo)學(xué)生重視加強體育鍛煉，欣賞人與自然之美，關(guān)注、尊重和參加勞動，德智體美勞五育并舉，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值和育人價值.

2.穩(wěn)中有變，助力破解應(yīng)試教育

首先，2019年的數(shù)學(xué)試卷，在整體設(shè)計保持平穩(wěn)，包括考查內(nèi)容的布局、題型的設(shè)計、核心考點和方法等.文科解答題17、18、19題分別考查概率統(tǒng)計，數(shù)列，立體幾何，屬于常規(guī)題型，但是概率統(tǒng)計難度明顯降低.理科17、18、19 分別考查解三角形，立體幾何，解析幾何，都是學(xué)生比較熟悉的題型，體現(xiàn)了“在穩(wěn)定中發(fā)展”的特點.

其次，解答題考查布局在題序和考查難度上進行動態(tài)設(shè)計，理科試題將概率統(tǒng)計試題作為壓軸題，而文科試題，與2018年試卷相比幾乎“面目全非”，體現(xiàn)了“在穩(wěn)定中創(chuàng)新”的特點.近三年文理科解答題題序和考查內(nèi)容明細如下表：

表一 2017-2019年文科解答題題序與考查內(nèi)容比較

表二 2017-2019年理科解答題題序與考查內(nèi)容比較

文、理科21題均打破了過去以函數(shù)與導(dǎo)數(shù)為壓軸題的慣例，概率統(tǒng)計題的題序變化非常大，文科是第17題，而不是歷年的解三角形或者數(shù)列，理科則是放在壓軸題位置，可以說今年的概率統(tǒng)計大題的題序是頗有顛覆性的，是2019年高考數(shù)學(xué)命題的重大變化和創(chuàng)新之舉.

同時，解答題在考查模式和難度上也進行了創(chuàng)新.如文科第20題的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，是與三角函數(shù)結(jié)合考查的熱點題型—“隱零點”問題，難度較大.理科第20題與去年不同，以證明的形式考查導(dǎo)數(shù)中的極值點與零點問題，難度有所增加.文科壓軸題(21題)是解析幾何試題，命題新穎，題目簡潔，第(2)問打破了相交-聯(lián)立-韋達定理的套路，破除常規(guī)的解析幾何的解題思路，重點考查學(xué)生用運動和變化的觀點看待問題，找到“變”中“不變”，是較高層次的思維的考查.理科21題以概率統(tǒng)計為壓軸題，該題將概率與數(shù)列知識相結(jié)合，根據(jù)運算結(jié)果解釋概率層面的意義，既體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)推理能力的考查，也是理論在實踐中的應(yīng)用.隨著大數(shù)據(jù)時代的來臨，社會對人類的數(shù)據(jù)分析能力要求越來越高，理科試題命制響應(yīng)時代潮流，對概率統(tǒng)計內(nèi)容愈加重視.

在選做題方面，選考題22題不是常見的消參數(shù)方法，涉及到難度很大的消參技巧；23題也一改往年的去絕對值、不等式成立時的求參數(shù)范圍的問題，而是改成求證不等式.

這種與往年不同的解答題題序、試題命制方式，是對平時熟悉的模擬考試的一種推翻，對考生的心理素質(zhì)提出更高的要求，需要考生具備處變不驚的能力.這些改變說明，在整體符合《考試大綱》和《考試說明》要求的前提下，在各部分內(nèi)容的布局和考查難度上都可以進行調(diào)整和改變，考查重點內(nèi)容，創(chuàng)新命題風(fēng)格，注重考查學(xué)生的靈活應(yīng)變的能力和主動調(diào)整適應(yīng)的能力，對于摒棄題海戰(zhàn)術(shù)、破解僵化的應(yīng)試教育有正面的導(dǎo)向作用.

3.繼續(xù)探索文理不分科的數(shù)學(xué)高考命題改革

與2018年相比，2019年高考數(shù)學(xué)試題的承接前一年的風(fēng)格，繼續(xù)為新一輪高考數(shù)學(xué)文理不分科的改革繼續(xù)探索.2017-2019年文理科相同試題分值如下表：

表三 2017-2019年文理科相同試題分值

2019年文科第3、4、5、8、9、12、13、19題(1)分別與理科第3、4、5、7、8、10、13、18(1)題以及文理科試卷的選做題完全相同，共計51 分.根據(jù)近三年全國I 高考數(shù)學(xué)試卷文理科相同試題的統(tǒng)計，2017年文理科相同試題分值占全卷比為16.7%，2018年文理科相同試題占全卷比例為26.7%，2019年文理科相同試題分值占全卷比為34%，文理科相同試題所占分數(shù)的比值逐年增加.此外，文理科相同試題基本上是容易題和中等難度的試題，構(gòu)成試卷的基礎(chǔ)，其后文科增加中等難度的試題數(shù)量，理科的部分試題難度略高于文科試題，組成文理科不同難度和結(jié)構(gòu)的試卷，為2021年高考數(shù)學(xué)文理不分科試題命制進行探索.

總體上來說，今年試卷的特點是“五育并舉，聚焦主干內(nèi)容，在穩(wěn)定中發(fā)展，在穩(wěn)定中創(chuàng)新”.

二、考生答卷情況及反映的問題

從評卷情況來看，存在的主要問題有：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識薄弱，書寫不規(guī)范，推理論證嚴謹性不夠，運算技巧有待提高.文、理科試卷抽樣平均分如下表(最終數(shù)據(jù)以省考試院公布為準).

表四 2018-2019年文、理科各題抽樣平均分______

文、理科試卷難度分別為0.41、0.49.從上表可以發(fā)現(xiàn)，文、理科填空題得分相比去年明顯下降，相比于2018年，2019年填空題難度增加，如文科15題將三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、三角恒等變換、三角函數(shù)和二次函數(shù)的值域多個知識點相結(jié)合，綜合性強，這需要考生扎實的基礎(chǔ)知識和嚴謹?shù)倪壿嬐评恚焕砜?5題以籃球比賽為背景，通過可能存在的比賽結(jié)果和比賽場次的安排情況設(shè)置問題，情況較多，綜合性強.考生想要完整分析解答此題，不僅考慮情況要完善，而且還需要考慮勝負的因素，同時也要場次的問題.這些試題在考查學(xué)生數(shù)學(xué)知識的同時，對學(xué)生的邏輯思維能力和應(yīng)用意識都有較高的要求.

