☉江蘇省儀征中學(xué) 張順軍

求異面直線的距離一直是立體幾何教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn).在以往的教學(xué)中，往往只注重立體幾何本身的方法，而忽視了代數(shù)在解決此類問題中的作用，其結(jié)果必然導(dǎo)致學(xué)生思維狹窄，思路單一，無法把握“異面直線的距離”本質(zhì).為了解決這個(gè)問題，筆者上了一堂“異面直線距離的代數(shù)求法”探究課，摘錄如下，供大家參考.

一、給出問題——探究幾何通法

教師先提問學(xué)生：一個(gè)正方體的12條棱中有多少對(duì)異面直線，每對(duì)異面直線的距離是多少？然后給出下面例題，要求學(xué)生探究解法.

例1如圖1，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，求對(duì)角線A1B與B1D1兩異面直線的距離.

本例極其普通，數(shù)見不鮮.從立體幾何方法的角度去探究并不難.筆者要求學(xué)生分組探討，5分鐘后，他們找到了兩種基本的解法.

思路1（平面射影距離法）：設(shè)O、O1分別為面ABCD和面A1B1C1D1的中心，則A1B與B1D1兩異面直線的距離等于B1D1與面A1OB的距離，也等于O1到面A1OB的距離，經(jīng)過推證O1到面A1OB的距離為Rt△OA1O1的斜邊上的高，然后求這條高.

思路2（利用轉(zhuǎn)化思想）：將兩條異面直線的距離轉(zhuǎn)化為兩個(gè)平面之間的距離.因?yàn)锳1B位于平面A1BD內(nèi)，而B1D1位于平面CB1D1內(nèi)，而這兩個(gè)平面都與對(duì)角線AC1垂直，且把這條對(duì)角線三等分，不難計(jì)算，因而平面A1BD與平面CB1D1的距離為，這個(gè)距離也就是對(duì)角線A1B與B1D1兩異面直線間的距離

圖1

二、變換圖式——探究代數(shù)新法

數(shù)學(xué)所研究的往往是最本質(zhì)的東西.筆者把例1的圖形簡(jiǎn)化，便得到了下面的例2.

例2如圖2所示，把一張由正方形ABCD和正方形ABEF組成的紙片折疊成一個(gè)直二面角，AB=1，你能求異面直線AC和BF的距離嗎？

學(xué)生眼尖，一眼就看出這張圖與圖1的關(guān)系，于是建議補(bǔ)形，回到例1中不就解決了嗎？筆者說，好馬不吃回頭草，能否想想用別的方法呢？方法總比困難多.學(xué)生思維頃刻陷入了困境，教室內(nèi)鴉雀無聲.于是，筆者出示例3：

例3如圖3所示，接例2，P在線段BF上，PH⊥AC，垂足為這時(shí)線段PH的長(zhǎng)能用x表示嗎？能求出線段PH的長(zhǎng)的最小值嗎？

圖2

圖3

由于給學(xué)生鋪設(shè)了臺(tái)階，學(xué)生回答此例并不困難，他們先過P作PG⊥AB，垂足為G，并連接GH，并證明了△PGB，△GHA，△PGH都是直角三角形.于是在Rt△PGH中很快得出如下結(jié)論2），故

再利用二次函數(shù)的最值方法來求這個(gè)立體幾何最值問題就不難了，他們很快得到，當(dāng)時(shí)，PH的最小值為的最終結(jié)果.

筆者追問：為什么例2的計(jì)算結(jié)果與例1相同.難道例2計(jì)算的就是兩條異面直線間的距離嗎？學(xué)生會(huì)心一笑，他們參照兩條異面直線距離的定義，參透了其中的奧秘和問題的本質(zhì)，同時(shí)也感受到了幾何問題代數(shù)化的神奇.

