□余志淵 張曉斌

（重慶市第一中學(xué)校，重慶 400030；重慶市教育科學(xué)研究院，重慶 400015）

一、問(wèn)題的提出

小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算主要涉及數(shù)的運(yùn)算，從認(rèn)識(shí)上比較單一具體，進(jìn)入初中，用字母表示數(shù)，大量的數(shù)學(xué)符號(hào)出現(xiàn)，學(xué)生感到數(shù)學(xué)突然變得難以捉摸，難以理解，在小學(xué)認(rèn)為很簡(jiǎn)單的運(yùn)算在初中反而變得很難；另一方面，教師在教學(xué)過(guò)程中也感覺(jué)到，不管自己怎樣細(xì)致地講解，耐心地指導(dǎo)，學(xué)生在計(jì)算上仍然存在很大問(wèn)題.所以，在日常教學(xué)中怎樣培養(yǎng)和提高學(xué)生的計(jì)算能力，是我們不得不考慮的問(wèn)題.下面通過(guò)具體的教學(xué)案例，談?wù)勎覀冊(cè)谂囵B(yǎng)和提高學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)方面的一些做法.

二、學(xué)生運(yùn)算錯(cuò)誤原因分析

搞清楚學(xué)生在運(yùn)算方面存在的問(wèn)題，是培養(yǎng)和提高學(xué)生運(yùn)算能力的前提.通過(guò)對(duì)學(xué)生的習(xí)題錯(cuò)誤進(jìn)行分析，主要有以下幾種因素導(dǎo)致學(xué)生運(yùn)算錯(cuò)誤率較高，運(yùn)算素養(yǎng)不高.

（一）缺乏對(duì)公式的正確認(rèn)識(shí)

我們先來(lái)看學(xué)生常見(jiàn)的一些錯(cuò)誤案例.

此錯(cuò)誤的原因是對(duì)平方差公式的結(jié)構(gòu)認(rèn)識(shí)表面化，認(rèn)為就是用第一項(xiàng)的平方減去第二項(xiàng)的平方，沒(méi)有真正認(rèn)識(shí)到是用相同的項(xiàng)的平方減去相反的項(xiàng)的平方.

此錯(cuò)誤的原因是沒(méi)有搞清楚平方差公式適用的條件.

此錯(cuò)誤的原因是受“積的乘方”公式影響，在定式思維影響下，想當(dāng)然地造出這個(gè)錯(cuò)誤公式.在平時(shí)的教學(xué)中這種錯(cuò)誤出現(xiàn)次數(shù)很多，學(xué)生要經(jīng)過(guò)多次講解、強(qiáng)調(diào)，反復(fù)練習(xí)，才能逐漸消除.

此錯(cuò)誤的原因是受定式思維的影響，因?yàn)樵谄綍r(shí)的教學(xué)中，我們非常強(qiáng)調(diào)負(fù)號(hào)參與運(yùn)算時(shí)要注意結(jié)果的符號(hào)問(wèn)題，這里學(xué)生受這種思維的影響，自然刻意地去想結(jié)果也應(yīng)是負(fù)號(hào).

此錯(cuò)誤的原因是沒(méi)有認(rèn)清公式結(jié)構(gòu)，認(rèn)為左邊各項(xiàng)系數(shù)都是數(shù)學(xué)1，右邊各項(xiàng)系數(shù)也不會(huì)有其他數(shù)字出現(xiàn).

以上錯(cuò)誤充分說(shuō)明學(xué)生對(duì)基本概念、公式、法則的認(rèn)識(shí)是非常模糊的，試想學(xué)生連公式的基本結(jié)構(gòu)、公式適用的基本條件都沒(méi)有搞清楚，錯(cuò)誤自然難以避免.

