吳玲

小學數(shù)學知識多而雜，在有限的教學時空內(nèi)抓住核心知識教學已經(jīng)成為數(shù)學教育界的共識。如何抓住核心知識進行教學，讓學生的數(shù)學學習能夠舉一反三、駕一馭萬？筆者認為，教師在教學中可以抓住起點型知識，因為起點型知識具有“種子特質(zhì)”，能播撒、繁衍、派生出諸多知識。在整個數(shù)學知識教學中，“起點型”核心知識具有筑基的性質(zhì)以及生產(chǎn)知識的天然活性 [1]。抓好“起點型”核心知識，是讓學生數(shù)學核心素養(yǎng)落地生根的必然的教學路徑。

一、探尋：“起點型”核心知識有哪些？

縱觀小學數(shù)學知識，梳理小學數(shù)學教材，可以發(fā)現(xiàn)，“起點型”核心知識包括蘊含數(shù)學基本思想、基本方法的數(shù)學知識，包括數(shù)學的基本原理、基本關系、基本問題，包括知識的關鍵節(jié)點、拐點等。在小學數(shù)學教學中，許多學生數(shù)學學習出現(xiàn)學習障礙、錯誤時，我們基本上都可追根溯源，從學生起點型知識處找到成因。那么，在數(shù)學教學中，我們?nèi)绾翁綄ぁ捌瘘c型”核心知識呢？

1. 基于“綱目關系”的“起點型”核心知識

數(shù)學知識是一個有機的知識整體。從邏輯上看，知識關系主要有綱目關系、屬種關系、交叉關系等。其中，綱目關系的知識呈現(xiàn)為一種遞進性、因果性，一個數(shù)學知識點往往是另一個數(shù)學知識點的基礎 [2]。具有綱目關系的數(shù)學知識結(jié)構(gòu)猶如計算機中根目錄和子目錄的關系。比如“運算律”，不僅可以用來進行“整數(shù)四則運算”，而且可以運用到“小數(shù)四則運算”“分數(shù)四則運算”之中。在這里，“運算律”就具有綱領作用，教學中必須夯實、筑牢。

2. 基于“屬種關系”的“起點型”核心知識

屬種關系的“起點型”核心知識是一種具有包容、上下位關系的知識。上位數(shù)學知識派生出下位數(shù)學知識，上位數(shù)學知識是“屬”，下位數(shù)學知識是“種”。其中，屬性知識外延較大，內(nèi)涵較淺，而種性知識外延較小，內(nèi)涵較深。比如平行四邊形、長方形、菱形和正方形，就是具有屬種關系的知識。對于“屬種關系”起點型核心知識，必須讓學生把握其內(nèi)涵和外延。

3. 基于“交叉關系”的“起點型”核心知識

千絲萬縷的數(shù)學知識，還具有一種“交叉關系”。這些具有交叉關系的數(shù)學知識往往是相互衍生、轉(zhuǎn)化的。對于交叉關系的數(shù)學知識，其交叉節(jié)點非常重要，往往是這類數(shù)學知識的“咽喉”。比如“分數(shù)乘法、除法應用題”和“比的運用”等相關內(nèi)容，就具有鮮明的交叉性。其中，把握“量”和“率”之間的對應關系，對相關條件進行轉(zhuǎn)化，是貫穿其中的主要分析方法。在這個過程中，“份數(shù)”和“比”是有效轉(zhuǎn)化工具。妙用“份數(shù)”和“比”，實現(xiàn)關鍵句轉(zhuǎn)化，讓“量”和“率”對應是教學之核心。從這方面來看，“交叉關系”的“起點型”核心知識，往往是一些節(jié)點性知識，因為這類知識具有多向生長性。

如上所述，“起點型”核心知識是數(shù)學知識的“干細胞”，是學生數(shù)學學習的“先行組織者”?！捌瘘c型”核心知識的一個重要特質(zhì)是具有自我生長性、自我繁衍性，還具有遷移力、啟迪力、吸附力、解釋力，其往往處于知識群中心，有著奠基性功能，發(fā)揮著結(jié)構(gòu)性、樞紐性作用。