文、理科的解析幾何的得分相比去年明顯下降.對于文科解析幾何試題，一方面是文科21題以解析幾何試題壓軸，試題順序的變化給學(xué)生產(chǎn)生較大的心理壓力，讓學(xué)生心生畏懼；另一方面是試題第(2)問打破了聯(lián)立方程和運用韋達定理的套路，破除常規(guī)的解題思路.同時題目考查存在性問題與定值問題相結(jié)合，對學(xué)生的綜合創(chuàng)新能力要求較高.對于理科解析幾何試題，以拋物線與向量知識交匯命題，知識點多，綜合性強，對學(xué)生綜合能力要求較高.很多考生對向量相關(guān)內(nèi)容理解不夠深入，未能認識到向量的代數(shù)和幾何的雙重屬性，不能利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想分析問題，致使計算過程冗長繁瑣而擱置解答.

文、理科的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的得分相比去年明顯下降.今年文理科函數(shù)與導(dǎo)數(shù)部分結(jié)合三角函數(shù)考查函數(shù)極值個數(shù)問題和零點問題，試題知識覆蓋面廣，考法新穎，綜合性強，對考生的心理承受能力和創(chuàng)新能力要求較高.文科數(shù)列和理科解三角形得分相比去年都有所下降.

文、理科選擇題得分相比去年略升，文科立體幾何的得分相比略升，理科立體幾何得分相比去年明顯上升.值得注意的是，盡管將概率統(tǒng)計作為理科試題壓軸題，理科考生仍然能夠得分，相比去年概率題的得分，略有上升，但將解析幾何作為文科試題壓軸題，文科考生得分明顯下降，說明理科生的臨場應(yīng)變能力相對強于文科生.

選做題方面，考生選做22、23題的人數(shù)比例如表五.從表中可以看出，絕大部分考生都是選做第22題.與去年相比，有更多考生選做了第22題.

22題23題_______年份2018 2019 2018 2019__文科87.40%89.16%12.60%10.84%_理科87.61%88.15%12.39%11.85%_

三、考生填空、解答題答卷典型錯誤及分析

題號考生的典型錯誤原因分析答案為y =x.漏掉數(shù)字3，求導(dǎo)得y′ =(x2+3x+1)ex，得_______________________切線斜率為1.答案為y =4x.誤將曲線看成y = 3(x2+x)+ ex，求導(dǎo)得______________________y′ =6x+3+ex，得切線斜率為4.13題答案為y =9x.由y = 3x2 + 3x，求導(dǎo)得y′ = 6x + 3，誤將_______________________x=1 代入，得切線斜率為9.答案為y =-3x.導(dǎo) 數(shù) 運 算 法 則 記 憶 出 錯，由y′ = (3x2+3x)ex - (6x + 3)ex =(______________________________3x2-3x-3)ex，得切線斜率為-3.(1)由S3 = 3答案為4 4 類比得S4 = 4 5.5.(2)等比數(shù)列求和公式記憶出錯，由Sn =a1(1-q2)_____________________________1-qn ，求得S4 = 4 5.答案為1 2.公比求解出錯，得q = 1 2，并直接將q = 1 2 作為最后答案.__________________________________14題答案為7直接利用S4 =a1+S3 = 7 4.4.答案為15公比求解出錯，得q = 1 8 .2，代入，求得S4 = 15 8 .答案為7公比求解出錯，得q = 1 8.2，所以a4 = a1q3 = 1從而S4 =S3+a4 = 7 8，8.(1)直接將公比q =-1答案為-1 2.2 作為最后答案.(2)誤將數(shù)列看成等差數(shù)列進行求解，得到d = -3 4，所以a4 = a1 + 3d = -5 4，從 而______________________________S4 =S3+a4 =-1 2.答案為1.(1)化簡得f(x)=-2 cos2 x-3 cos x+1，其中cos x ∈[-1,1]，將cos x=0 代入，得到1._______________________(2)直接猜想最小值為1.答案為2.化簡得f(x)= -2 cos2 x - 3 cos x + 1，其中_______________________cos x ∈[-1,1]，將cos x=-1 代入，得到2.答案為-1.15題(1)誘導(dǎo)公式正負號出錯，化簡得f(x)=cos 2x-3 cos x = 2 cos2 x-1-3 cos x，其中cos x ∈[-1,1]，將cos x=0 代入，得到-1._______________________(2)直接猜想最小值為-1.答案為-2.誘導(dǎo)公式正負號出錯，化簡得f(x)= cos 2x-3 cos x = 2 cos2 x - 1 - 3 cos x，其中cos x ∈_______________________[-1,1]，將cos x=1 代入，得到-2.答案為-3.直接將題目中出現(xiàn)的系數(shù)-3 作為最后答案.____答案為17 8 .化簡得f(x)= -2 cos2 x - 3 cos x + 1，其中cos x ∈[-1,1]，將cos x=-3 4 代入，得到17 8 .