（二）缺乏對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)

進(jìn)入七年級(jí)的學(xué)生，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)很薄弱，基本上不知道有數(shù)學(xué)思想方法這一概念，由于不具備基本數(shù)學(xué)思想方法作指導(dǎo)，學(xué)生在處理一些題目時(shí)往往無(wú)從下手，即使聽(tīng)教師講解也難于理解，難以轉(zhuǎn)化成自己的解題經(jīng)驗(yàn).下面通過(guò)幾個(gè)具體的案例來(lái)說(shuō)明.

此錯(cuò)誤的原因是缺乏整體思想，沒(méi)有分別將3x，2y看作是一個(gè)整體.

此題學(xué)生往往難于下手，最后只有用多項(xiàng)式乘法法則進(jìn)行運(yùn)算，但較為煩瑣，利用整體思想，將式子重新組合為[-b+(2a-3c)][-b-(2a-3c)]，再利用平方差公式，運(yùn)算就非常簡(jiǎn)便了.

此題學(xué)生往往不會(huì)將(2a+b)，(a-2b)分別看作一個(gè)整體，再利用完全平方公式得到[(2a+b)-(a-2b)]2，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算，而是直接利用乘法公式和乘法法則進(jìn)行運(yùn)算.

以上題目，因?yàn)閷W(xué)生沒(méi)有利用有效的方法將計(jì)算簡(jiǎn)化，以致運(yùn)算量過(guò)大，導(dǎo)致錯(cuò)誤率上升.

（三）缺乏較好的運(yùn)算習(xí)慣

通過(guò)對(duì)學(xué)生運(yùn)算過(guò)程的觀察，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在運(yùn)算習(xí)慣上存在一定問(wèn)題.

首先，沒(méi)有認(rèn)真審題的習(xí)慣，許多學(xué)生一拿到題就開(kāi)始算，沒(méi)有認(rèn)真觀察算式的結(jié)構(gòu)，找出簡(jiǎn)便的算法，這樣往往使運(yùn)算量增大，導(dǎo)致錯(cuò)誤率上升.

第二，在做題過(guò)程中沒(méi)有對(duì)易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行短暫停頓、進(jìn)行查誤的習(xí)慣，只是一味地繼續(xù)往下面算，往往因?yàn)橐粋€(gè)環(huán)節(jié)的錯(cuò)誤導(dǎo)致整個(gè)題目的錯(cuò)誤.

（四）缺乏良好的心理因素

學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)與學(xué)生的心理因素有一定關(guān)系，學(xué)生心理所呈現(xiàn)的這些特征，往往是有意識(shí)的.有時(shí)雖然教師指出其錯(cuò)誤答案，但不知道自己錯(cuò)誤的真正原因.

第一，定式思維中的消極因素往往影響學(xué)生對(duì)概念、公式、法則的正確認(rèn)識(shí)，從而導(dǎo)致運(yùn)算在數(shù)學(xué)本源上的錯(cuò)誤.

第二，缺乏自我評(píng)價(jià)意識(shí)，只要找到一種算法就一直死算下去，而不再考慮算法是否合理、簡(jiǎn)捷，往往因運(yùn)算量大而使錯(cuò)誤率提高.

第三，受記憶還原影響，當(dāng)學(xué)生對(duì)新的知識(shí)掌握不扎實(shí)，就容易被原來(lái)相近的知識(shí)所取代，從而造成新舊知識(shí)的混淆，對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的認(rèn)識(shí)模糊，導(dǎo)致運(yùn)算的錯(cuò)誤.

三、培養(yǎng)和提高學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的教學(xué)思考

（一）加強(qiáng)對(duì)基本概念、公式、法則的教學(xué)

培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的首要前提是讓學(xué)生準(zhǔn)確掌握數(shù)學(xué)概念、公式、法則.這些概念、公式、法則有的是運(yùn)算的依據(jù)，有的是運(yùn)算的步驟，綜合起來(lái)就是運(yùn)算的行為準(zhǔn)則.我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)，應(yīng)該注重公式的推導(dǎo)過(guò)程，注重從不同的角度驗(yàn)證公式，總結(jié)出公式的適用條件，分析公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，利用正反例加深對(duì)概念、公式的認(rèn)識(shí)，多角度、多側(cè)面地讓學(xué)生認(rèn)識(shí)公式.

