錢呈

[摘? ?要]數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)情感態(tài)度的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中逐步形成的.概念教學(xué)是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要載體.

[關(guān)鍵詞]核心素養(yǎng); 概念教學(xué);銳角三角比;意義

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）23-0013-03

當(dāng)前，數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)已從數(shù)學(xué)知識的傳授轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成.數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的反映，是構(gòu)建數(shù)學(xué)理論體系的基石.在概念教學(xué)中，教師常會出現(xiàn)“重知識，輕過程”的現(xiàn)象，將概念看成定論，重灌輸輕引導(dǎo).由于缺乏過程性體驗(yàn)，學(xué)生對概念的本質(zhì)缺乏理解，造成學(xué)生思維能力薄弱，所學(xué)知識無法靈活遷移，概念教學(xué)也缺少了應(yīng)有的教育價值.數(shù)學(xué)概念教學(xué)的意義不僅在于讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念本身，更重要的是讓學(xué)生在獲得概念本質(zhì)屬性的過程中，通過觀察、比較、分析、歸納、抽象、概括等數(shù)學(xué)活動，體會蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，優(yōu)化思維品質(zhì)，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.

現(xiàn)筆者以《銳角三角比的意義》的教學(xué)為例，探究如何在概念教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

一、教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課是第一課時，主要讓學(xué)生經(jīng)歷銳角的正切概念的形成過程，掌握正切、余切的定義.本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).在探索發(fā)現(xiàn)直角三角形邊角關(guān)系的過程中，學(xué)生經(jīng)歷“感知——猜測——驗(yàn)證——?dú)w納”的問題探究過程，體會從特殊到一般、從抽象到具象的數(shù)學(xué)思想，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn).在利用相似三角形論證時，發(fā)展學(xué)生的推理能力;在引入三角比的符號表示過程中培養(yǎng)學(xué)生的符號意識;在銳角三角比的實(shí)際應(yīng)用中，讓學(xué)生經(jīng)歷實(shí)際問題數(shù)學(xué)化的過程，培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)學(xué)建?！币庾R.本章的學(xué)習(xí)為后續(xù)高中階段學(xué)習(xí)任意角的三角比、三角函數(shù)打下基礎(chǔ).

二、教學(xué)目標(biāo)和設(shè)計思路

（一）教學(xué)目標(biāo)

1.經(jīng)歷正切概念的形成過程，理解正切和余切的定義，掌握求正切和余切值的方法.

2.經(jīng)歷從實(shí)際問題抽象出數(shù)學(xué)問題的過程，感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.

3.經(jīng)歷“感知——猜測——驗(yàn)證——?dú)w納”的問題探究過程，逐步提高分析問題、解決問題的能力，逐步養(yǎng)成良好的個性思維品質(zhì).

（二）教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：經(jīng)歷銳角的正切概念的形成過程，掌握正切、余切的定義.

教學(xué)難點(diǎn)：正切、余切概念的形成.

（三）教學(xué)設(shè)計思路

三角比的概念來源于實(shí)際測量中的應(yīng)用，教師教學(xué)設(shè)計時利用航海測量問題引入，體現(xiàn)引入三角比概念的必要性，也激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.探究三角形邊角關(guān)系時，以“感知——猜測——驗(yàn)證——?dú)w納”為主線，從特殊直角三角形出發(fā)，探究邊角之間的數(shù)量關(guān)系，引發(fā)學(xué)生對一般直角三角形邊角關(guān)系的猜想，即直角三角形中如果給定一個角的大小，那么它的兩條直角邊的比值是一個確定的數(shù)，引出銳角三角比的概念，從而可知角三角比的定義是合理的.三角比概念的形成過程不僅遵循學(xué)生認(rèn)識事物的規(guī)律，還可以幫助學(xué)生感知從特殊到一般、從抽象到具象的數(shù)學(xué)思想方法和思維策略.

三、教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入概念

如圖1，在港口B的正北方向40千米處有一小島A，一艘船以每小時25千米的速度從港口B出發(fā)沿正東方向行駛.