二、實踐：“起點型”核心知識怎樣教？

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》已初步將數(shù)學知識劃分為四大類，即“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”“綜合與實踐”。這樣的劃分，有助于教師增強知識屬性認知。實踐中，教師更應站在知識整體高度，統(tǒng)籌駕馭“起點型”核心知識。過去，有教師因為對“起點型”核心知識認識模糊，導致教學高耗低效。那么，在實踐中，我們該如何教學“起點型”核心知識呢？

1. 確定“起點型”核心知識

確定“起點型”核心知識是數(shù)學教學的第一步。知識起點，不僅指邏輯起點，還指學生的現(xiàn)實起點。邏輯起點要求教師深入研讀教材，而現(xiàn)實起點要求教師深入研究學生。教學《認識厘米》，有教師對如何測量一個物體邊或線段長度只是輕描淡寫地“教方法”，比如從“0刻度”開始測量，是幾就讀幾;比如從任意刻度開始測量，然后用終端刻度減去起始刻度等。這種教學，學生也能掌握測量厘米的方法，但卻沒有提升學生的數(shù)學活動經(jīng)驗，更沒有滲透數(shù)學思想方法。如果我們深入研究小學數(shù)學教材，就會知道“認識厘米”的教學不僅是單個知識點的教學，更是一個知識群的教學?！罢J識厘米”在整個知識群中具有種子作用，屬于“起點型”知識。

從測量厘米的原理來看，就是要看“幾厘米長的物體邊或線段有幾個1厘米那么長”，這樣的認知為學生后續(xù)學習“用1平方厘米、1平方分米等面積單位去測量物體表面或者平面圖形的面積”“用1立方厘米、1立方分米等體積單位去測量物體體積”奠定了基礎，對“長方形的面積教學”“長方體的體積教學”以及“角的度量”等知識的教學也有著遷移作用。通過問卷調(diào)查可以發(fā)現(xiàn)，學生對這部分起點型知識的認知經(jīng)驗是空缺的。當教師確定數(shù)學知識“起點性”后，就要重點圍繞“起點性”展開教學?；凇罢J識厘米”的起點性，筆者在教學中首先讓學生建立清晰的“厘米”表象。在此基礎上，筆者又引導學生將“1厘米”串接起來，形成“厘米尺”的雛形。如此，學生自然能認識到，測量物體長度，其本質(zhì)就是看“物體長度里包含有多少個單位長度”。有了豐富的活動經(jīng)驗，有了深刻的感悟，就能生成學生數(shù)學核心素養(yǎng)。

“起點型”核心知識具有原點生發(fā)價值，對學生后續(xù)相關知識的學習具有原點引領、思想方法啟迪、活動經(jīng)驗助推等作用。對于數(shù)學起點型核心知識，教師要著力體現(xiàn)知識展開過程。只有當學生經(jīng)歷、體驗了“起點型”核心知識的誕生后，才能深刻把握“起點型”核心知識。

2. 種植“起點型”核心知識

對于“起點型”核心知識的教學，筆者選用了“種植”兩個字，其意就在于：“起點型”核心知識具有種子的性質(zhì)。對于“起點型”核心知識的教學，教師要精耕細作，將這些知識深埋在學生心里，讓它生根發(fā)芽且能獨立生長。要下大力氣，讓學生充分經(jīng)歷、體驗、感受、感悟。在數(shù)學教學中，知識是由少到多、由點到面、由此到彼、由弱到強的不斷生成過程。在一定的條件下，“起點型”核心知識能讓其他知識結(jié)成知識體。