三、再變圖式——辨別是非真假

學(xué)生解完了一類題，往往會(huì)造成一定的思維定式.為了及時(shí)消除這種思維定式，教師又提出了下列問題：

圖4

例4如圖4所示，接例3，M是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，N是線段BF上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足CM=，這時(shí)，你能用字母a來表示線段MN的長(zhǎng)嗎？如何求出它的最小值？這個(gè)最小值就是異面直線AC、BF之間的距離嗎？

對(duì)于本例，筆者要求學(xué)生獨(dú)立完成，不可交流.巡視時(shí)筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生有多種解法，由于受篇幅所限，這里只展示一種既簡(jiǎn)潔又明了的解法：

把原圖視為由矩形CDEF（CD=1，DA=AF=CB=BE=1）沿AB把它折成直二面角（圖5（1）），設(shè)MN交AB于P，根據(jù)題設(shè)有，折成直二面角后的平面角是∠MPN（圖5（2））.

圖5

那么，最小值就是異面直線AC、BF之間的距離嗎？有些學(xué)生順口而出：是的，但轉(zhuǎn)念一想不對(duì)，上面兩個(gè)例子算出的結(jié)果是，而這里是，怎么會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)數(shù)值呢？于是他們恍然大悟，本例中的兩點(diǎn)M、N雖然也是動(dòng)點(diǎn)，但他們互相制約，因而不是異面直線間的距離，那究竟該如何證明它不是異面直線的公垂線呢？這時(shí)非要?jiǎng)佑梅醋C法不可了.

接下來筆者引導(dǎo)學(xué)生用反證法加以證明，并提醒學(xué)生解題時(shí)一定要“具體問題具體分析”.

四、學(xué)生改題——盡顯個(gè)人才華

教師：剛才我們從例1出發(fā)引出了一串問題，探究了兩條異面直線距離的解法，那么，你能圍繞“兩條異面直線距離”這個(gè)主題，把例4改編成新的題目嗎？允許互相探討.

數(shù)分鐘后，請(qǐng)兩位學(xué)生上講臺(tái)交流.

生1：把條件“點(diǎn)M是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)”與“CM=BN=a（0＜”分別改成“AM=CM”與”（如圖6）.

圖6

要求的結(jié)論不變，還是用x的表達(dá)式f（x）表示線段MN的長(zhǎng)度，并求出它的最小值，并考察這個(gè)最小值是否是異面直線AC、BF之間的距離.

解：（1）在平面ABCD內(nèi)作MP⊥AB，垂足為P，連接PN，由題意不難得出MP⊥平面ABEF，所以MP⊥PN.因?yàn)镸是AC的中點(diǎn)，所以

在△PBN中，∠PBN=45°，由余弦定理得：

容易推出，MN與AC并不垂直，因而這個(gè)最小值不是異面直線AC、BF之間的距離.

我把要求解答的問題變?yōu)椤坝脁，y表示線段MN的長(zhǎng)度，并求其最小值，判斷這個(gè)最小值否是異面直線AC、BF之間的距離.”

解：（1）在平面ABCD內(nèi)作MP⊥AB，垂足為P，連接PN，不難得出MP⊥平面ABEF，故有MP⊥PN.由于CM=x，所以，所以

在△PBN中，∠PBN=45°，由余弦定理得：

由于M，N相互獨(dú)立，且M∈AC，N∈BF，所以MN的這個(gè)最小值就是異面直線AC、BF之間的距離.

教師點(diǎn)評(píng)：兩位同學(xué)改題都很成功，解答也十分完整.兩種不同改法，得到兩個(gè)不同的結(jié)論，讓大家再次看清了兩條異面直線距離的“真面目”，同時(shí)也再次感受到了代數(shù)知識(shí)與幾何知識(shí)“聯(lián)合作戰(zhàn)”的威力，請(qǐng)大家為這兩位同學(xué)的精彩發(fā)言鼓掌（學(xué)生鼓掌雷動(dòng)）.

至此，學(xué)生對(duì)兩條異面直線距離的代數(shù)求法有了一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)，同時(shí)也對(duì)“異面直線的距離”這個(gè)概念有了更深層次的理解.