黎陽(yáng)

[摘 要]圓是小學(xué)階段重要的平面曲線圖形，蘇教版和人教版教科書(shū)關(guān)于圓的內(nèi)容的編排，都突出了數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系性、滲透轉(zhuǎn)化、極限等基本數(shù)學(xué)思想、注重動(dòng)手操作學(xué)習(xí)方式的引導(dǎo)以及展現(xiàn)顯性的數(shù)學(xué)文化等，但在畫(huà)圓方法的多樣性呈現(xiàn)、圓的面積公式推導(dǎo)方法、與正方形等圖形的組合研究程度、周長(zhǎng)和面積計(jì)算結(jié)果的呈現(xiàn)形式以及規(guī)律性?xún)?nèi)容探索的深度等方面不盡相同。

[關(guān)鍵詞]蘇教版;人教版;教科書(shū);圓;比較

[中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2019）26-0003-03

圓是小學(xué)生認(rèn)識(shí)的第一個(gè)也是唯一一個(gè)平面曲線圖形，圓是平面圖形的重要組成部分，與平面直線圖形有著非常緊密的聯(lián)系?！皥A”這一部分內(nèi)容是學(xué)生學(xué)習(xí)圓柱、圓錐的重要基礎(chǔ)，也是很多教師執(zhí)教公開(kāi)課時(shí)喜歡選擇的內(nèi)容之一，因此，研究圓的相關(guān)內(nèi)容有著非常重要的意義。

一、蘇教版和人教版教科書(shū)中圓的相關(guān)內(nèi)容的編排情況

蘇教版和人教版教科書(shū)中關(guān)于圓的相關(guān)內(nèi)容都是安排在第二學(xué)段，具體內(nèi)容編排如下：

二、蘇教版和人教版教科書(shū)中圓的相關(guān)內(nèi)容編排的共同特點(diǎn)

1.突出數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系性

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)內(nèi)容的選擇要貼近學(xué)生的生活實(shí)際，在總目標(biāo)中也明確提出通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生要能體會(huì)數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

對(duì)于“圓的認(rèn)識(shí)”，兩個(gè)版本教科書(shū)都是從現(xiàn)實(shí)生活中包含有圓的物體引入，讓學(xué)生感受到圓在生活中的廣泛存在性。如蘇教版教科書(shū)從圓形鐘面、自行車(chē)圈、橙子的橫截面，以及奧運(yùn)五環(huán)等物體或圖形中引入圓，喚起學(xué)生對(duì)圓的認(rèn)知;人教版教科書(shū)從水滴激起的漣漪、摩天輪、天壇和地壇這幾種具有代表性的自然現(xiàn)象、游樂(lè)項(xiàng)目和著名建筑中引出圓，讓學(xué)生感受到在生活中到處可以看到圓。

對(duì)于“圓的周長(zhǎng)”，蘇教版教科書(shū)分別安排了已知兒童游戲的鐵環(huán)、樹(shù)干的周長(zhǎng)，求半徑、直徑的問(wèn)題，以及知道圓形花圃的直徑求周長(zhǎng)的實(shí)際問(wèn)題;人教版教科書(shū)也充分聯(lián)系生活實(shí)際讓學(xué)生去解決實(shí)際問(wèn)題，比如待學(xué)生推導(dǎo)總結(jié)出圓的周長(zhǎng)計(jì)算公式后，讓他們解決和自行車(chē)相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題：給出自行車(chē)的半徑，求出自行車(chē)輪子轉(zhuǎn)1圈，大約可以走多遠(yuǎn)，以及學(xué)校離家1 km，騎車(chē)從家到學(xué)校自行車(chē)輪子大約轉(zhuǎn)幾圈，而后在練習(xí)中讓學(xué)生求出古代建筑中的大紅圓柱的直徑，圍一個(gè)圓形牛欄需要多少鐵絲，以及一只掛鐘的分針尖端所走過(guò)的路程，等等實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系。

對(duì)于“圓的面積”，蘇教版教科書(shū)編排了求圓形草墊與樹(shù)干的橫截面、光盤(pán)的面積等實(shí)際問(wèn)題;人教版教科書(shū)分別安排了求圓形草坪、光盤(pán)、環(huán)島（占地）的面積等。兩個(gè)版本教科書(shū)都有意讓學(xué)生體會(huì)圓的面積在生活中的廣泛應(yīng)用。