√22-(√(1)由勾股定理，得答案為1.3)2 =1.___________________________________(2)直接猜想距離為1.答案為2√3.猜想所求距離是點P 到邊AC 距___________________________________離的2 倍.答案為2.16題誤認為點P 在平面ABC 的投影為點C，將PC 的長度作為點P 到平面ABC 的距離._________________√答案為3 2 .猜想所求距離是點P 到邊AC 距離的一半._______________________答案為√3.猜想所求距離與點P 到邊AC 的___________________________________距離相等.√過點P 作AB、AC 的垂線，垂足分別為E、F，則EF =√答案為__10 2 .2.學(xué)生誤認為點P 在平面ABC 的投影為EF 的中點.由勾股定理，得√(√(√)2√3)2-2__10 2=2 .第一問：運算錯誤(1)缺運算過程40 50、30 50.(2)運算公式錯誤如出現(xiàn)男50 40、40平時沒有養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣，跳步、漏寫，不認真審題.100、 ______40 40+30，女50 30、30 100、 __30 40+30__等錯誤.第一問：第一問結(jié)論錯誤(1)缺少結(jié)論或者結(jié)論錯誤._(2)缺少概率的估計.(1)對概率的概念不清，沒有體現(xiàn)用頻率去估計概率值；(2)解題習(xí)慣不好，粗心大意.第二問：K2 公式代入錯誤(1)K2 公式中的(ad-bc)2 部分漏掉平方.(2)誤將n = 4，n = 50，n = 200 代入K2 公式，運算結(jié)果出現(xiàn)0.190、_2.381、9.524 等數(shù)值.粗心大意，不認真審題，K2 公式中“n”的含義模糊不清.第二問：K2 公式代入正確，計算結(jié)果錯誤.如出現(xiàn) 21 100 或是約分出現(xiàn)錯誤1 17題21、1 6、0.0476 等或是理解有誤出現(xiàn)√21(1)計算能力不佳，約分時粗心大意導(dǎo)致錯誤.(2)對計數(shù)保留法認知有誤，沒有采用“四舍五入”取近似值.100 等.第二問：判斷條件錯誤(1)出 現(xiàn) 0.4762 ＞ 3.841 或0.4762 ≥3.841 等非有效判斷條件.(2)判斷條件臨界值錯，以為是0.05，出現(xiàn)判斷條件K2 ≥0.05.(3)判斷條件臨界值錯，以為是6.635，出現(xiàn)K2 ＜6.635 或K2 ≥__6.635，或6.635 ＜K2 ＜10.828.(1)獨立性檢驗思想不清晰，判斷條件使用不當.(2)前一步計算粗心大意，沒有檢驗運算，純屬為了拼湊條件.(3)獨立性檢驗思想不清晰，判斷條件的臨界值模糊不清.第二問：第二問中出現(xiàn)4.762 ＞3.841 等情況判斷條件和結(jié)論仍錯誤誤判為“沒有把握”(1)缺少判斷條件.(2)正確判斷條件仍缺少結(jié)論.(3)其他錯誤如出現(xiàn)4.762 ＞3.841，96.159%把握認為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異，有95%把握認為男、女顧客對該商場服務(wù)的________評價沒有(無)差異.(1)獨立性檢驗思想不清晰，判斷邏輯不清晰.(2)粗心大意遺漏條件和結(jié)論.(3)獨立性檢驗思想不清晰，邏輯鏈條混亂.

第一問：_求和公式寫錯Sn =a1+ n(n-1)混淆求和通項公式.2 d.________________________________第一問：方程S9 =-a5_________a3 =4沒有展開.平時學(xué)習(xí)做題習(xí)慣所致.第一問：_結(jié)論寫成an =8+(n-1)(-2).沒有化簡成an =10-2n.第一問：_結(jié)果寫{an}=10-2n.對數(shù)列的概念不清.第一問：_直接令a1 =8 或d=-2.胡亂拼湊答案.第二問：_討論d 的符號，得出兩種結(jié)果.沒有正確推出d 的符號.第二問：-4nd+ n(n-1)2 d ≥-4d+(n-1)d_直接消d 后不等式不變方向.沒有考慮d ＜0.第二問：_不等式化為n2-11n+10 ≥0.不等號不變方向.18題第二問：_結(jié)果寫成1 ≤n ≤10，且n ∈正數(shù).對數(shù)列n 的屬性理解不清.第二問：_結(jié)果寫成(-∞,10]或(-1,10].對數(shù)列n 的范圍隨意擴大.第二問：_由a3 =4,a5 =0 直接得到d=-2.沒有用到公式2d=a5-a3.第二問：(n-1)a1+ n(n-1)2 d ≥(n-1)d 直_接消掉(n-1).沒有考慮n=1 情況.第二問：_由{an}遞減，直接得出Sn ≥an.沒有說清n 的情況.第二問：_由Sn?1 ≥0=S9 直接得到n-1 ≤9.沒有說清n 的范圍和Sn 的單調(diào)性.___________________________第二問：驗證n=11 滿足S11 ≥a11 直接得出_Sn ≥an.沒有說清n ＞11 的情況.第二問：作出an = dn + (a1-d)和Sn =d ()2n2 +a1- d n 圖形，圖像不清，_省略步驟太多.2交點坐標沒有解出或直接由圖得出，解題過程省略太多.第二問：_________利用第一問結(jié)論an =10-2n.審題不清，對題目條件把握不到位.___________________________第一問：直接由面面平行得到線線平行，如：因為面ADD1A1// 面BCC1B，所以_ND//ME.定理使用的條件不清晰.跳步嚴重，沒有借助平行的傳遞性來求證線線平行.第一問：直接由中點的條件得到線線平行，如：因為E,M,N 分別是BC,B1B,A1A中點，所以ND//ME.____________________________________________19題_第一問：由三角形全等得到線線平行且相等，如：因為△MHD ∽= △MBE，所以_ND//ME.幾何位置和數(shù)量關(guān)系的應(yīng)用混亂.第一問：由一組對邊平行得到四邊形是平行四邊形，如：因為ND//ME，所以四邊形_MNDE 是平行四邊形.平行四邊形的判定條件不熟悉.第一問：取異面直線的交點，如：連接AE 與_________BB1 交于點M.對空間線面關(guān)系的認識混亂.

