□周如俊

（江蘇省灌南中等專業(yè)學校，江蘇灌南 222500）

數(shù)學考試中，考生失分的原因是多種多樣的，但是一部分失分具有鮮明的共性——“隱性失分”，在平時學生學習與教師教學中卻往往被忽視.所謂“隱性失分”是指解題策略上失誤、思維定式、心理定式等非知識性因素造成的主要失分[1]，而且解題者有時難以自我診斷與發(fā)現(xiàn).“隱性失分”在高考解題失分中所占的比例相當大，是影響高考數(shù)學成績大范圍提高的一個不可輕視的因素.本文以2019年江蘇省高考數(shù)學試題為例，對考生常見“隱性失分”的原因加以分析，并提出相應的教學對策.

一、“會而不對”——“無”果的隱性失分

所謂“會而不對”，是指考生解答考題時，常受平時教學“巧解”（如“定義法”“特例法”等）刷題訓練影響，先入為主，企圖借助“巧法”“直搗黃龍”得分，結果陷入命題者設計的“解不出來”的“陷阱”之中，造成“會而不對”的“隱性”失分后果.

例1（2019年江蘇高考第17題）如圖1，在平面直角坐標系XOY中，橢圓1(a＞b＞0)的焦點為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0）．過F2作x軸的垂線l，在x軸的上方，l與圓F2:(x-1)2+y2=4a2交于點A，與橢圓C交于點D.連結AF1并延長交圓F2于點B，連結BF2交橢圓C于點E，連結DF1．已知

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）求點E的坐標.

圖1

【解析】本題主要考查考生推理論證能力、分析問題能力和運算求解能力.

（1）本題部分考生考完后說很“悲傷”，究其原因是“先入為主”造成的，試圖想通過橢圓定義的“巧法”，結果陷入“會而不對”無法求解的誤區(qū).

設橢圓C的焦距為2c，則F1F2=2c=2，c=1.

可求得D點的坐標為即

因a2=b2+c2，即b2=a2-1，代入上式（*），化簡整理得：

對于方程（**），部分考生因心理緊張，結果解不出來，導致第（2）解題也直接失敗，還有部分考生說，將方程（**）左邊因式分解，得：12a4-24a3-16a3+32a2+a2-4=0，即有：(a-2)(12a3-16a2+a+2)=0,a-2=0,a=2，但因糾纏于12a3-16a2+a+2=0（***）求解，花費大量時間卻求不出（***）解來，又陷入后文所述“對而失時”——“繁”解的隱性失分誤區(qū).上述解法可能正是命題者設計的“請君入甕”——定義法求解的“會而不對”的命題“陷阱”.

事實上，換個思路，解題“干凈利落”，有“直搗黃龍”得分之效.

由b2=a2-c2，得b2=3.

因此，橢圓C的標準方程為

（2）解略

【教學對策】教學中（學習中）一味追求“巧解”，必然缺乏對數(shù)學基本思想方法的挖掘和相應的訓練，從而沖淡和掩蓋了對基本方法的滲透.一種嚴重影響就是當學生對于一類題目一旦了解或掌握了某一個巧解后，就對較為復雜的基本方法產(chǎn)生厭倦心理，也就從根本上阻礙了數(shù)學基本思想方法的滲透．綜觀近幾年高考數(shù)學命題，考查考生數(shù)學綜合運用能力，主要體現(xiàn)在數(shù)學思想與“通法”運用上，學生解答高考試題的問題還是出在對常規(guī)方法的掌握上．因此解題教學中要辯證地看待“通法”與“巧法”[2]，充分發(fā)揮通法和巧法各自的教學功能，不能“顧彼失此”：首先追求解題通法運用，然后通過“巧思妙想”滲透，尋求一種最美和最簡捷的證明（解法），激發(fā)學生學好數(shù)學的興趣，培養(yǎng)創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力．

二、“對而失時”——“繁”解的隱性失分

所謂“對而失時”，是指考生解答考題時，常因思維封閉、方法單一，只知道從命題條件順水推舟，一“推”（算）到底，不善于改變思維角度，修正解題方向，以求得“最佳”方法，節(jié)省時間和精力，結果造成“小題大做，小題繁做”，浪費了其他大題解題時間，導致“全而不巧”費時式的隱性失分后果.

