□吳志鵬

（福建省德化第一中學(xué)，福建德化 362500）

數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng)，主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果等.通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，有效借助運(yùn)算方法解決實(shí)際問(wèn)題，通過(guò)運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展，形成規(guī)范化思考問(wèn)題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神．?dāng)?shù)學(xué)問(wèn)題的設(shè)計(jì)過(guò)程中，也經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)“在同一道題中，有多個(gè)同類型的運(yùn)算對(duì)象，運(yùn)算方法也相同的‘重復(fù)運(yùn)算'”問(wèn)題，那么在解題的過(guò)程中，就要經(jīng)過(guò)兩次或者更多次用同一種方法進(jìn)行解答問(wèn)題，浪費(fèi)了時(shí)間，解題效率也會(huì)大大降低.那么怎樣才能有效解決這類問(wèn)題呢？筆者針對(duì)“重復(fù)運(yùn)算”問(wèn)題進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)可以利用以下幾種策略減少運(yùn)算次數(shù)，節(jié)約運(yùn)算時(shí)間．

一、先求后補(bǔ) 提高運(yùn)算效率

例1（2011年天津高考文科數(shù)學(xué)第8題）對(duì)實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“設(shè)函數(shù)f(x)=(x2-2)?（x-1），x∈R.若函數(shù)y=f(x)-c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是（ ）

解：由題意得：

則f(x)的圖象如圖1所示：

圖1

∵函數(shù)y=f(x)-c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，

即函數(shù)y=f(x)與y=c的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖象可得-2＜c≤ -1，或1＜c≤ 2.

變式（2019年全國(guó)卷Ⅲ理科數(shù)學(xué)第20題節(jié)選）已知函數(shù)f(x)=2x3-ax2+b.討論f(x)的單調(diào)性.

解析：f′(x)=6x2-2ax=2x(3x-a)．

令f′(x)=0，得x=0或

若a＞0，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)．故f(x)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

若a=0，f(x)在(-∞，+∞)單調(diào)遞增；

若a＜0，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)．故f(x)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．

評(píng)析例1在分段函數(shù)“段”的處理過(guò)程中通過(guò)計(jì)算獲得x2-2-(x-1)≤1得-1≤x≤2，此時(shí)若再求解x2-2-(x-1)＞1得結(jié)論：x＜-1或x＞2，必然浪費(fèi)了時(shí)間.此時(shí)只需根據(jù)分段函數(shù)的定義域?yàn)镽，分段函數(shù)在分段時(shí)各段的范圍既不重復(fù)也不遺漏，可知各段的范圍互為補(bǔ)集關(guān)系，由此分段時(shí)我們只需求解不等式x2-2-(x-1)≤1得-1≤x≤2，再求其補(bǔ)集得另一段的范圍x＜-1或x＞2.這類例題比較多見(jiàn)，常出現(xiàn)在分類討論時(shí)，如2019年全國(guó)卷Ⅲ理科數(shù)學(xué)第20題，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間也是如此，通過(guò)某個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)所確定的參數(shù)范圍通常具有在某個(gè)區(qū)間內(nèi)具有互補(bǔ)的特征，這樣我們就可以利用補(bǔ)集的思想求解參數(shù)的討論范圍，而不必多次求解，提高運(yùn)算效率，也減少了運(yùn)算所需的時(shí)間.

二、正難則反 降低思維難度

例2男運(yùn)動(dòng)員6名，女運(yùn)動(dòng)員4名，其中男女隊(duì)長(zhǎng)各1人.選派5人外出比賽，隊(duì)長(zhǎng)中至少有1人參加，有多少種選派方法？

解：方法一（直接法）

方法二（間接法）

變式（2019年江蘇高考第6題）從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，則選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率是__．（答案）A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則的最小值為（ ）

評(píng)析有些排列組合問(wèn)題，由于利用直接法需要分多種情況（這些情況相類似）進(jìn)行討論、解決與運(yùn)算，不僅思維量增加了，計(jì)算量也同步增加，計(jì)算的失誤率變得更高，有時(shí)如能進(jìn)行反向思考、求解，則所求問(wèn)題的情況減少了，這樣不僅減少解題過(guò)程的思維量，更減少了計(jì)算量，對(duì)于獲得正確的解題結(jié)果是很有幫助的．

三、整體替換 減少運(yùn)算次數(shù)

例3（2017年課標(biāo)卷Ⅰ理科數(shù)學(xué)第10題）已知F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于

A.16 B.14 C.12 D.10

解 析 ：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4),直線l1的方程為：y=k1(x-1)，聯(lián)立方程得k12x2-2k12x-

根據(jù)題意，直線l1與直線l2互相垂直且斜率存在，所以有

當(dāng)且僅當(dāng)k1=±1時(shí)取等號(hào)．

評(píng)析由于求弦長(zhǎng)與|的方法同一，所以在解題過(guò)程中不要再一次進(jìn)行求解，只需遷移求弦長(zhǎng)| |AB的結(jié)論，將斜率用代入即可求得弦長(zhǎng)| |CD，這樣就能減少求解弦長(zhǎng)運(yùn)算次數(shù)，節(jié)約計(jì)算的時(shí)間.對(duì)于這類兩條斜率相關(guān)或傾斜角相關(guān)的直線與圓錐曲線相交的問(wèn)題，我們常?？上扰迤渲幸粭l直線與圓錐曲線的數(shù)量關(guān)系，再利用兩直線的斜率關(guān)系進(jìn)行代換，這樣就能大大減少解題過(guò)程的運(yùn)算量．

