王興偉

《有趣的多面體》這節(jié)綜合實(shí)踐活動(dòng)主要通過(guò)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生探究簡(jiǎn)單多面體的面、頂點(diǎn)、棱之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)凸多面體“面數(shù)+頂點(diǎn)數(shù)-棱數(shù)=2”這一規(guī)律，感受數(shù)學(xué)的奇妙，培養(yǎng)探究意識(shí)。

聽(tīng)過(guò)好幾節(jié)這樣的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課，通常是讓學(xué)生觀察幾個(gè)多面體，舉幾個(gè)例子后發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后再驗(yàn)證一下得出結(jié)論。聽(tīng)下來(lái)總感覺(jué)到學(xué)生浮于表面，蜻蜓點(diǎn)水，實(shí)驗(yàn)依然是疏離學(xué)生主體的一個(gè)灌輸、僵化、復(fù)制的過(guò)程，如同在走一種機(jī)械的程序，形式化、程序化、碎片化現(xiàn)象普遍，學(xué)生的學(xué)習(xí)依然是外在被實(shí)驗(yàn)的痛苦旅程。

實(shí)驗(yàn)教學(xué)如何讓學(xué)生真正進(jìn)入深度學(xué)習(xí)中，從被動(dòng)實(shí)驗(yàn)走向主動(dòng)參與，從關(guān)注操作活動(dòng)轉(zhuǎn)向關(guān)注數(shù)學(xué)思維的本質(zhì)呢？筆者在《有趣的多面體》設(shè)計(jì)時(shí)，巧用一塊橡皮，從兒童的需求和認(rèn)知出發(fā)，步步深入，讓學(xué)生進(jìn)入一種真學(xué)習(xí)狀態(tài)，取得了良好的效果。

一、實(shí)驗(yàn)問(wèn)題真發(fā)現(xiàn)

【片段1】

師：這里有兩塊橡皮，一塊是長(zhǎng)方體，一塊是正方體，觀察一下，它們有什么共同的特點(diǎn)？

生：都有6個(gè)面，8個(gè)頂點(diǎn)，12條棱。

師：看到這些數(shù)據(jù)，你有問(wèn)題嗎？（學(xué)生面面相覷，想了好一會(huì)兒也沒(méi)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題）

師：那老師來(lái)提一個(gè)問(wèn)題，長(zhǎng)方體和正方體都是六面體，是不是所有的六面體都有8個(gè)頂點(diǎn)、12條棱呢？（學(xué)生有的認(rèn)為可能是的，也有的認(rèn)為不一定）

師：是呀，光憑兩個(gè)六面體不能說(shuō)明問(wèn)題，咱們還要找更多的不同形狀的六面體來(lái)數(shù)一數(shù)。請(qǐng)大家從材料袋中再找?guī)讉€(gè)六面體橡皮，數(shù)一數(shù)它們有幾個(gè)頂點(diǎn)、幾條棱，把數(shù)據(jù)記下來(lái)。（學(xué)生找出幾個(gè)六面體橡皮，獨(dú)立地?cái)?shù)，并記錄在草稿紙上）

師：誰(shuí)愿意展示給大家看看？

生1：我數(shù)的是黃色橡皮（圖1），頂點(diǎn)數(shù)是8，棱數(shù)是12，和長(zhǎng)方體、正方體是一樣的。

師：看來(lái)六面體都是有8個(gè)頂點(diǎn)、12條棱咯。

生2：不是的，我數(shù)的是橙色的橡皮（圖2），有6個(gè)頂點(diǎn)、10條棱，和上面的不一樣。

生3：我數(shù)的是紫色橡皮（圖3），有5個(gè)頂點(diǎn)、9條棱，和上面的也不一樣。

師：學(xué)好數(shù)學(xué)要善于從不同之中尋找相同之處，在這幾組的數(shù)據(jù)中，能找到相同的關(guān)系嗎？

生1：頂點(diǎn)數(shù)加4等于棱數(shù)。

生2：面數(shù)+頂點(diǎn)數(shù)-棱數(shù)=2。

師：面數(shù)+頂點(diǎn)數(shù)-棱數(shù)=2，是這樣嗎？我們一起來(lái)算一算。（學(xué)生計(jì)算，發(fā)現(xiàn)每個(gè)多面體的面數(shù)+頂點(diǎn)數(shù)-2=棱數(shù)）