例2（2019年江蘇高考第12題）如圖2，在△ABC中，D是BC的中點，E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于點O.若，則的值是_________.

圖2

【解析】本題考查在三角形中平面向量的數(shù)量積運算，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng).考生習慣運用“坐標運算法”求解，通過坐標法的處理，結合點的坐標、向量的坐標的轉化，解決向量問題.

圖3

解題第一步：坐標轉化.如圖3，建立直角坐標系，將幾何問題轉化為學生熟悉的有明確關系的距離公式運算：

解題第二步：關系探尋.探尋m，n關系，然后代入（*）求解.探尋向量與向量關系：通過向量加減運算，將向量轉化為向量來表達．

由定比分點公式求得E點坐標為，則直線AD方程為，直線EC方程為聯(lián)立直線AD，EC兩方程，求得E點坐標為，即O是線段AD中點．

證明結論“O是線段AD中點”，除了上述“求直線交點法”外，考生有時還通過“向量法”小題大做證明：

解題第三步：參數(shù)轉換.探究m，n關系．由知：(-1-m，0-n)·(1-)，化簡，整理得：n2=-m2+4m-1（**）．

上述解題第二步“關系探尋”中兩種方法證明“O是線段AD中點”的結論，有點“小題大做，小題繁做”，陷入命題者設計的“對而失時”解題誤區(qū)，耽誤了其他試題解答的寶貴時間，導致“全而不巧”費時式的隱性失分.當然，部分考生“看不出”或證明不出“O是線段AD中點”的隱含結論，此題也就變成了學生解答的“攔路虎”，甚至學生花費了大量時間進行向量線性變換或坐標轉換，也得不出正確答案，此時解題陷入了后文所述“隱而不發(fā)”——“難”解的隱性失分的誤區(qū).

其實，解題第二步“關系探尋”，還可以采用三角形中位線性質簡證“O是線段AD中點”的結論（如圖4），具有“一眼望穿”求解之效．

圖4

【教學對策】高考數(shù)學選擇題、填空題，主要以能力立意命題，從相當難度的角度區(qū)分學生思維能力的不同層次.一些考生解題方法或策略運用不當，反映選擇題、填空題難算、耗時.其實，這都是考生思維層次不高、解題能力不強的表現(xiàn).因此在做選擇題、填空題時要注重解題方法和解題策略，處理好解題關系（小題大做，即使做對了也是隱性失分），優(yōu)化解題認知結構，要把數(shù)、形結合起來作直觀判斷，要以數(shù)學知識及方法的系統(tǒng)化結構為基礎作整體思維，要對數(shù)、式、形的結構和關系進行深刻洞察，縱橫聯(lián)系，大膽嘗試、假設、特殊化，體現(xiàn)為解題過程簡捷、迅速.

三、“隱而不發(fā)”——“難”解的隱性失分

所謂“隱而不發(fā)”，是指考生解答考題時，常因思維定式或思維缺乏嚴謹性，忽視數(shù)學試題存在隱含條件（隱含條件是一種在題目中未明確表達出來而又客觀存在的條件，是命題者隱藏設計在試題中、不太容易發(fā)現(xiàn)的條件，在數(shù)學試題中具有一定的迷惑性），雖然解題過程可能完美無缺，但往往會產(chǎn)生“條件不足”的感覺而導致束手無策，解題難以解答下去，導致“隱而不發(fā)”——“難”解的隱性失分后果.

例3（2019年江蘇高考第14題）設f(x)，g(x)是定義在R上的兩個周期函數(shù)，f(x)的周期為 4，g(x)的周期為2，且f(x)是奇函數(shù) .當x∈(0，2]時其中k＞0.若在區(qū)間（0，9]上，關于x的方程f(x)=g(x)有8個不同的實數(shù)根，則k的取值范圍是_______.

【解析】本題考點為參數(shù)的取值范圍，側重函數(shù)方程的多個實根，如果不借助“數(shù)形結合”思想解題，難度較大.不少考生不能利用函數(shù)圖象交點與周期性平移圖象的“兩個”隱念條件，找出兩個函數(shù)圖象相切或相交的臨界交點個數(shù)情況（無法確定參數(shù)的取值范圍），結果導致“隱而不發(fā)”——“難”解的隱性失分誤區(qū).同時，如果忽視函數(shù)定義域空心問題的隱念條件，解題就會出現(xiàn)“一失足成千古恨”錯解的懊惱.