問題1：48分鐘后，船到達(dá)C處，問此時船與小島A相距多少千米？

問題2：船繼續(xù)向正東方向行駛，到達(dá)D處，測得此時小島A在船的西北方向，問此時船與小島A相距多少千米？

問題3：船繼續(xù)向正東方向行駛，到達(dá)E處，測得此時小島A在船的北偏西55°，問此時船與小島A相距多少千米？

設(shè)計意圖：一是幫助學(xué)生回憶直角三角形的邊角性質(zhì)，鞏固直角三角形中的邊邊關(guān)系和角角關(guān)系;二是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)直角三角形的邊角之間存在一定的聯(lián)系，通過設(shè)疑引出本節(jié)課的研究主題：直角三角形的邊角關(guān)系.

（二）歸納猜想，感知概念

探究一：特殊直角三角形中的邊角關(guān)系

問題1：等腰直角三角形中，45°角的對邊和鄰邊的比值是什么？這個比值是否會隨著三角形大小的變化而變化？為什么？

問題2： 含30°角的直角三角形中，30°角的對邊和鄰邊的比值是什么？這個比值是否會隨著三角形大小的變化而變化？為什么？

圖2

設(shè)計意圖：對特殊情況的觀察思考往往能引發(fā)對一般規(guī)律的探究.從學(xué)生熟悉的特殊直角三角形入手探究，將抽象的問題具體化，為后續(xù)探究一般直角三角形打下基礎(chǔ).

探究二：一般直角三角形中的邊角關(guān)系

問題1：探究1中觀察到的現(xiàn)象是否存在于一般的直角三角形？當(dāng)銳角A不是特殊角，而是任意某個確定的角時，對邊和鄰邊的比值是否也確定？ 如何說明？

如圖3，[Rt△ABC與Rt△ADE]中，[∠C=∠AED=90°]，[∠A=α]，那么[BCAC]與[DEAE]有何關(guān)系？

問題2：如果銳角A變化，它的對邊與鄰邊的比值是否會變化嗎？

如圖4，[Rt△ABC]中，[∠C=90°]，[∠BAC>∠DAC]，那么[BCAC]與[CDAC]有何關(guān)系？

設(shè)計意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷猜想、驗(yàn)證、歸納的過程，學(xué)生自主探究，合作交流，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn).學(xué)生得出結(jié)論后，教師輔以幾何畫板演示，讓學(xué)生觀察數(shù)據(jù)的變化，直觀感受比值的變化情況，體會“變”與“不變”間的辯證統(tǒng)一，滲透函數(shù)思想，為后續(xù)學(xué)習(xí)三角函數(shù)做好鋪墊.

（三）得出定義，明確概念

通過討論發(fā)現(xiàn)，直角三角形中一個銳角的對邊與鄰邊的長度的比值隨著這個銳角的大小的變化而變化，這個比值又隨著銳角大小的確定而確定，兩者間存在著確定的依賴關(guān)系，即[銳角A的對邊銳角A的鄰邊=一個確定的值].

直角三角形中的一個銳角的對邊與鄰邊的比值叫作這個銳角的正切（tangent），銳角A的正切記作tanA，[tanA=銳角A的對邊銳角A的鄰邊=BCAC=ab];直角三角形中的一個銳角的鄰邊與對邊的比值叫作這個銳角的余切（cotangent），銳角A的余切記作cotA.

[cotA=銳角A的鄰邊銳角A的對邊=ACBC=ba].

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生對概念的初步思考結(jié)果進(jìn)行“抽象化”和“形式化”，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言（文字語言、圖形語言、符號語言）給概念下定義，讓概念成為一個穩(wěn)定的對象.

（四）基礎(chǔ)應(yīng)用，鞏固概念

1.如圖6， Rt△MNP中，∠N=90°，

（1）∠P的對邊是 ，∠P的鄰邊是 ;∠M的對邊是，∠M的鄰邊是 .

（2） tanP =，tanM=;cotP=_________，cotM=________.

（3） tanP與cotP有何關(guān)系？

（4）? tanP與cotM有何關(guān)系？

設(shè)計意圖：通過練習(xí)發(fā)現(xiàn)同角的正切與余切之間的關(guān)系，互余的兩個角的正切與余切之間的關(guān)系，通過建立概念間的聯(lián)系，加深學(xué)生對正切和余切概念的理解.

2.如圖7，在Rt△ABC中，∠C= 90°，AC=3，BC=2，求tanA、cotA.

設(shè)計意圖：幫助學(xué)生掌握求正切和余切的方法，規(guī)范幾何書寫.

3.在Rt△ABC中，BC=4，AB=5，求 cotA和cotB.