第二問：未說明△C1DE 是直角三角形直_接求解面積.解題不嚴密.第二問：未說明三棱錐的高和底面直接求解_三棱錐的體積.解題不嚴密.第二問：_第二問將CE 當作所求高.對點到面的距離的概念理解不清晰._____________________________第二問：未證明CH⊥面C1DE，就直接當_CH 為點到平面之間的距離.解題不嚴密.19題第二問：第二問計算出錯(1)算得C1D =2√3.(2)算 得S△DEC = √3，或 者S△C1DE =√51.(3)算得VC1?DEC =2√3.(4)算得SΔC1DE =√15.(5)算得點C 到平面C1DE 的距離________為12√(1)將C1D 當作斜邊進行計算了.(2)計算三角形面積時未除以2.(3)計算三棱錐體積時未除以3.(4)將∠C1DE 當作直角進行計算.(5)用等體積公式時公式變形有誤，如未將三棱錐體積先乘以3，再作運算.17√17 17 或17 ._________________________________________________第一問：一階導(dǎo)數(shù)g(x)=f′(x)求錯(1)g(x)=cos x-x sin x-1；(2)g(x)=cos x+x sin x-x；(3)g(x)=cos x+x sin x+1；(4)g(x)=cos x+x sin x；(5)g(x)=2 cos x+x sin x；(6)g(x)=-2 cos x+sin x-1；(7)g(x)=3 cos x-x sin x-1；(8)g(x)=2 cos x-cos x-sin x x2 cos2 x -1等等.(1)(cos x)′ = -sin x 去括弧時“負負得負”或者算錯(cos x)′ =sin x.(2)x 的導(dǎo)數(shù)求錯為x.(3)粗心抄錯.(4)x 的導(dǎo)數(shù)求錯為x 的兩階導(dǎo)數(shù).(5)算錯(x cos x)′ = -x sin x，x 的導(dǎo)數(shù)求錯為x 的兩階導(dǎo)數(shù).(6)算 錯(sin x)′ = -cos x，算 錯(x cos x)′ =-sin x.(7)把-(x cos x)′ = -(cos x -x sin x)算 錯 為 -(x cos x)′ =cos x-x sin x.(8)把(x cos x)′算成( x_cos x)′同時___________________________________算錯.20題第一問：二階導(dǎo)數(shù)g′(x)=f′′(x)求錯(1)g′(x)=cos x；(2)g′(x)=-x cos x；(3)g′(x)=x cos x-1；(4)g′(x)=x cos x+1；(1)cos x 的導(dǎo)數(shù)求錯，x·sin x 的導(dǎo)數(shù)求錯，1 的導(dǎo)數(shù)求錯為1.(2)算錯(x sin x)′ =sin x+cos x.(3)算 錯 (x sin x)′ = sin x -x cos x(即：算錯(sin x)′ = -cos x).___________________________________(4)1 的導(dǎo)數(shù)求錯為1 或-1.第一問：一階導(dǎo)數(shù)g(x)=f′(x)的單調(diào)性搞錯(1)當x ∈(0, π)時，g′(x)＜0；當x ∈(π)2時，g′(x)＞0，所以g(x)在2,π(0, π)單 調(diào) 遞 減，在(π)2單調(diào)遞增.(2)當x ∈2,π(0, π)時，f′(x)＜0；當x ∈(π)2(1)對cos x 符號規(guī)律不清晰.(2)把導(dǎo)函數(shù)f′(x)的零點做成原函數(shù)f(x)的零點.(3)函數(shù)符號與導(dǎo)函數(shù)符號混淆不清.時，f′(x)＞0，所以f(x)在2,π(0, π)單 調(diào) 遞 減，在(π)2 2,π__單調(diào)遞增.__________________________________________________第一問：_不懂得求二階導(dǎo)數(shù).沒掌握導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)問題中的工具作用._________________________第一問：g(x)= cos x - x sin x - 1 =√___x2+1 sin(x+φ)-1.把變量x 當作常數(shù)來處理，三角恒等變換公式混亂.第一問：_不計算f′(π)零點存在定理的條件沒有掌握.= π 2 2 -1 ＞0.________________________________________第二問：________分類討論不完整.思維不嚴謹.

第二問：_利用分離變量做，不分x=0,a ∈R 的情況.思維不嚴謹.第二問：利用分離變量做，不會求函數(shù)在原點處的極_限值.思維不嚴謹； (高中課本沒有學(xué)習(xí)洛必達法則).20題第二問：________不會利用f(π)≥aπ，f(π)=0，可得a ≤0.思維不嚴謹.第一問：圓M 的圓心M(a,b)滿足的方程組.(a+√2)2+(b-√2)2 =r2(a-√2)2+(b+√沒有解出計算能力不足，不能對三元二次方程組進行消元.2)2 =r2_a=b 或者解出a 與b 的錯誤關(guān)系.第一問：寫出圓M 的圓心為(0,0)；或者AB 為圓M_的直徑；或者設(shè)圓M 為x2+y2 =r2.不懂如何解，根據(jù)條件直接猜出圓心M 的其中一個坐標(0,0)._____________第一問：設(shè)M 為(a,b)，因為與x+2 = 0 相切，所以半徑r = a+2； 或者r = -2-a； 或者r =|a-2|；或者r =|b-2|；或者r =|a|+2；或者r = _|a+2|√a2+b2.漏掉距離公式中的絕對值；或者絕對值位置放錯； 或者距離公式記憶錯誤； 或者把直線x+2 = 0 弄錯成y+2=0._____________21題第一問：漏掉距離公式中的絕對值；或者絕對值位置放錯； 或者距離公式記憶錯誤； 或者把直線_x+2=0 弄錯成y+2=0.直接根據(jù)條件猜出圓M的半徑.第一問：方程(a2+a2)+ 4 = (a + 2)2 或者方程(a+√2)2+(a-√2)2 =(a+2)2 僅得l 解；或者求出兩個正確解后被舍去1 個；或者求_出兩個錯誤解.計算能力不足，思維不夠嚴密.第一問：(a+√2)2+(b-√2)2 =r2(a-√方程組2)2+(b+√2)2 =r2 r =|a+2|僅計算能力不足，思維不夠嚴密._得l 解；另外一組解被漏掉或者被舍去.第二問：問題是是否存點P 使得|MA|-|MP|為定_值.作答寫成：設(shè)存在或者當存在.不懂如何下結(jié)論性語言.第二問：圓心M(x,y)的軌跡方程求解錯誤；或者只_列出方程關(guān)系未能求出軌跡方程.計算能力不足.第二問：設(shè)lAB : y = kx，聯(lián)立y =kx x2+y2 =4求計算能力不足.________出A 點坐標錯誤.第一問：直線l 的方程錯誤2x -√3y + 1 = 0 或√___3x+2y+11=0 等形式.(1)粗心，快速解答，不懂檢驗；(2)公式不熟悉，混亂.______第一問：無法消去曲線C 的參數(shù)t 如：曲線c :x= 1-t2 1+t2 y = __4t 嘗試x+y =?,x-y =?x y =1+t2(1)參數(shù)分離不熟悉.(2)合并同類項不熟悉.(3)消元法解方程不熟悉.22題_?都無法消去t__________________________________________________第二問：不懂跳問解答，不懂利用曲線C 的參數(shù)方程_建立d=f(t)的目標函數(shù).(1)平時沒有跳問解答的訓(xùn)練.(2)解題思維不靈活._______第二問：懂得跳問解答，利用曲線C 的參數(shù)方程建立d = f(t)的目標函數(shù)d =_21-t2 1+t2 +4√3 t 1+t2 +114+3 .但不會求最值.√(1)均值不等式的運用不熟練.(2)分子、分母中，某變量的次數(shù)相同時，分子可降次處理，這個技巧沒有足夠的訓(xùn)練.________________

第二問：懂 得 跳 問 解 答，建 立 d =f(m,n)的二元目標函數(shù)d =|2m+__√√3n+11|(1)沒有數(shù)學(xué)思想.(2)沒有函數(shù)方程思想.(3)沒有消元思想.4+3 ，無法求最值.22題第二問：沒有算出特殊角d= |2 cos α+2__√3 sin α|√7沒有檢驗意積，沒有驗證最值能否取得.= |4 sin(α+φ)+11|√7 .忘記涂選做題的信息點._________選做23題，但沒涂23題的信息點.沒有涂選做題信息點，掃描答卷時系統(tǒng)默認選做22題.______________

(一)文科卷注：23題相關(guān)內(nèi)容由它文提供，詳情請見本刊本期《2019年高考全國I卷不等式選講試題分析及備考建議》一文.