比如“平行四邊形”“長方形”“菱形”和“正方形”是一組結(jié)構(gòu)性知識，其中“平行四邊形”的概念是“起點型”知識。為此，在教學中，教師要讓學生深刻理解、準確把握起點型知識。對于“平行四邊形”，教師要突出“兩組對邊分別平行”的特質(zhì)，而由“兩組對邊分別平行”衍生出來的“一組對邊平行且相等”“對角相等”等特質(zhì)則可適度淡化。因為，從“平行四邊形”“長方形”“菱形”和“正方形”的整個知識結(jié)構(gòu)來看，架起知識結(jié)構(gòu)的就是“兩組對邊分別平行”的特質(zhì)。換言之，一個圖形，只要兩組對邊分別平行就是平行四邊形，比如長方形、正方形。學生認識到：長方形和正方形的兩組對邊分別平行，因此它們就是平行四邊形;而梯形由于只有一組對邊平行，所以不是平行四邊形。教師可以提供多元變式，凸顯知識的本質(zhì)屬性。

“起點型”核心知識，需要教師不斷對其進行固著，以便讓后續(xù)教學更為順暢有效。如果我們將一個數(shù)學知識群看作一個立體交叉的巨無霸路網(wǎng)，核心知識為主干通道，那么“起點型”知識就是連接主干道的樞紐。學生對起點型核心知識的理解程度，決定著知識群建構(gòu)的效度。

3. 生長“起點型”核心知識

“起點型”核心知識具有生長性。作為教師，要努力促進其多向遷移、生長。一般而言，以“起點型”知識為根基，可以讓數(shù)學知識形成樹狀、簇狀等。從知識關聯(lián)來看，“起點型”核心知識猶如一個“帶鉤的原子”，具有連接、牽引其他相關數(shù)學知識的功能。教學中，教師要放大這些功能，讓“起點型”核心知識具有更大的吸附性、固著性、接納性，從而不斷生長、擴張、繁殖，形成知識簇、知識叢、知識群。

以“認數(shù)”的教學為例，“認數(shù)”在小學階段的教學是按部就班、循序漸進的。在小學階段，“認數(shù)”主要包括“萬以內(nèi)的數(shù)”“整萬的數(shù)”“含有萬級、個級的數(shù)”以及“含有億級、萬級、個級的數(shù)”。其中“萬以內(nèi)的數(shù)”和“整萬的數(shù)”是整個“認數(shù)”的“起點型”核心知識，學生掌握了這樣的知識，就能順應知識生長，建構(gòu)出“含有萬級、個級的數(shù)”以及“含有億級、萬級、個級的數(shù)”。因為“萬以內(nèi)的數(shù)”能讓學生掌握讀數(shù)、寫數(shù)的規(guī)則，而“整萬的數(shù)”能讓學生掌握數(shù)級的概念。當學生掌握這兩個“起點型”核心知識后，就能順利地實現(xiàn)知識的嫁接。從這里可以看出，數(shù)學“起點型”核心知識可以不止一個，也可成組出現(xiàn)，同時也是相對而言的。教學中，要凸顯“起點型”核心知識的生長特性，這種特性有時只是數(shù)學知識建構(gòu)的一個屬性，因而需要強化、凸顯。

數(shù)學知識建構(gòu)是相輔相成、和諧共生的。作為教師，要準確定位“起點型”核心知識，不斷豐富和完善數(shù)學知識結(jié)構(gòu)，讓學生洞察起點型核心知識的位置、作用和功能 [3]。只有不斷豐滿“起點型”核心知識的內(nèi)涵，讓學生明晰其邊界，感悟其意義，才能讓知識形成鏈、構(gòu)成體。

參考文獻：

[1]? 魏光明. 小學數(shù)學“起點型核心知識”教學初探[J]. 人大復印資料·小學數(shù)學教與學，2018（8）.

[2]? 錢紅明. 選好“種子”知識，上好“種子課”[J]﹒ 江蘇教育（小學教學），2015（21）.

[3]? 周興苗. 依托學習起點，構(gòu)建數(shù)學知識——“面積”教學的實踐與思考[J]. 數(shù)學教學通訊，2014（4）.