2.滲透轉(zhuǎn)化、極限等基本數(shù)學(xué)思想

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在課程目標(biāo)的總目標(biāo)中明確指出：學(xué)生通過(guò)義務(wù)教育的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，能夠獲得必需的數(shù)學(xué)基本思想。

（1）滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想

轉(zhuǎn)化是一種基本的數(shù)學(xué)思想，是指運(yùn)用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，或者把未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題的一種思想，這種思想對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題有著非常重要的作用。例如，在圓的面積計(jì)算公式推導(dǎo)過(guò)程中，兩個(gè)版本教科書(shū)都是呈現(xiàn)把圓等分為若干扇形后剪開(kāi)，用這些近似于等腰三角形的扇形小紙片拼成一個(gè)近似的平行四邊形，并且指出“分的份數(shù)越多，每一份就會(huì)越小，拼成的圖形就會(huì)越近似于一個(gè)長(zhǎng)方形”，再找出近似長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬與圓的半徑之間的關(guān)系，進(jìn)而推導(dǎo)出圓的面積計(jì)算公式。這種轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，有兩個(gè)方面的指向，一是指向于圖形形狀的轉(zhuǎn)化，把平面曲面圖形轉(zhuǎn)化為平面直線圖形，溝通平面曲線圖形與平面直線圖形之間的聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生的空間觀念;二是運(yùn)用之前的多邊形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)方法，把舊有的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行遷移運(yùn)用，提高學(xué)生應(yīng)用知識(shí)的能力。

（2）滲透極限的數(shù)學(xué)思想

極限思想是指用極限概念分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想。平面曲線圖形與平面直線圖形在本質(zhì)上是有區(qū)別的，但是運(yùn)用極限思想，可以把有本質(zhì)區(qū)別的兩種圖形進(jìn)行轉(zhuǎn)化，同時(shí)可以把精確和近似這一對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系的兩個(gè)結(jié)果進(jìn)行相應(yīng)的轉(zhuǎn)化。在圓的面積公式推導(dǎo)過(guò)程中，把圓等分且隨著等分的份數(shù)越多，每一小份就越近似于等腰三角形，用這樣的若干個(gè)近似等腰三角形拼成的圖形就越接近長(zhǎng)方形，這樣，兩個(gè)版本教科書(shū)都在把曲線圖形轉(zhuǎn)化成平面直線圖形的過(guò)程中滲透了極限思想。同時(shí)，兩個(gè)版本教科書(shū)中都有關(guān)于我國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽采用的“割圓術(shù)”這一數(shù)學(xué)史料的介紹，而劉徽的“割圓術(shù)”就是從圓的內(nèi)接多邊形算起，逐漸把邊數(shù)加倍，隨著邊數(shù)的逐漸增加，無(wú)限次后，多邊形就 “變成”了圓，這就是極限思想。

3.注重學(xué)生動(dòng)手操作學(xué)習(xí)方式的引導(dǎo)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出，動(dòng)手操作是學(xué)生有效的學(xué)習(xí)方式之一，“圖形與幾何”內(nèi)容的學(xué)習(xí)更加需要?jiǎng)邮植僮?。兩個(gè)版本教科書(shū)在畫(huà)圓、圓的周長(zhǎng)與面積等內(nèi)容上都凸顯了動(dòng)手操作的學(xué)習(xí)方式。

（1）通過(guò)動(dòng)手操作認(rèn)識(shí)、理解圓的相關(guān)概念。圓的各部分名稱(chēng)有圓心、半徑、直徑，兩個(gè)版本教科書(shū)都編排了讓學(xué)生先在紙上畫(huà)圓，再把圓剪下來(lái)，而后通過(guò)折一折、畫(huà)一畫(huà)的動(dòng)手操作實(shí)踐活動(dòng)，認(rèn)識(shí)、理解圓的半徑、直徑和圓心的概念，理解同一圓內(nèi)半徑和直徑之間的長(zhǎng)度關(guān)系。在動(dòng)手折的過(guò)程中理解圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，且對(duì)稱(chēng)軸就是折痕，也就是直徑所在的直線。在練習(xí)設(shè)置方面，兩個(gè)版本教科書(shū)都編排了讓學(xué)生用直尺測(cè)量沒(méi)有圓心的圓的周長(zhǎng)，這種實(shí)際測(cè)量技能在生活中有著實(shí)際的應(yīng)用，這是學(xué)生永遠(yuǎn)不會(huì)忘記的操作技能。

