曾惠蘭

摘要：因式分解是中學(xué)數(shù)學(xué)中一種重要的恒等變形，是處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要手段與工具。本文簡(jiǎn)要地歸納總結(jié)學(xué)生在因式分解中重復(fù)性出現(xiàn)的錯(cuò)誤情況。利用典型的例題分析解釋教師如何教育學(xué)生靈活掌握應(yīng)用因式分解。

關(guān)鍵詞：因式分解?重復(fù)性錯(cuò)誤?教師?靈活掌握應(yīng)用

因式分解是“數(shù)與代數(shù)”模塊內(nèi)容之一，它與多項(xiàng)式的知識(shí)聯(lián)系緊密，既能鞏固多項(xiàng)式的運(yùn)算，又能進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的逆向思維能力。在教學(xué)中我們可以教學(xué)生使用記憶口訣：首先提取公因式，其次考慮用公式，十字相乘排第三，分組分解排第四，幾法若都行不通，拆項(xiàng)添項(xiàng)試一試。

一、提取公因式、利用公式法

提公因式法是因式分解的一種基本方法，牢固掌握公因式的概念，把它的提取方法應(yīng)用到數(shù)的計(jì)算中非常便利。但是學(xué)生在提取公因式種容易出現(xiàn)（1）公因式提而不盡;（2）公因式有而不提;（3）公因式提后不補(bǔ)位。（4）分解不徹底。（5）公式不熟。（6）運(yùn)算過(guò)程中符號(hào)出現(xiàn)錯(cuò)誤。教師在教學(xué)中要根據(jù)學(xué)生容易出現(xiàn)的幾種錯(cuò)誤進(jìn)行有針對(duì)性的練習(xí)。

對(duì)于提取公因式，我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)該加強(qiáng)練習(xí)，教會(huì)學(xué)生什么是公因式，怎么提取公因式。否則學(xué)生在練習(xí)中會(huì)導(dǎo)致分解不徹底。如例1：多項(xiàng)式ab2-2a2b的兩項(xiàng)中，公因式是什么？

解：∵ab2=a·b·b;-2a2b=-2·a·a·b ∴它們的公因式是a，b，ab。

此題中如果讓學(xué)生提取公因式，學(xué)生可能會(huì)提取a，提取b，或者提取ab，此時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生，我們需要把次數(shù)最高的公因式（不計(jì)系數(shù)）提出來(lái)，寫(xiě)成下面的形式ab2-2a2b=ab（b-2a）：這種將多項(xiàng)式分解因式的方法，叫做提公因式法。此時(shí)通過(guò)確定不同公因式的提取，強(qiáng)調(diào)了提公因式法中要“將所有的公因式都提出來(lái)”，以后所說(shuō)的提公因式法中的“公因式”指的是“次數(shù)最高的公因式（不計(jì)系數(shù)）”。教師還應(yīng)該幫學(xué)生總結(jié)確定公因式（三定原則）一定系數(shù)：當(dāng)系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，取它們的最大公約數(shù)作為公因式的系數(shù);當(dāng)多項(xiàng)式首項(xiàng)符號(hào)為負(fù)時(shí)，還要提出負(fù)號(hào)。二定字母：各項(xiàng)中相同字母（或多項(xiàng)式因式）。三定字母的指數(shù)：相同字母（或多項(xiàng)式因式）的指數(shù)取次數(shù)最低的。并通過(guò)逆用冪的乘法運(yùn)算展開(kāi)單項(xiàng)式、逆用乘法分配律、提取公因式的過(guò)程，加深學(xué)生對(duì)提公因式法運(yùn)算的理解。

對(duì)于公因式有而不提，一是學(xué)生解題策略上的偏差，二是學(xué)生缺乏整體性思維;如例2：100x2-25y2=（10x-5y）（10x+5y）很多學(xué)生的答案會(huì)出現(xiàn)這種錯(cuò)誤情況，那該如何避免？?這就要求我們?cè)谄綍r(shí)的課堂教學(xué)中，教師針對(duì)有些多項(xiàng)式的分解因式需要兩步運(yùn)算的問(wèn)題，都要求學(xué)生按照如下步驟進(jìn)行：先看有無(wú)公因式，如果有要先提取公因式，然后再利用公式法進(jìn)行分解，簡(jiǎn)稱(chēng)“一提二套”。?而該學(xué)生沒(méi)有按照一般性的步驟進(jìn)行分解，在解題方向上打亂了常規(guī)的解題步驟，出現(xiàn)了解題策略性的偏差，出現(xiàn)公因式有而不提的現(xiàn)象。