解題思維簡析如下：

又f(x)為奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，其周期為4，如圖5為函數(shù)f(x)與g(x)的圖象，要使f(x)=g(x)在（0，9]上有8個實根，只需二者圖象有8個交點即可.

圖5

【教學對策】隱含條件的挖掘能有效檢驗學生分析問題、解決問題的能力，高考試題中隱含條件可能隱藏在幾何圖形中（如試題中的字母、變量或關系式所隱含的幾何圖形的特征和位置關系），也可能隱藏在數(shù)學概念定義中（如試題所涉及的基本概念所屬對象的性質，適合的數(shù)學模型或公式、定理、法則等），還可能隱藏在已知條件的相互聯(lián)系中（如試題題設中的字母、變量或關系式所隱含的制約條件和取值范圍）.因此，在平時數(shù)學解題教學中，要引導學生善于從數(shù)學概念之中，從公式的使用條件中，從變量的取值范圍中，從題目的結構特征中，從題設條件的相互制約中，從題設的不變因素中，從式子的特殊結構中，從數(shù)形結合中挖掘隱含條件[3]，找到解題突破關鍵，發(fā)現(xiàn)解題契機，找到解題所缺的元素，從而使問題迎刃而解.

四、“對而不全”——“漏”解的隱性失分

所謂“對而不全”，是指考生解答考題時，面對有些數(shù)學試題題設或結論多種可能的情形，常因缺乏分類意識或思維的片面性，沒有充分運用“化整為零”“積零為整”的思想與歸類整理的方法，解答時只解出其中一種情形，而忽視了其他可能的情況，導致“對而不全”，造成“漏”解的隱性失分后果.

例4（2019年江蘇高考第18題）如圖6，一個湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側有一條直線型公路l，湖上有橋AB（AB是圓O的直徑）．規(guī)劃在公路l上選兩個點P，Q，并修建兩段直線型道路PB，QA．規(guī)劃要求：線段PB、QA上的所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑．已知點A，B到直線l的距離分別為AC和BD（C，D為垂足），測得AB=10，AC=6，BD=12（單位：百米）．

圖6

（1）若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長；

（2）在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個點選在D處？并說明理由；

（3）在規(guī)劃要求下，若道路PB和QA的長度均為d（單位：百米）.求當d最小時，P，Q兩點間的距離．

【解析】本題主要考查直觀想象和數(shù)學建模及運用數(shù)學知識分析和解決實際問題的能力.第（2）（3）題均需要分類討論求解.不少考生缺乏分類意識，解答時分類不完全，導致“對而不全”，造成“漏”解的隱性失分后果.

解題思維簡析如下（限于篇幅，解題過程略）：

（1）建立如圖7所示空間直角坐標系，分別確定點P和點B的坐標，然后利用兩點之間距離公式可得道路PB的長；PB=15.

圖7

（2）分類討論P和Q中能否有一個點選在D處即可.

參考答案：P和Q均不能選在D處.

（3）先討論點P的位置，然后再討論點Q的位置即可確定當d最小時，P，Q兩點間的距離

【教學對策】分類討論是一種重要的數(shù)學邏輯方法，也是高考數(shù)學的一種解題思想.分類討論是歷年數(shù)學高考命題的重點與熱點，而且也是高考的一個難點.平時教學要加強分類討論的解題思想訓練，培養(yǎng)學生思維的嚴謹性和周密性，以及認識問題的全面性和深刻性.一是堅持分類討論的“三原則”：分類的“全面性”（全域要確定，分類要“既不重復，也不遺漏”）、分類的“標準性”（在同一次分類中只能按所確定的一個標準進行）、分類的“逐級性”（對多級討論，應逐級進行，不能越級）.二是熟習分類討論的常見情形.由概念引起的分類討論；由運算要求引起的分類討論；由性質、定理、公式引起的分類討論；由圖形類型、位置引起的分類討論；由參數(shù)變化引起的分類討論[4].三是明確分類討論的步驟.掌握分類標準，進行合理分類，做到不重不漏；逐類討論，獲得階段性結果；歸納總結，得出結論.四是分類討論的關注點.直接回避（如運用反證法、求補法、消參法等有時可以避開煩瑣討論）；按主元分類的結果應求并集；按參數(shù)分類的結果分類討論 .