(二)理科卷

題號考生的典型錯誤原因分析__________________________________導(dǎo)數(shù)公式、求導(dǎo)法則不熟悉，求錯導(dǎo)數(shù).13題求錯斜率斜率為1、2、4、6、9等，分別得到直線為y = x、y = 2x、y =4x、y = 6xy = 9x_等.y = ex(3x2 + 9x+________3)x 沒有將切點橫坐標0 代入求出斜率.14題3n-1不理解數(shù)列前n 項的和，沒有將n=5 代入.6 .1211不理解帶分數(shù)的意義，將1211 3 理解為121+ 1 3.3.0.216.(1)考慮情況不完善P =0.6×0.6×0.6=0.216.(2)沒有考慮具體哪一場負，P =4×0.6×0.6×_____________________0.5×0.5×0.6=0.216.15題0.054.只考慮了主場和客場，沒有考慮勝負的因素______________________P =0.6×0.6×0.5×0.5×0.6=0.054.0.3.理解錯誤，P =0.5×0.6=0.3.________________0.162.考慮了主場和客場，也注意到了前面4 場勝3 場，但沒有考慮負的概率P =3×0.6×0.6×0.5×____________________________0.5×0.6=0.162.將點B 誤以為在是_雙曲線上的點.圓錐曲線不熟悉，圖形處理能力不足.√3+1.將點B 誤以為在是雙曲線上的點，得到|F1B| - |F2B| = 2a，結(jié)合其他條件可以得到|F1B| =√3c，|F2B| = c，(√3-1)c = 2a，從而e= c a = 2___√3+1.3-1=√16題√3-1.將點B 誤以為在是雙曲線上的點，得到|F1B| - |F2B| = 2a，結(jié)合其他條件可以得到|F1B| =√3c，|F2B| = c，同時記錯雙曲線定義，得到(√3-1)c = 2a，從而e = c 3+1=√a = _________2√________________________3-1.√3.概念模糊：由|OB| = |OF2| = |BF2| = c，可以得到直線OB 的斜率為√3，但錯誤的將漸近線_____________________________的斜率b a 當成離心率.________________________√2.√16題圖形理解錯誤：以為F2B⊥OB，然后由|F2B| =|OB|，得到∠F2OB = 45°，直線OB 的斜率為b )_________________________________________________________________a_=1，故e= c a__________=1+(b a_________________=√2.17題第一問：由cos A= 1 2 直接得________A= π(1)思維不嚴密；(2)粗心、習(xí)慣不好.3.

第二問：停留在√2 sin A+sin B = 2 sin C 不知_如何繼續(xù).對三角形邊角關(guān)系理解不到位.第二問：由√√)用cos 2π 3(2π=2 sin C_得2×3 = 1√2 +sin 3 -C 2 計算或用cos 2π 6√2 cos C- 1 3 = -1 3 2 時粗心忘記變號.2 +2 sin C =2 sin C.第二問：得√6√3 2 sin C = 2 sin C_后無法繼續(xù).2 +2 cos C + 1(1)輔助角公式運用不熟練；(2)對同角三角函數(shù)關(guān)系運用不熟練.________________第二問：由√√__6 2 sin C =2 sin C 得sinC+ π)2 +__3(2 cos C+1√2 或cosC- π)(輔助角公式運用不熟練.__2√6==3 17題_-2 2 ._______________________________________________________第二問：由sinC- π)(√2(√=6 2 或cosC+ π)3=-2 直接得C-π 2 3 =3π 6 = π 4 或C+π思維不嚴密，缺少必要討論.4 .第二問：停留在√2, ①sin2 C+cos2 C =1, ②3 sin C-cos C =√無法算法設(shè)計不合理，導(dǎo)致運算困難._繼續(xù).第二問：由4 sin2 C + 2√6 sin C + 1 = 0 解出________sin C =√__6±√2思維不嚴密，未舍掉多余的解.4 ._______________________________________________第一問：證明四邊形MNDE 為平行四邊形出錯，僅用一組對邊平行(或相等)即得出_四邊形MNDE 為平行四邊形的結(jié)論.平行四邊形的判定定理記憶不清.第一問：面AA1D1D//面BB1C1C，面NDEM∩面AA1D1D = ND，面NDEM∩面_BB1C1C =ME，所以ND//ME.面面平行的性質(zhì)運用錯誤，應(yīng)先證NDEM 共面后才有ND//ME 的結(jié)論.第二問：建系錯誤：以A(或D)為原點，以菱形的_兩鄰邊為x,y 軸建立坐標系.審題不清，菱形的內(nèi)角為60°，誤認為90°.18題第二問：用幾何法求二面角的平面角，作圖過程_中缺乏必要的證明.用幾何法求二面角的平面角的方法生疏.第二問：用等積法求二面角的正弦時h = 2__√5_或其它值(事實上h= 4√計算失誤.5 5 5 )._____________________________________第二問：求法向量錯誤：n1 =( 7)√,n2 =_(2,0,0).3,1,1向量坐標錯誤或不定方程求解出錯.第二問：_sin θ =cos〈n1,n2〉.用法向量求二面角的余弦公式理解錯誤.____________第二問：cos〈n1,n2〉= |n1·n2|向量夾角概念不清|n1||n2| 多加了絕對值.第一問：對于|AF|+|BF|=4 轉(zhuǎn)化出錯(1)|AF|+|BF|=x1+x2+3；(2)|AF|=x1+ 3 2；19題(3)|AF|2+|BF|2 =16；(4)|AF|+|BF|=|AB|；(5)|AF| + |BF| =(3)+(1)拋物線性質(zhì)記憶出錯.(2)拋物線定義運用出錯.(3)錯誤使用平方公式.(4)錯誤認為AB 過焦點.(5)錯誤使用距離公式.(3)4 -x1,y1______________4 -x2,y2；