例4（2019年全國(guó)理科Ⅰ卷第19題）已知拋物線C：y2=3x的焦點(diǎn)為F，斜率為的直線l與C的交點(diǎn)為A，B，與x軸的交點(diǎn)為P．

所以l的方程為

所以y1+y2=2.從而-3y2+y2=2，故y2=-1，y1=3．

代入C的方程得

評(píng)析本題第（2）小題解法一為再次聯(lián)立直線與拋物線方程進(jìn)行消元獲得根與系數(shù)的關(guān)系，用同一方法算兩次，計(jì)算量增加了，此時(shí)若能根據(jù)直線x，y的聯(lián)系，即，把y用含有x的整體進(jìn)行代換，即可輕而易舉地求得交點(diǎn)坐標(biāo)，得到結(jié)論.顯然第二種解法，解方程組運(yùn)算的次數(shù)減少了，運(yùn)算量也降低了．

四、先找后算 規(guī)范運(yùn)算順序

例5求直線l1:2x+y-4=0關(guān)于直線l:3x+4y-1=0的對(duì)稱直線l2的方程？

解：直線l1:2x+y-4=0與直線l:3x+4y-1=0的交點(diǎn)為B(3，-2)，

在直線l1:2x+y-4=0取一點(diǎn)A(2，0)，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l:3x+4y-1=0的對(duì)稱點(diǎn)為A′(x0，y0)，則有

則直線l1:2x+y-4=0關(guān)于l:3x+4y-1=0 的 對(duì) 稱 直 線 為即

評(píng)析本題求直線l1關(guān)于直線l的對(duì)稱直線，只需在直線l1上任意找到兩個(gè)點(diǎn)，并求其關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，連接兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)求其直線方程即可，如果兩次去求l1的點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，計(jì)算的方法是一樣的，但計(jì)算量明顯加大了，這時(shí)如能找到l1與l的交點(diǎn)，這一點(diǎn)同樣也是對(duì)稱直線與l的交點(diǎn)，這樣求對(duì)稱直線的方程也就簡(jiǎn)便了許多，計(jì)算量也減少了，因此規(guī)范運(yùn)算順序也能節(jié)約運(yùn)算的時(shí)間．

例6（2019年北京高考理科數(shù)學(xué)第16題）如圖2，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且

（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAD；

（Ⅱ）求二面角F-AE-P的余弦值；

（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)G在PB上，且．判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說(shuō)明理由．

圖2

解析：（Ⅰ）由于PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，則PA⊥CD，

由題意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A，

由線面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.

（Ⅱ）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，平面ABCD內(nèi)與AD垂直的直線為x軸，AD，AP方向?yàn)閥軸，z軸，建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，

圖3

由于平面AEP與平面YOZ重合，可得到平面AEP的一個(gè)法向量n=(1，0，0 )，

易知：

設(shè)平面AEF的法向量為：m=(x，y，z) ，則

據(jù)此可得平面AEF的一個(gè)法向量為：m=(1，1，-1 )，

二面角F-AE-P的平面角為銳角，故二面角FAE-P的余弦值為

注意到平面AEF的一個(gè)法向量為：m=(1，1，-1) ，

m·且點(diǎn)A在平面AEF內(nèi)，故直線AG在平面AEF內(nèi).

評(píng)析本題第（Ⅱ）小題要求兩個(gè)平面的法向量，如果兩次去求平面的法向量，雖然可行，但運(yùn)算量卻增加了，所以在解題時(shí)，我們應(yīng)先觀察，判斷是否有與平面垂直的直線，如有則其方向向量為平面的一個(gè)法向量，這樣我們就可以省去求一個(gè)平面法向量的時(shí)間，有效減少運(yùn)算量，因此在運(yùn)算過(guò)程中，如能規(guī)范運(yùn)算的順序則能節(jié)約運(yùn)算時(shí)間，免除算兩次的不必要．

五、簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu) 優(yōu)化運(yùn)算環(huán)境

例7已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，求橢圓的方程．

解析：（1）若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)方程為

（2）若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)方程為

此時(shí)若能設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m＞ 0，n＞ 0，m≠n)．

變式（2019年浙江高考第2題）漸近線方程為x±y=0的雙曲線的離心率是（ ）（答案C）

評(píng)析由于例7不清楚橢圓的焦點(diǎn)在x軸或y軸上，而要進(jìn)行分類討論，這樣在運(yùn)算的過(guò)程中就要計(jì)算兩次才能獲得結(jié)論，造成運(yùn)算效率低下，如能利用圓錐曲線的統(tǒng)一形式對(duì)橢圓進(jìn)行假設(shè)，就能簡(jiǎn)化方程的結(jié)構(gòu)，優(yōu)化運(yùn)算的環(huán)境，減少運(yùn)算次數(shù)，也有利于計(jì)算.變式問(wèn)題如若設(shè)雙曲線的方程為mx2-ny2=1(mn＞0)，再利用其漸近線方程為x±y=0，可避開(kāi)對(duì)焦點(diǎn)在x軸和焦點(diǎn)在y軸兩類雙曲線情況的討論，同樣也能優(yōu)化運(yùn)算的環(huán)境，減少運(yùn)算次數(shù)，便于計(jì)算．

總之，數(shù)學(xué)運(yùn)算量的控制是與運(yùn)算的思路、運(yùn)算方法、運(yùn)算途徑的選擇等密切相關(guān)的，教師只有在教學(xué)中不斷幫助學(xué)生樹(shù)立運(yùn)算量控制的意識(shí)，降低運(yùn)算難度，減少運(yùn)算次數(shù)，使得學(xué)生自信于數(shù)學(xué)的運(yùn)算，才能更好地提升學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng) .