（2）通過(guò)動(dòng)手操作尋找周長(zhǎng)和直徑的倍比關(guān)系。數(shù)學(xué)教學(xué)注重學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力的培養(yǎng)，在平面直線圖形的周長(zhǎng)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生很容易理解多邊形的周長(zhǎng)與多邊形的邊之間的關(guān)系，而圓的周長(zhǎng)也與它的各部分要素有關(guān)系。兩個(gè)版本教科書(shū)通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生猜想圓的周長(zhǎng)和直徑之間有規(guī)律，而后分別呈現(xiàn)應(yīng)用繩測(cè)法、滾動(dòng)測(cè)法等測(cè)量圓的周長(zhǎng)的動(dòng)手操作活動(dòng)，之后再帶領(lǐng)學(xué)生跳出這個(gè)思維框框，繼而發(fā)現(xiàn)圓的周長(zhǎng)和直徑之間的穩(wěn)固關(guān)系。

（3）通過(guò)動(dòng)手操作積累等積變形的經(jīng)驗(yàn)。兩個(gè)版本教科書(shū)都編排了讓學(xué)生把一張圓形紙片若干等分后拼成一個(gè)近似長(zhǎng)方形的內(nèi)容，蘇教版教科書(shū)為了進(jìn)一步讓學(xué)生好操作、真操作，在附頁(yè)117頁(yè)專(zhuān)門(mén)給學(xué)生提供了可操作的等分好的學(xué)具——圓形紙片，便于學(xué)生剪下來(lái)動(dòng)手操作。兩個(gè)版本教科書(shū)引導(dǎo)學(xué)生在動(dòng)手操作的過(guò)程中推導(dǎo)出圓的面積計(jì)算公式，其實(shí)，更為重要的是為學(xué)生積累等積變形的操作經(jīng)驗(yàn)，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)圓柱的體積計(jì)算公式的推導(dǎo)積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。這種經(jīng)驗(yàn)的獲得是非常寶貴的，學(xué)生可能會(huì)忘記圓的面積是怎么計(jì)算的，但是不會(huì)忘記圓的面積公式的推導(dǎo)過(guò)程，這就是學(xué)生離開(kāi)學(xué)校后還能留下來(lái)的東西。

4.展現(xiàn)顯性的數(shù)學(xué)文化

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在教材編寫(xiě)建議中明確指出：數(shù)學(xué)文化作為教材的組成部分，應(yīng)滲透在整套教材中。為此，教材可以適時(shí)地介紹數(shù)學(xué)知識(shí)的背景，包括數(shù)學(xué)在自然與社會(huì)中的應(yīng)用以及數(shù)學(xué)發(fā)展史，幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類(lèi)文明發(fā)展中的作用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使學(xué)生能夠感受數(shù)學(xué)家治學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)，欣賞數(shù)學(xué)的美。兩個(gè)版本教科書(shū)在圓的相關(guān)內(nèi)容中編排了顯性的數(shù)學(xué)文化的材料，供學(xué)生閱讀、學(xué)習(xí)和品鑒。蘇教版教科書(shū)在圓的內(nèi)容中共編排了兩個(gè)“你知道嗎”，分別介紹生活中的圓和圓周率的研究歷史，讓學(xué)生了解自然現(xiàn)象、人類(lèi)的勞動(dòng)成果和運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象中存在的圓，深刻體會(huì)圓與生活的緊密聯(lián)系，同時(shí)感受到數(shù)學(xué)家孜孜不倦的研究精神，激發(fā)對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛(ài)和研究的熱情。人教版教科書(shū)編排了三個(gè)“你知道嗎”，分別介紹了《周髀算經(jīng)》和《九章算術(shù)》兩大數(shù)學(xué)著作和我國(guó)著名數(shù)學(xué)家劉徽、祖沖之的偉大成就，重點(diǎn)解釋了圓在生活中應(yīng)用的原理，讓學(xué)生在顯性的數(shù)學(xué)文化中對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展過(guò)程有所了解，體會(huì)數(shù)學(xué)在人類(lèi)文明發(fā)展中的作用和價(jià)值。

三、蘇教版和人教版教科書(shū)中圓的相關(guān)內(nèi)容編排的不同點(diǎn)