（二）科學(xué)有序地組織學(xué)生對(duì)公式進(jìn)行應(yīng)用

我國(guó)心理學(xué)家馮忠良教授認(rèn)為，一般心智技能的形成分為三個(gè)階段，即活動(dòng)模式定向階段、活動(dòng)模式操作階段、活動(dòng)模式內(nèi)化階段［1］.運(yùn)算技能的訓(xùn)練與之對(duì)應(yīng)的三個(gè)階段是：（1）模仿練習(xí)階段：在例題示范下進(jìn)行練習(xí)，所選習(xí)題難度不大，變化不大，要求學(xué)生直接套用公式，保證結(jié)果的正確性；（2）變式練習(xí)階段：在學(xué)生初步掌握知識(shí)和技能的基礎(chǔ)上組織練習(xí)，習(xí)題難度適當(dāng)提高，要求學(xué)生在求得正確答案后，對(duì)運(yùn)算的過(guò)程、依據(jù)、方法進(jìn)行總結(jié)與概括，促使操作方式上升到理性水平；（3）綜合練習(xí)階段：此時(shí)可選擇具有一定難度的綜合題，訓(xùn)練學(xué)生確定運(yùn)算方向，靈活運(yùn)用運(yùn)算法則的能力［2］.

教學(xué)實(shí)例：“平方差公式”的應(yīng)用，即例題、習(xí)題設(shè)計(jì).

通過(guò)對(duì)“平方差公式”基本結(jié)構(gòu)部分的教學(xué)，學(xué)生對(duì)公式有了一定的認(rèn)識(shí)，接著通過(guò)例題和鞏固、變式等練習(xí)加深對(duì)公式的認(rèn)識(shí).

此例題是對(duì)公式的直接應(yīng)用，起到再次熟悉公式的目的.

例2簡(jiǎn)便計(jì)算79×81.

此例題是訓(xùn)練學(xué)生思維的靈活性，學(xué)生在習(xí)慣字母運(yùn)算的同時(shí)，通過(guò)這個(gè)例題讓學(xué)生的思維在字母和數(shù)字之間靈活轉(zhuǎn)換.

變式練習(xí)1：計(jì)算1002-992+982-972+…+22-12.

以上例題都是對(duì)平方差公式的綜合（正向和逆向）應(yīng)用，在難度上逐漸提高，通過(guò)例題講解和變式練習(xí)，讓學(xué)生了解并熟悉這些題目結(jié)構(gòu)，并逐漸掌握解決這些題目的思路和方法.

（三）切實(shí)做到練習(xí)中的兩個(gè)重視

第一，重視練習(xí)效果的及時(shí)反饋.心理學(xué)研究表明，如果對(duì)正在進(jìn)行技能訓(xùn)練的學(xué)生及時(shí)提供訓(xùn)練結(jié)果的反饋信息，如每次練習(xí)的得分，練習(xí)過(guò)程中不斷給予鼓勵(lì)，分析練習(xí)中出現(xiàn)的錯(cuò)誤等，練習(xí)效果就會(huì)顯著提高［3］.因此，在平時(shí)的教學(xué)中，要及時(shí)批改學(xué)生作業(yè)；及時(shí)講評(píng)學(xué)生作業(yè)中出現(xiàn)錯(cuò)誤較多的題目；多與學(xué)生交流，了解他們?cè)谧鲱}過(guò)程中的真實(shí)想法，并給予評(píng)價(jià)和指導(dǎo).

第二，重視學(xué)生練習(xí)的自我糾錯(cuò).建構(gòu)主義學(xué)說(shuō)認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)是一個(gè)以學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)（已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)）為基礎(chǔ)的主動(dòng)建構(gòu)過(guò)程［4］.因此，讓學(xué)生經(jīng)歷自我發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤并且自我改正錯(cuò)誤的過(guò)程，是提高運(yùn)算能力的必要措施.在平時(shí)教學(xué)過(guò)程中，多讓學(xué)生上講臺(tái)板書(shū)解題過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解題過(guò)程中的得與失；嚴(yán)格落實(shí)學(xué)生的改錯(cuò)過(guò)程，采取有效辦法幫助學(xué)生糾正錯(cuò)誤.