師：你真了不起，一下子就發(fā)現(xiàn)了三個(gè)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系。學(xué)到這里，你現(xiàn)在有什么新問(wèn)題嗎？

生：是不是所有的六面體都具有這樣的關(guān)系呢？

師：這個(gè)問(wèn)題提得很好，有什么方法來(lái)驗(yàn)證？

生：我們可以搜集更多的數(shù)據(jù)來(lái)驗(yàn)證。

師：材料袋里有各式各樣的六面體橡皮，每組選一個(gè)數(shù)一數(shù)，再算一算，看看是否符合猜想。（學(xué)生迫不及待地打開(kāi)材料袋，獨(dú)自操作驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)3號(hào)、5號(hào)、7號(hào)等多面體都符合猜想）

師：通過(guò)大量的舉例驗(yàn)證，我們發(fā)現(xiàn)在六面體中，面數(shù)+頂點(diǎn)數(shù)-棱數(shù)=2（板書(shū)）。

課始，筆者首先讓學(xué)生觀察長(zhǎng)方體和正方體兩塊橡皮，試探性地提問(wèn)：“看到這一組數(shù)據(jù)你有沒(méi)有想到什么問(wèn)題？”因?yàn)閮H有一組數(shù)據(jù)，學(xué)生很難想到橫向地尋找它們之間的聯(lián)系，所以顯得有些不知所措;接著，教師示范性地提問(wèn)：“老師先來(lái)提一個(gè)問(wèn)題，是不是所有的六面體都是6個(gè)面、8個(gè)頂點(diǎn)和12條棱呢？”引導(dǎo)學(xué)生想到其他不同形狀的六面體，打開(kāi)了思路，明確了方向;然后筆者讓學(xué)生再找?guī)讉€(gè)六面體橡皮，數(shù)一數(shù)頂點(diǎn)和棱，有了第一次的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生通過(guò)觀察，很快發(fā)現(xiàn)了六面體的面數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)和棱數(shù)之間的關(guān)系;最后筆者適時(shí)提問(wèn)：“研究到這里，你們有沒(méi)有產(chǎn)生什么新的問(wèn)題呢？”學(xué)生很自然地提出了“是不是所有的六面體都具有這樣的關(guān)系呢？”這樣一個(gè)極具研究?jī)r(jià)值的問(wèn)題，借助橡皮，很快地發(fā)現(xiàn)了六面體的規(guī)律。這一環(huán)節(jié)，借助橡皮這一實(shí)驗(yàn)工具，學(xué)生經(jīng)歷了從不知所措到自主提問(wèn)，從局限思考到發(fā)散性思維的轉(zhuǎn)變，問(wèn)題意識(shí)逐漸形成 [1]。

二、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證真分享

【片段2】

師：同學(xué)們，學(xué)到這里，你們又有什么新問(wèn)題嗎？

生1：四面體的面數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)和棱數(shù)之間是不是有這樣的關(guān)系？

生2：五面體呢？七面體呢？……

師：有沒(méi)有更大膽的猜想呢？

生3：是不是所有的多面體都有這樣的關(guān)系呢？

師：你們真會(huì)思考，提了一個(gè)非常有價(jià)值的問(wèn)題。這些猜想我們可以怎么驗(yàn)證？

生：像剛才一樣，用橡皮去驗(yàn)證。

師：可是老師只給同學(xué)們準(zhǔn)備了一塊正方體的橡皮，多面體從哪兒來(lái)呢？

生：我們可以用小刀切。

師：是啊，大家想一想：將一個(gè)正方體橡皮切一刀，可以切出幾個(gè)多面體？怎么切？分小組討論一下。（學(xué)生討論，用手比畫(huà)，然后在腦子中想象切成的多面體的樣子）

師：下面兩人合作切一塊橡皮，盡可能地切出不同面數(shù)的多面體。數(shù)出多面體的面數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)和棱數(shù)，并將數(shù)據(jù)記錄在實(shí)驗(yàn)單中。算一算是否符合猜想。（學(xué)生兩人合作切，然后填寫(xiě)實(shí)驗(yàn)單，進(jìn)行計(jì)算，全班交流）