1.畫(huà)圓方法的多樣性呈現(xiàn)略有差異

畫(huà)圓是學(xué)生在學(xué)習(xí)圓的內(nèi)容中應(yīng)具備的一項(xiàng)操作技能——能根據(jù)不同的需要畫(huà)任意大小的圓和指定大小的圓。學(xué)生在之前的生活學(xué)習(xí)中多多少少有過(guò)畫(huà)圓的經(jīng)歷和經(jīng)驗(yàn)，所以?xún)蓚€(gè)版本教科書(shū)都呈現(xiàn)了借助圓形物體進(jìn)行畫(huà)圓的方法，比如蘇教版教科書(shū)呈現(xiàn)了借助圓形紙片畫(huà)圓的操作圖，人教版教科書(shū)呈現(xiàn)了借助圓形杯蓋和三角尺上的圓畫(huà)圓的場(chǎng)景;兩個(gè)版本教科書(shū)都呈現(xiàn)了用圓規(guī)畫(huà)指定大小的圓的操作圖，但是，蘇教版教科書(shū)還呈現(xiàn)了一幅借助圖釘和細(xì)線畫(huà)圓的操作場(chǎng)景圖，這幅圖蘊(yùn)含的信息量非常大：一是“圓乃一中同長(zhǎng)”的直觀體現(xiàn)，動(dòng)態(tài)展示了圓是平面中到一個(gè)定點(diǎn)距離為定值的所有點(diǎn)的集合的概念，尤其是蘇教版教科書(shū)在第87頁(yè)的“你知道嗎”的滑冰運(yùn)動(dòng)中呈現(xiàn)的圓更是典型的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的集合;二是圓規(guī)畫(huà)法的靈活化和可操作性，因?yàn)檫@幅圖呈現(xiàn)的是實(shí)際操作性更強(qiáng)的無(wú)圓規(guī)的簡(jiǎn)易畫(huà)圓法，這種畫(huà)法解決了如在操場(chǎng)上要畫(huà)一個(gè)大圓的實(shí)際問(wèn)題。因此，在畫(huà)圓方面，蘇教版教科書(shū)呈現(xiàn)的信息量相比人教版教科書(shū)，更加豐富，更加貼近學(xué)生的生活，更有助于學(xué)生解決生活中的畫(huà)圓問(wèn)題。在學(xué)生的畫(huà)圓技能初步形成之后，兩個(gè)版本教科書(shū)都讓學(xué)生運(yùn)用圓規(guī)和直尺畫(huà)出美麗的圖案，如蘇教版教科書(shū)在第91頁(yè)專(zhuān)門(mén)編排了一個(gè)“動(dòng)手做”欄目，讓學(xué)生按照給出的步驟畫(huà)一畫(huà)、涂一涂;而人教版教科書(shū)則用了一個(gè)頁(yè)面的內(nèi)容繪學(xué)生展現(xiàn)更為詳細(xì)的步驟，讓學(xué)生學(xué)著畫(huà)出美麗的圖形，內(nèi)容的編排和操作步驟比蘇教版教科書(shū)更為細(xì)致，便于學(xué)生掌握畫(huà)圖步驟。

2.圓的面積計(jì)算公式推導(dǎo)方法有差異

蘇教版教科書(shū)和人教版教科書(shū)在圓的面積計(jì)算方面編排的內(nèi)容還是有明顯差異的。學(xué)生在學(xué)習(xí)平行四邊形、三角形等多邊形面積計(jì)算公式時(shí)都是先采用數(shù)方格的方法，而后采用轉(zhuǎn)化法推導(dǎo)出多邊形面積的計(jì)算公式。蘇教版教科書(shū)沿用了這樣的編排方式，先采用數(shù)方格法數(shù)出圓的面積大約是圓的半徑平方的3倍，這樣和圓的周長(zhǎng)計(jì)算公式的探究方法也保持了一致，而后在此基礎(chǔ)上再引導(dǎo)學(xué)生采用等積變形的轉(zhuǎn)化方法，總結(jié)出圓的面積計(jì)算公式。而人教版教科書(shū)只呈現(xiàn)等積變形這一種方法，在這個(gè)方面上，蘇教版教科書(shū)的內(nèi)容前后銜接性更強(qiáng)一些。