第一問：焦點坐標為F(3)拋物線定義運用出錯.________________2,0等.第一問：設(shè)直線方程出錯(1)設(shè)直線AB 的方程為x= 3 2y+b，_(2)設(shè)直線AB 的方程為y = 2審題出錯，斜率概念理解出錯.3x+b.________________________________第一問：二元二次方程組y = 3 2x+m,y2 =3x,消元時出錯(1)得到3運算能力差或筆誤.4x2+3(m-1)x+m2 =0；(2)得到9 4x2+3mx+m=3x；_(3)得到3x2-12mx-4m2 =0.第一問：得到9 4x2+(3m-3)x+m2 =0 后韋達定理表達出錯(1)得到x1+x2 = 4(3m-3)19題9 ；(2)得到x1+x2 =- b 2a；(3)得到x1+x2 = 4m2(1)記錯公式或筆誤.(2)誤記為對稱軸公式.(3)兩根之和與兩根之積混亂記憶.9 ；_(4)得到x1x2 =-4(3m-3)9 ；______________________________________第一問：_解一元一次方程-4(3m-3)運算能力差，運算符號混亂.9 = 5 2 出錯；_____________________________第二問：用第一問得到的方程y = 3 2x- 7 8 解第二_問.審題出錯，未能厘清前后問題間的關(guān)系.第二問：使用直線的參數(shù)方程，但是參數(shù)方程設(shè)_錯.斜率概念理解出錯.第二問：對于-→AP =3--→PB 轉(zhuǎn)化出錯；(1)由-→AP =3--→PB，得y1 =3y2；(2)由-→AP =3--→PB，得y1 =-1 3y2；(1)向量運算符號出錯.(2)向量運算系數(shù)出錯.(3)漏掉系數(shù)3._(3)由-→AP =3--→PB，得y1 =-y2；√(3)2|y1-y2|，算 得_|AB|=2√用|AB| =1+2 13.____________________________________________________對應(yīng)縱坐標的弦長公式用錯.________用|AB|=x1+x2+p.錯誤套用焦點弦公式._______第一問：求導(dǎo)出錯(1)f′(x)=-cos x- 1 1+x；(2)f′(x)=cos x- 1+x x ；(3)f′(x)=cos x- 1 x；(4)f′(x)=cos x-ln(1+x)；(5)f′(x)=-sin x- ___1____________________(1+x)2；(1)正弦函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則不清楚.(2)對數(shù)函數(shù)的運算法則不清楚.例如：因為f(x)= sin xln 1 - ln x，所 以f′(x)=cos x- 1 x.20題(1)沒審清題意，以為求f(x)在(-1, π)2第一問：對f(x)只求一階導(dǎo)，沒求二階導(dǎo).存在唯一極大值點.(2)不 理 解 求 f′(x)在(-1, π)存在唯一極大值點，需對f′(x)求導(dǎo)，沒理解_______________________________________________導(dǎo)函數(shù)的“函數(shù)”本質(zhì).2第一問：對f′(x)= cos x - 1 1+x 通 分 為(1+x)cos x-1 1+x , 然后對分子(1 +_x)cos x-1.誤以為f′(x)的單調(diào)性與f′(x)分子的單調(diào)性一致.20題第一問沒寫g′(x)= -sin x- ___1(1+x)2 單調(diào)性或?qū)戝e.(1)零點存在性定理理解偏差，零點唯一性的充分必要條件不明確.(2)不能靈活證明函數(shù)單調(diào)性(減+減=減或求導(dǎo)判斷)_______________________________________________.

第一問：對g′(x)= -sin x - 1(1+x)2 通分為-(1+x)2 sin x+1(1+x)2 ，令h(x)= -(1 +x)2 sin x + 1，則h(x)在(-1, π)單調(diào)_減，或通分后不會做.2判斷函數(shù)單調(diào)性的固化思維“求導(dǎo)，因式分解(通分)，判斷符號”導(dǎo)致簡單問題復(fù)雜化，不清楚常規(guī)解題步驟的目的.第一問：_g′(-1)計算出錯.誤以為1 0 = 0 或粗心計算錯誤._____________________第一問：沒有g(shù)′(0)＞0，g′(π)＜0，直接給出?α ∈(-1, π)2 2，使得g′(α)=0.不理解極值的判斷過程，不會用零點存在性定理確定極值點的存在性，認為一定要求出明確的極值點后，再________________________________________判斷極值點兩邊的符號.第一問：易知(或由圖得)?α ∈(-1, π)，使 得_g′(α)=0(并未畫出圖像).2表達的不規(guī)范.第一問：畫出h(x)= sin x 和u(x)= ___1(1+x)2 在(-1, π)的圖像，但未說明圖像交點兩邊_異號.2直觀圖解缺乏嚴謹性，數(shù)形結(jié)合解題，表達不規(guī)范性欠缺.第一問“當x ∈(-1,0)時，g′(x)＞0，當x ∈(0, π)(的極大值______________________________________點.時，g′(x)＜0，”(1)計算錯誤或者猜測極值點為x=0.(2)誤認為f′(x)=0 的解是f′(x)在-1, π)2 2 20題第一問：對g′(x)= -sin x- 1(1+x)2 的符號分(-1,0)和(0, π)討論，但沒有說明g′(0)_的符號.2分類討論忽略區(qū)間端點的討論.第一問：沒有寫“當x ∈(-1,α)時，g′(x)＞0，當x ∈(α, π)時，g′(x)＜0，”或“g(x)在(-1,α)單調(diào)遞增，在2(α, π)單調(diào)遞減”，_直接下結(jié)論.2函數(shù)極值的定義理解不到位，關(guān)于函數(shù)極值的證明題表達不規(guī)范.結(jié)論：f′(x)在__(-1, π)存在極大值點.審題時忽略了唯一性.2第二問：由圖得h(x)= sin x 和v(x)= ln(1+x)在(π)2,π只有1 個交點.應(yīng)說明兩函數(shù)的單調(diào)性和交點兩端的函數(shù)值的大小關(guān)系，解答題答題不能只是直觀圖解，還要嚴謹?shù)拇鷶?shù)________________________________________論證.第二問：因為h(π)(π)，h(π)＜v(π)，所以h(x)= sin x 和v(x)= ln(1+ x)在(π 2＞v 2)應(yīng)說明兩函數(shù)的單調(diào)性.只有1 個交點(但評卷中不扣分)_.2,π第二問：f(x)在(0, π)的單調(diào)性分析省略或錯誤.主要表現(xiàn)：(1)沒有“?x1 ∈2(0, π)，使得f′(x1)=0”及f(x)在(0, π)2的單調(diào)性分析；(2)當x ∈(-1,0)時，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減，當x ∈2(0, π)時，f′(x)＞0，f(x)單 調(diào) 遞 增，f(0)= 0，則f(x)在(2-1, π)只有一個零點”.(3)由f(x0)＞ 0，f 2(π)＜ 0(其 中f′′(x0)= 0)，所以f(x)在2(x0, π)2有另一零點(已知f(0)=0).(4)“f(x)在((π)0, π)先增后減，f(0)= 0，f 2((1)審題不清.本小題的關(guān)鍵并非是“零點存在”而是“零點個數(shù)的確定”，所以必須分析清楚函數(shù)的圖像分布.(2)計算失誤.(3)不會或不敢假設(shè)變量來滿足表達需要，或想要求出f′(x)具體的零點，但求解不出來.(4)不會通過特殊點來確定導(dǎo)函數(shù)圖像，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性.0, π)沒有零________點”.2＞0，所以f(x)在2