設(shè)計意圖：進(jìn)一步明確求正切和余切的條件：（1）必須在直角三角形中;（2）已知直角三角形中的任意兩邊長，培養(yǎng)學(xué)生良好的解題習(xí)慣.解決幾何問題時，若題目未給出具體圖形，養(yǎng)成優(yōu)先作圖習(xí)慣;在條件未明確時，注意分類討論，提高思維能力.

（五）歸納小結(jié)，反思提高

問題：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，談?wù)勀愕氖斋@.

設(shè)計意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生歸納小結(jié)本節(jié)課的知識要點(diǎn)、探究方法、數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生對本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容有整體、全面的認(rèn)識，完善學(xué)生頭腦中的概念體系.

四、教學(xué)反思

（一）深入解析概念本質(zhì)，提升概念教學(xué)價值

概念教學(xué)的基本目標(biāo)是讓學(xué)生理解概念，并能利用概念表達(dá)思想和解決問題.要實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，教師必須深入解析概念.對概念的解析應(yīng)包含三個方面：一是解析概念的特征，主要包括概念的內(nèi)涵和外延、概念形成的必要性及合理性、概念不同形式的表征（文字、符號、圖形）、概念的地位和作用、與其他概念間的聯(lián)系等;二是解析概念的教育價值，要揭示概念蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，挖掘在概念形成過程中能夠發(fā)展的數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)觀念以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);三是解析學(xué)生學(xué)習(xí)概念的認(rèn)知起點(diǎn)與可能存在的障礙，分析學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和教學(xué)目標(biāo)間的潛在差異和距離，確定教學(xué)難點(diǎn)及突破難點(diǎn)的方法.

（二）創(chuàng)設(shè)有效問題情境，從“激趣”走向“引思”

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)抽象的產(chǎn)物，對抽象事物的認(rèn)識，需要依賴具體事例的支持，在概念教學(xué)中創(chuàng)設(shè)問題情境具有一定的意義.問題情境的創(chuàng)設(shè)要具有典型性和適應(yīng)性，要能體現(xiàn)概念本質(zhì)屬性的同時，還要符合學(xué)生的認(rèn)知水平，便于學(xué)生理解，要有助于學(xué)生抽象出共性特征，概括出本質(zhì)屬性，形成數(shù)學(xué)概念.問題情境的創(chuàng)設(shè)要具有目的性和層次性.通過創(chuàng)設(shè)有效的情境，幫助學(xué)生回顧舊知，建立新概念與原有認(rèn)知體系間的聯(lián)系.創(chuàng)設(shè)的情境要能體現(xiàn)引入新概念的必要性及實(shí)際意義.

（三）以問題驅(qū)動思維，讓概念自主建構(gòu)

“APOS理論”中提出概念學(xué)習(xí)需要經(jīng)歷“操作”“過程”“對象”“圖式”四個階段.“操作”階段是學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)概念的起點(diǎn)，為概念理解提供數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí);“過程”階段是學(xué)生通過思考、頓悟?qū)ⅰ安僮鳌彪A段的感受內(nèi)化，是對概念的自主建構(gòu).教學(xué)中需要通過提供大量典型例證，讓學(xué)生經(jīng)歷屬性的分析、比較、綜合、歸納、概括活動.有效問題的設(shè)計能引領(lǐng)學(xué)生充分地參與思考，幫助學(xué)生將操作過程中的直觀感受抽象概括，逐步獲得所需要的概念屬性，實(shí)現(xiàn)概念內(nèi)化.問題的設(shè)計要具有啟發(fā)性、探索性和層次性，可以從學(xué)生最熟悉的觀念出發(fā)，讓學(xué)生在好奇心的驅(qū)使下逐步接近概念本質(zhì).

[? 參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ]

[1]? 邵光華，章建躍.數(shù)學(xué)概念的分類、特征及其教學(xué)探討[J] .課程·教材·教法，2009（7）：47-51.

[2]? 石頤園.基于PCK內(nèi)涵解析視角的初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)策略[J].教育理論與實(shí)踐，2017（8）：51-54 .

[3]? 羅增儒.從數(shù)學(xué)知識的傳授到數(shù)學(xué)素養(yǎng)的生成[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016（19）：2-7.

[4]? 蔡金法，徐斌艷. 也論數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)及其構(gòu)建[J].全球教育展望，2016（11）：3-12.

（責(zé)任編輯 黃桂堅）