■河南省太康縣第一高級(jí)中學(xué)

例題已知函數(shù)f(x)=a x3-3x2+1,若f(x)存在兩個(gè)零點(diǎn),則a的值為( )。

A.2或0 B.-2或0

C.0 D.±2或0

考查意圖：本題主要考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想。將函數(shù)零點(diǎn)、方程的解等知識(shí)結(jié)合在一起,考查同學(xué)們的運(yùn)算能力、動(dòng)手作圖能力及觀察能力。

解法1：直接法。

當(dāng)a=0時(shí),f(x)=-3x2+1,恰有兩個(gè)零點(diǎn)。

當(dāng)a≠0時(shí),f'(x)=3a x2-6x,令f'(x)=0,得x=0或

(1)若a＞0,當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),f'(x)＞0;當(dāng)時(shí),f'(x)＜0;當(dāng)x∈時(shí),f'(x)＞0。所以函數(shù)f(x)在(-∞,0)和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,且f(0)=1＞0,故f(x)有1個(gè)小于零的零點(diǎn),只需令,即a2=4,解得a=2。

(2)若a＜0,當(dāng)時(shí),f'(x)＜0;當(dāng)時(shí),f'(x)＞0;當(dāng)x∈(0,和(0,+∞)上單調(diào)遞減,在+∞)時(shí),f'(x)＜0。所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增,且f(0)=1＞0,故f(x)有1個(gè)大于零的零點(diǎn),只需令,即a2=4,解得a=-2。

綜上可知,a=±2或0。

解法2：轉(zhuǎn)化為直線與曲線的交點(diǎn)問題。

由a x3-3x2+1=0可知x≠0,所以,作出的圖像,如圖1所示,轉(zhuǎn)動(dòng)直線y=a x,顯然a=0時(shí)成立。

圖1

當(dāng)a＜0,直線y=a x與左邊的曲線相切時(shí),設(shè)切點(diǎn)為,其中t＜0,則切線方程為又切線過原點(diǎn),則有,解得t=-1或t=1,此時(shí)切線的斜率為-2或2。

綜上可知,a=±2或a=0。

解法3：轉(zhuǎn)化為兩曲線的交點(diǎn)問題。

令f(x)=0,得a x3=3x2-1。

問題轉(zhuǎn)化為g(x)=a x3的圖像與h(x)=3x2-1的圖像存在兩個(gè)交點(diǎn)。

當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)g(x)的圖像與h(x)的圖像存在兩個(gè)的交點(diǎn)。

圖2

當(dāng)a＞0時(shí),如圖2所示,可先求出函數(shù)g(x)=a x3與h(x)=3x2-1的圖像有公切線時(shí)a的值。由g'(x)=h'(x),g(x)=h(x),得a=2。由圖形可知,當(dāng)a=2時(shí),滿足題意。

當(dāng)a＜0時(shí),如圖3所示,可先求出函數(shù)g(x)=a x3與h(x)=3x2-1的圖像有公切線時(shí)a的值。由g'(x)=h'(x),g(x)=h(x),得a=-2。由圖形可知,當(dāng)a=-2時(shí),滿足題意。

綜上可知,a=±2或a=0。

解法4：分離參數(shù)。

易知x≠0,令f(x)=0,則

圖3

可知g(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上單調(diào)遞減,在(-1,0)和(0,1)上單調(diào)遞增,且g(-1)=-2,g(1)=2,畫出函數(shù)g(x)的圖像,如圖4所示,平移直線y=a,結(jié)合圖像,可知a=±2或a=0。

在輸送臂的運(yùn)動(dòng)過程中，可以實(shí)時(shí)觀察到變量的變化情況，對(duì)于發(fā)現(xiàn)問題及時(shí)對(duì)參數(shù)或者函數(shù)進(jìn)行修改，直到合理為止。試驗(yàn)證明，利用ADAMS技術(shù)建立輸送臂的虛擬樣機(jī)，并進(jìn)行運(yùn)動(dòng)仿真，大大提高了生產(chǎn)率，為輸送臂的控制提供了有力依據(jù)。

圖4

解法5：特例法。

取a=2,則f(x)=2x3-3x2+1。由于f(0)=1,f(-1)＜0,從而f(x)在(-∞,0)上存在零點(diǎn),又f(1)=0,所以排除B、C。

取a=-2,則f(x)=-2x3-3x2+1。由于f(0)=1,f(1)＜0,從而f(x)在(0,+∞)上存在零點(diǎn),又f(-1)=0,所以排除A。故選D。

復(fù)習(xí)建議：函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法包括:

(1)直接求零點(diǎn):令f(x)=0,如果能求出解,則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)。

(2)零點(diǎn)存在性定理:利用定理不僅需要函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是連續(xù)不斷的曲線,且f(a)·f(b)＜0,還必須結(jié)合函數(shù)的圖像與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)。

(3)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題再加以解決。

(4)利用圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù):將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差,畫出兩個(gè)函數(shù)的圖像,看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值,就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)。

(5)特殊值法:取選項(xiàng)中的特殊值代入驗(yàn)證,逐個(gè)排除,最終找出正確答案。

1.已知當(dāng)x∈[0,1]時(shí),函數(shù)y=(m x-1)2的圖像與y=x+m的圖像有且只有一個(gè)交點(diǎn),則正實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )。

解析：當(dāng)1)2單調(diào)遞減,且y=(m x-1)2∈[(m-1)2,單調(diào)遞增,且[m,1+m],此時(shí)有且僅有一個(gè)交點(diǎn);

當(dāng)m＞1時(shí)在上單調(diào)遞增,所以要有且僅有一個(gè)交點(diǎn),需(m-1)2≥1+m?m≥3。故選B。

解析：由題意可知,問題等價(jià)于方程x3=b(x≤a)與方程x2=b(x＞a)的根的個(gè)數(shù)和為2。

若兩個(gè)方程各有一個(gè)根,則可知關(guān)于b的不等式組有解,所以a2＜b＜a3,從而a＞1;

若方程x3=b(x≤a)無解,方程x2=b(x＞a)有兩個(gè)根,則可知關(guān)于b的不等式有解,從而 。a＜0

綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,0)∪(1,+∞)。