3.和正方形等圖形的組合研究程度不同

兩個(gè)版本教科書(shū)都編排了圓和正方形組合的相關(guān)內(nèi)容，但是研究的程度不同，蘇教版教科書(shū)編排了一些求圓和正方形等組合圖形面積的習(xí)題，沒(méi)有對(duì)其內(nèi)在的關(guān)系進(jìn)行探究;人教版教科書(shū)專(zhuān)門(mén)設(shè)計(jì)了一個(gè)研究圓與外切正方形、內(nèi)接正方形之間的面積關(guān)系的例題，教科書(shū)從中國(guó)建筑中的圓和正方形實(shí)物引入，提出求兩個(gè)圖形之間部分的面積，而后引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“閱讀與理解、分析與解答、回顧與反思”的全過(guò)程，從而理解圓與外切正方形、內(nèi)接正方形相關(guān)的面積計(jì)算方法。對(duì)于人教版教科書(shū)呈現(xiàn)的這部分內(nèi)容，還可以進(jìn)一步延伸：發(fā)現(xiàn)圓與外切正方形、內(nèi)接正方形面積之間的關(guān)系。如人教版教科書(shū)在“回顧與反思”這個(gè)環(huán)節(jié)中已經(jīng)采用字母代入法分別表示圓的面積和外切正方形、內(nèi)接正方形的面積，然后用代數(shù)式表示這兩個(gè)圖形的結(jié)果，與其這樣，不如讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓與外切正方形、內(nèi)接正方形面積之間固定的倍比關(guān)系，介紹“如果圓的面積用πr?表示，那么外切正方形的面積就可以用4r?表示，內(nèi)接正方形的面積就可以用2r?表示，這樣外切正方形、圓、內(nèi)接正方形的面積比就是4[∶]π[∶]2”;蘇教版教科書(shū)則可以將這些內(nèi)容與教科書(shū)第96頁(yè)的內(nèi)容有效聯(lián)系起來(lái)，促進(jìn)學(xué)生理解它們之間的面積關(guān)系。

4.周長(zhǎng)和面積計(jì)算結(jié)果的呈現(xiàn)形式上略有不同

對(duì)于圓的周長(zhǎng)和面積，兩個(gè)版本教科書(shū)都采用π≈3.14進(jìn)行計(jì)算，教科書(shū)在例題和練習(xí)題中給出的數(shù)據(jù)都不是太大，但是計(jì)算能力弱的學(xué)生還是容易出錯(cuò)。蘇教版教科書(shū)考慮到學(xué)生在計(jì)算方面的實(shí)際情況，除了給出范例，讓學(xué)生用π≈3.14計(jì)算相關(guān)圓的周長(zhǎng)和面積，在計(jì)算圓的面積過(guò)程中還給出了保留π值的方法，這樣就降低了學(xué)生的計(jì)算難度。

5.規(guī)律性?xún)?nèi)容探索的深度不同

兩個(gè)版本教科書(shū)都有探究圓和直線圖形長(zhǎng)度關(guān)系的內(nèi)容，如蘇教版教科書(shū)在第91頁(yè)讓學(xué)生根據(jù)組合圖形說(shuō)出圓的直徑的長(zhǎng)度。相比而言，人教版教科書(shū)編排的內(nèi)容又更復(fù)雜一些。比如，人教版教科書(shū)在第66頁(yè)有兩個(gè)內(nèi)容，一是第10題的圖形的周長(zhǎng)計(jì)算，讓學(xué)生通過(guò)轉(zhuǎn)化，發(fā)現(xiàn)這個(gè)圖形的周長(zhǎng)相當(dāng)于半徑是5厘米的圓的周長(zhǎng);二是讓學(xué)生探究捆圓柱體的繩子的長(zhǎng)度，這個(gè)過(guò)程不但蘊(yùn)含了從簡(jiǎn)單問(wèn)題入手解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的策略，也讓學(xué)生在規(guī)律探尋中發(fā)現(xiàn)圓和直線圖形之間的規(guī)律，這種探究雖說(shuō)是有難度的，但也是有價(jià)值的。除此之外，人教版教科書(shū)還編排了“確定起跑線”這一綜合實(shí)踐活動(dòng)，目的是讓學(xué)生探究實(shí)際生活中的有關(guān)圓的周長(zhǎng)的實(shí)際計(jì)算和應(yīng)用，為以后的學(xué)習(xí)做好鋪墊。綜合而言，人教版教科書(shū)中探索的內(nèi)容更廣泛、更全面，更貼近學(xué)生的生活實(shí)際。

[本文系江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃重點(diǎn)課題《蘇教版與人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)的比較研究》（課題編號(hào)：B-b/2015/02/147）研究成果之一。]

（責(zé)編 金 鈴）