第二問：對f(x)在(π,+∞)的單調(diào)性分析錯誤.例：?x1 ∈(0, π)，使得f′(x1)= 0，由(1)得當x ∈(x1,+∞)，f′(x1)＜0.2不會從導(dǎo)函數(shù)的趨向性判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，將第(1)小題的結(jié)論不假思索地推廣至(-1,+∞)，錯誤判斷f′′′(x)=-cos x- 2(1+x)3 ＜0.第二問：f(x)的單調(diào)性與f′(x)的單調(diào)性混淆，如：(1)“因為f(x)在(-1,α)單調(diào)遞增，在(α, π)單調(diào)遞減”.(2)由f′(x0)= 0，f′(e - 1)＜ 0(其 實 是f′′(x0)= 0)，所 以f(x)在_(x0,e-1)單調(diào)減.20題2解題不注意區(qū)分函數(shù)符號或變量符號，不注意區(qū)分導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的圖像和性質(zhì).第二問：沒有討論f(x)在(π,+∞)的零點情況.(1)不注意理解題意，誤以為只要找到兩個零點.(2)判斷函數(shù)零點的固化思維“一定要判斷出函數(shù)f(x)在(π,+∞)的單調(diào)性(具體畫出函數(shù)圖像)再判斷零點”，不會從不等式的角度來判斷零點的___________________________________________存在性.第一問：隨機變量X 取值錯誤典型錯誤取值為：(1)-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4；(2)0，1，2，3，4；(3)-4，0，4；_(4)-2，-1，0，1，2；未讀懂或不理解題意，沒有理解到X 指的是一輪試驗中甲藥的得分.第一問：概率計算錯誤.(1)P(X =1)= 1 2、1 3、14...；(2)P(X =0)=(1-α)(1-β)；(3)P(X =0)=αβ；(4)P(X =-1)=α(1-β)；(5)P(X =1)=C12α(1-β)；(6)P(X =1)=αβ+α(1-β)=α2；(1)第二問的數(shù)值代入第一問中計算出具體概率值，或按自己的錯誤理解方式計算出具體的概率值.(2)X = 0 對應(yīng)的事件理解不全面，只片面理解到都治愈或都不治愈.(3)調(diào)換了X = -1 與X = 1______________________________________的概率值.21題第一問：概率化簡錯誤(1)P(X =0)=αβ+(1-α)(1-β)=2αβ-α-β；(2)P(X =0)=αβ+(1-α)(1-β)=_1-α-β；簡單計算出錯.第一問：隨機變量錯誤取值的概率計算舉例：(1)P(X =4)=C44α4(1-β)0；(2)P(X =4)= c04 c44；(3)P(X =4)=α4(1-β)4；(4)P(X =4)=4α(1-β)；(5)P(X =4)=C4nα4(1-β)n?4；(6)P(X = 4)= α(1-β)4(1+C14 +_...+Cnn+3)；試驗過程或概率模型理解錯誤.第一問：分布列表達問題：images/BZ_14_1415_2755_1761_2986.png對分布列的概念理解不到位.

第一問：書寫表達規(guī)范問題.(1)X =-1,0,1，X ={-1,0,1}；(2)X = 1 的概率不規(guī)范寫法有：P(1)、P1、(X =1)、甲1 乙-1 的P；(3)αβ 書寫不規(guī)范，α 寫成d 或2，β_寫成ρ 或B____________________________________________________；平時訓(xùn)練書寫規(guī)范性沒有落實，不規(guī)范的表達沒有及時糾正.第一問：X ～B(n,α)；概率模型理解錯誤.第一問：求出分布列的期望值.不看題目，思維定勢.第二問：a、b、c 計算錯誤.錯誤舉例：(1)a = 0.1、b = 0.5、c = 0.4(a 與c的值互換，導(dǎo)致公比為1 4)；(2)a = 0.4、b = 0.4、c = 0.2(導(dǎo)致公比為2)；(3)a = 0.01、b = 0.59、c = 0.4(導(dǎo)致公比為 1由于第一問的錯誤導(dǎo)致a、b、c計算錯誤.40)；_(4)a=0.5、b=0.4、c=0.1____________________________________；21題第二問：對遞推關(guān)系不能進行有效變形，或變形運算出錯.常見錯誤的公比有：pi+1-pi = 1 2 (pi-pi?1)；pi+1-pi = 1 4 (pi-pi?1)；pi+1-pi =2(pi-pi?1)；_pi+1-pi =6(pi-pi?1)________________________________________.(1)不會拆分pi，不明確變形的方向.(2)由于a、b、c 計算錯誤導(dǎo)致公比計算錯誤.第二問：證明方向出錯._如 pi未看清題目要求，證明方向出錯.pi?1 =...，(pi)2 =...；_____________________________________無有效變形的前提下直接根據(jù)中項性質(zhì)(pi+1-pi)2 =(pi+2-pi+1)(pi-pi?1)判 斷 數(shù) 列_等比________________________________________________________.瞎蒙，偽證.結(jié)論問題：(1)對等比下結(jié)論時不指出首項與公比.(2)數(shù)列是公差為4 的等比數(shù)列._(3)數(shù)列是公比為4 的等差數(shù)列___________________________________.表達不規(guī)范.遞推關(guān)系式已經(jīng)變形出了等比的定義形式，但無結(jié)論.后續(xù)有解答過程的是因為不知道要寫.后續(xù)無解答過程的_________________________________________________________________________________________估計是因為沒有時間寫.計算出錯：(1)p1 = 3 47-1，p4 = 43-1 47-1，p4 =43+2 47+2；(2)pi =p1·(22(i?1)+22(i?2)+···+1)，所以p8 =p1·(1+22+······+_____________214)= 1-215(1)是因為少算項數(shù)的問題.(2)是因為表達過程迷惑性太大導(dǎo)致項數(shù)計算錯誤.1-2 p1，故p1 = 1 215-1._______________________________22- 23_________________________________________________________________________題同文科

四、教學(xué)備考及建議

1.回歸教材，落實四基

通過對歷年的試卷分析，我們可以發(fā)現(xiàn)高考命題是以教材知識為載體，以教材習(xí)題為背景進行編制，考查學(xué)生的基本知識和基本技能，符合源于教材、高于教材、又不拘泥于教材的命題原則.這就要求我們在日常教學(xué)和備考復(fù)習(xí)中回歸教材，落實四基.很多老師認為“把教材中的題目做完做熟，高考也考不到高分”，這是對教材的理解誤區(qū).我們自然會問，如何回歸教材?