生1：我們沿著對(duì)角切，把橡皮切成了兩個(gè)5面體，它的面數(shù)是5，頂點(diǎn)數(shù)是6，棱數(shù)是9，用5+6-9正好等于2，符合猜想。（見(jiàn)圖7）

生2：我和他的切法不同，從橡皮中間切，切成了兩個(gè)6面體，它的面數(shù)是6，頂點(diǎn)數(shù)是8，棱數(shù)是12，用6+8-12也等于2，也符合猜想。（見(jiàn)圖8）

生3：我也沿著角切，不過(guò)稍稍把刀彎了一下，只切到中間，這樣一個(gè)是5面體，一個(gè)是6面體，數(shù)據(jù)和剛才的一樣，還是符合猜想。（見(jiàn)圖9）

師：能不能得到更多面的物體？

生4：可以，我們只切掉一個(gè)角，其余面保留，就得到一個(gè)7面體和一個(gè)4面體，7面體的面數(shù)是7，頂點(diǎn)數(shù)是10，棱數(shù)是16，用7+10-16=1，等于不符合猜想。

生5：老師，他數(shù)錯(cuò)了，棱數(shù)多數(shù)了一條，只有15條，用7+10-15=2，符合猜想。（那個(gè)學(xué)生不好意思地嘟囔著說(shuō)，我數(shù)重復(fù)了，多了1條）

師：還有不同的切法嗎？

生6：有，我們還可以這樣切……

生7：我們切出了不同的多面體，雖然它的面數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)和棱數(shù)不同，但都有一個(gè)相同的地方，那就是面數(shù)+頂點(diǎn)數(shù)-棱數(shù)=2，剛才的猜想是成立的。

在這個(gè)環(huán)節(jié)，筆者讓學(xué)生先借助橡皮這一工具，用小刀切一刀。由于切的角度、線路不同，所以就有了豐富多彩的答案。對(duì)這些切法，筆者重在讓學(xué)生分享切的方法，分享數(shù)數(shù)的思考，分享探究的想法，而非展示答案。在這里，筆者充分發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性，放手讓學(xué)生進(jìn)行驗(yàn)證，給予了較長(zhǎng)教學(xué)時(shí)間。學(xué)生分享的內(nèi)容，可能是不成熟的，是簡(jiǎn)單的，甚至還有少許錯(cuò)誤，但它是更真實(shí)學(xué)習(xí)的體現(xiàn)。越是基于真實(shí)的表達(dá)，越是粗糙的 [2]。在這樣真實(shí)的情境中，學(xué)生一邊搜集橡皮面頂點(diǎn)和棱的數(shù)據(jù)，一邊觀察比較橡皮，帶著任務(wù)去研究，帶著問(wèn)題去思考，有效地培養(yǎng)了學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)的實(shí)驗(yàn)態(tài)度。

總之，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)時(shí)一定要“讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)形成與發(fā)展的過(guò)程，重蹈人類思維中發(fā)展的關(guān)鍵性步子，學(xué)生才會(huì)深度學(xué)習(xí)”。（董林偉語(yǔ)）在這個(gè)過(guò)程中，教師要根據(jù)兒童的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，有效地開(kāi)發(fā)和設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的材料，讓孩子借助實(shí)驗(yàn)材料真正完整經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究的過(guò)程 [3]。這個(gè)過(guò)程，我們寧愿磕磕碰碰，拖泥帶水，也不要順暢完美，一氣呵成。一個(gè)優(yōu)秀的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)必須基于學(xué)生學(xué)習(xí)現(xiàn)實(shí)的教學(xué)，必須真正把課堂還給學(xué)生，讓實(shí)驗(yàn)從封閉走向開(kāi)放，從預(yù)設(shè)走向生成，我們要從關(guān)注實(shí)驗(yàn)程序的落實(shí)走向關(guān)注學(xué)生思維的提升，從關(guān)注問(wèn)題的答案走向關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)需要，唯如此，學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)才會(huì)真正發(fā)生。

參考文獻(xiàn)：

[1]? 夏永立. 重視數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 促進(jìn)學(xué)生發(fā)展——小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)初探[J]. 遼寧教育，2014（19）.

[2]? 莫高芹. 在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中要充分發(fā)揮學(xué)具的功能[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2019（1）.

[3]? 張斌. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)審視、機(jī)制探尋及深耕策略[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2019（1）.