（四）使學(xué)生養(yǎng)成對(duì)知識(shí)進(jìn)行總結(jié)的習(xí)慣

在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生普遍缺乏對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行總結(jié)的習(xí)慣.在運(yùn)算上經(jīng)常出現(xiàn)同樣錯(cuò)誤反復(fù)出錯(cuò)的現(xiàn)象；對(duì)一些較難題的解答也不穩(wěn)定，前面剛做過(guò)，后面遇到又不知道該怎么算了.因此，引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)知識(shí)進(jìn)行總結(jié)、歸納、反思，是培養(yǎng)和提高學(xué)生運(yùn)算能力的重要方法.

教學(xué)實(shí)例：“完全平方公式”的復(fù)習(xí)總結(jié)教學(xué).

（1）對(duì)公式結(jié)構(gòu)的總結(jié)與觀察：

學(xué)生在直接用完全平方公式時(shí)，若首項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)容易出錯(cuò)，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察分析發(fā)現(xiàn)：兩項(xiàng)同號(hào)時(shí)就用“和”的公式，兩項(xiàng)異號(hào)時(shí)就用“差”的公式.

（2）對(duì)公式推廣的總結(jié)：將兩項(xiàng)和的平方變成三項(xiàng)和的平方，即

學(xué)生知道這個(gè)公式，在解決如(2a-b+3c)2這類題目時(shí)就比較容易了.

（3）與其他公式綜合運(yùn)用的總結(jié)：如計(jì)算(a+b-c)(a-b+c)；(x-y)2(x+y)2.

（4）將a+b，a-b，a2+b2，ab看作整體進(jìn)行運(yùn)算的總結(jié)：如已知(x+y)2=9，(x-y)2=5，求xy的值.

將公式整理為 (a±b)2=a2+b2±2ab，(a+b)2-(a-b)2=4ab，根據(jù)已知條件選用不同的公式，就很容易求出答案了.

（5）逆向運(yùn)用公式的總結(jié)：如計(jì)算(2a+b)2-2(2a+b)(a-2b)+(a-2b)2.

（6）配成完全平方式的總結(jié)：如已知x2+y2-2x+4y+5=0，求x，y；又如若x2+16x+k是完全平方式，求k的值.

在對(duì)知識(shí)進(jìn)行總結(jié)時(shí)，要將知識(shí)和平時(shí)的練習(xí)相結(jié)合，這樣才能使學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解更具體，更深刻.

四、結(jié)論和反思

以上探究，經(jīng)過(guò)日常教學(xué)實(shí)踐，取得較好效果，特別是中等水平學(xué)生進(jìn)步明顯，這部分學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算水平有較大提高，并逐漸養(yǎng)成良好的運(yùn)算習(xí)慣，運(yùn)算信心得到提升.但是因?yàn)閿?shù)學(xué)運(yùn)算具有系統(tǒng)性特點(diǎn)，對(duì)于運(yùn)算知識(shí)掌握不系統(tǒng)、不熟練的中下水平學(xué)生，會(huì)因?yàn)橐郧斑\(yùn)算方面存在的問(wèn)題而影響現(xiàn)在的運(yùn)算正確率.

學(xué)生在數(shù)學(xué)運(yùn)算能力方面的不同表現(xiàn)，反映了學(xué)生不同的數(shù)學(xué)水平，學(xué)生在數(shù)學(xué)水平上的差異，給我們的教學(xué)帶來(lái)一定的困難，因此在注重以上提出的方法之外，對(duì)不同運(yùn)算水平的學(xué)生給予不同的要求，經(jīng)常鼓勵(lì)學(xué)生，耐心等待學(xué)生的成長(zhǎng)，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)必定會(huì)越來(lái)越好 .