(1)回歸教材中的概念.數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的起點，是進行數(shù)學(xué)推理、判斷的依據(jù)，是建立數(shù)學(xué)定理、法則、公式的基礎(chǔ)，也是形成數(shù)學(xué)思想方法的出發(fā)點.教材編排內(nèi)容時對學(xué)生如何形成數(shù)學(xué)概念是很有考究的，需要教師認真研讀教材，而不是用解題訓(xùn)練來代替概念的形成.概念的理解過程是學(xué)生提升基本技能和運用基本思想方法的內(nèi)功.

(2)回歸教材中的例題和習(xí)題.教材中例題、練習(xí)題和習(xí)題既是如何運用知識解題的經(jīng)典，也是思維訓(xùn)練的“模板”.教學(xué)過程中教師要注重教材中例題、練習(xí)題和習(xí)題的發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決的全過程，充分挖掘典型問題的內(nèi)在價值與遷移功能，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性與創(chuàng)新性.

(3)回歸教材中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)認識，是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認識，是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對數(shù)學(xué)的認識過程中提煉上升的數(shù)學(xué)觀點[1].數(shù)學(xué)教材中的例題和習(xí)題往往蘊含了豐富的數(shù)學(xué)思想，如人教版必修1 第一章復(fù)習(xí)參考題中B 組第5題第(2)題：

若g(x)= x2+ ax + b，證 明：

此題是高中數(shù)學(xué)初步滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想的一道好題.在教學(xué)過程中，教師不僅要求學(xué)生能從代數(shù)的角度證明該結(jié)論，還要引導(dǎo)學(xué)生從幾何圖形的角度對它解釋說明，挖掘其蘊含的高等數(shù)學(xué)背景.在學(xué)生從代數(shù)和幾何兩個不同角度解決同一個問題的過程中，對數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想能進一步了解和感悟，為以后學(xué)生熟練的應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)問題奠定基礎(chǔ).

2.既要講套路，更要講靈性

解數(shù)學(xué)題是有一定的模式的，各種不同類型的題目有相應(yīng)的基本解題策略，這就是常說的“套路”，實際上就是我們講的“通性通法”.考生不掌握基本的“套路”，拿到試題后天馬行空式的發(fā)散思考，不能盡快找到最優(yōu)解題策略，想在高考這種限時解答的考試中取得優(yōu)秀成績，那幾乎是不可能的.從2019年試卷中可以發(fā)現(xiàn)，試題首先是考查學(xué)生對相關(guān)問題的通性通法的掌握.如文、理科第5題及理科第17題就是考查使用通性通法的例子.

但是，目前一種不好的現(xiàn)象是“背題型，背套路”，本質(zhì)上就是沒有理解“套路”背后的數(shù)學(xué)原理，缺乏靈性.這些“背題型，背套路”的考生一旦遇到與原有的題型有所變化時就不容易、甚至找不到正確的解題策略.“題型化、套路化”的教學(xué)容易學(xué)生就失去了對問題本質(zhì)的探究過程，沒有激發(fā)出“靈性”. 當真正考查到概念性的本質(zhì)問題時，學(xué)生就會束手無措，生搬硬套.這兩年高考命題破除常規(guī)，不僅試題順序發(fā)生變化，而且以結(jié)合實際生活、美學(xué)、哲學(xué)等來命題，要求學(xué)生能靈活應(yīng)對.如今年的第22題高考題(極坐標和參數(shù)方程)的失分，就是大部分學(xué)生不能把參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程，其根本原因在于解決常見的“三角消參“或“線性方程消參”時只記住消參的操作方法，沒有理解“消參”的本質(zhì)，遇到陌生情境時就不能靈活應(yīng)對.

如果說“套路”體現(xiàn)的是基本方法，基本技能，那么“靈性”體現(xiàn)的就是數(shù)學(xué)思想方法.在平時的數(shù)學(xué)教學(xué)備考中，不僅僅要學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識和訓(xùn)練基本技能，也要能夠挖掘知識的廣度、深度以及表達；不僅要掌握其中的套路，更要逐漸內(nèi)化成數(shù)學(xué)思想和方法，獲得活動經(jīng)驗，實現(xiàn)從“解題”到“解決問題”，從知其然到也知其所以然，達到從“就題論題”到“就題論法”再到“就題論道”.

3.注重學(xué)生的計算知識補充，提高計算能力

通過前面文理科試卷典型錯誤分析中可以看出，學(xué)生的運算能力存在一定程度的問題.與2015年之前的廣東高考數(shù)學(xué)自主命題試題相比，全國卷對學(xué)生的計算能力要求更高.同時，由于廣東省中考兼顧畢業(yè)考的功能，中考考綱對學(xué)生初中計算能力的要求與高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對初中數(shù)學(xué)計算能力的要求不一致.如廣東省初中數(shù)學(xué)中考考綱對因式分解要求為：“會用提取公因式法，公式法(直接用公式不超過兩次)進行因式分解(指數(shù)是正整數(shù))”；對分式計算的要求為：“了解分式和最簡分式的概念，會利用分式的基本性質(zhì)進行約分和通分，會進行簡單的分式加、減、乘、除運算”.但在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段，分組分解法因式分解，非整指數(shù)的因式分解如繁分式的計算等都是要求學(xué)生掌握的數(shù)學(xué)計算基本功.這就要求在高中教學(xué)過程，教師要及時給學(xué)生講解這些數(shù)學(xué)運算的基本方法和技巧，經(jīng)過長期的訓(xùn)練提高學(xué)生的計算能力.