例3：利用分解因式證明：257-512能被120整除

針對(duì)此題，學(xué)生會(huì)有不同的錯(cuò)解，比如解：257-512=（52）7-512=514-512=52=25;或者解：257-512=（52）7-512=514-512=（57）2-（56）2=（57+56）（57-56）從學(xué)生的解答情況來(lái)看，第一步25變形為52，第二步冪的乘方運(yùn)算都沒(méi)有出現(xiàn)錯(cuò)誤，第三步如何作答？出現(xiàn)了解題障礙，不知采用何種策略解決，此時(shí)再次考慮題中的要求利用因式分解證明問(wèn)題，所以需要把式子繼續(xù)恒等變形為積的形式。此題正確的解法應(yīng)該是把512看成一個(gè)整體，利用公因式法把512提出來(lái)，使得最終的結(jié)果中出現(xiàn)120這個(gè)因數(shù)：257-512=（52）7-512=514-512=512（52-1）=512×24=511×5×24=120×511教師在教學(xué)中應(yīng)該強(qiáng)調(diào)所謂的公因式可以是單項(xiàng)式也可以是多項(xiàng)式，當(dāng)然也可以是冪的結(jié)構(gòu)形式，在代數(shù)解題中，教學(xué)生要能夠“看透”形式符號(hào)后的代數(shù)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)從程序到結(jié)構(gòu)的過(guò)渡，否則學(xué)生的思維僵化，不能夠以已有知識(shí)結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)對(duì)新信息進(jìn)行編碼，不能夠完善建構(gòu)自身認(rèn)知結(jié)構(gòu)，在解題策略上就會(huì)出現(xiàn)方向上的錯(cuò)誤，造成運(yùn)算無(wú)法進(jìn)行下去。

學(xué)生在公式應(yīng)用中會(huì)出現(xiàn)公式不熟，特別是需要逆用公式時(shí)會(huì)看不出來(lái)，是因?yàn)閷W(xué)生的逆向思維能力薄弱，這會(huì)阻礙學(xué)生的因式分解解題，所以需要老師引導(dǎo)學(xué)生突破思維的定勢(shì)，使思維進(jìn)入新的境界，達(dá)到應(yīng)用自如的程度。

例4：12a3+12a2+3a=3a（4a2+4a+1）實(shí)際上對(duì)于要進(jìn)行模式的識(shí)別，發(fā)現(xiàn)它是由三項(xiàng)構(gòu)成，首項(xiàng)4a2可變形為（2a）2末項(xiàng)可看作12，二者都是平方的形式，中間一項(xiàng)是4a=2×2a×1形式，恰好符合兩數(shù)和的完全平方公式的特點(diǎn)，所以還可以逆用完全平方公式進(jìn)行因式分解，但是學(xué)生在此止步運(yùn)算，因?yàn)樗麤](méi)有識(shí)別出完全平方公式的結(jié)構(gòu)，從而無(wú)法分解。

有些學(xué)生會(huì)出現(xiàn)公因式提后不補(bǔ)位的狀況，這屬于知識(shí)性的錯(cuò)誤，學(xué)生在解題中如果存在著某些知識(shí)上的缺陷，或者是受前置學(xué)習(xí)內(nèi)容的影響，也會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤的情況。

例5：ab-cb-b=b（a-c）學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤是不理解數(shù)字“1”作為多項(xiàng)式的項(xiàng)存在時(shí)，是絕不能省略的;一個(gè)字母?b?的系數(shù)是?1，提取字母?b?后，并不是沒(méi)有項(xiàng)了，還有系數(shù)1。這種錯(cuò)誤出現(xiàn)可能學(xué)生混淆了我們前面學(xué)習(xí)有關(guān)整式的內(nèi)容時(shí)，如果“1”作為系數(shù)通常是可以省略不寫(xiě)的，而且“1”作為指數(shù)的時(shí)候也是可以省略。這就要求我們?cè)诮虒W(xué)中引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)、方法分類(lèi)歸納總結(jié)，找出它們的共同性和差異性。

部分學(xué)生平時(shí)做題時(shí)會(huì)出現(xiàn)疏忽性錯(cuò)誤，比如運(yùn)算過(guò)程中出現(xiàn)錯(cuò)誤，如例6：-3a3-6a2+12a=-3a（a2-2a+4）=-3a（a+2）2錯(cuò)誤原因進(jìn)行多項(xiàng)式的因式分解時(shí)，當(dāng)?shù)谝豁?xiàng)含有“—”號(hào)時(shí)，選取公因式的系數(shù)應(yīng)該是負(fù)數(shù)，提公因式后剩余各項(xiàng)要改變符號(hào)。這就要求教師應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生整式運(yùn)算中，去括號(hào)時(shí)注意符號(hào)變換情況，通過(guò)強(qiáng)化訓(xùn)練減少學(xué)生的錯(cuò)誤率。

考慮到因式分解的方法在初高中銜接中的作用，例如，在高中階段解一元二次不等式和求導(dǎo)判斷曲線(xiàn)的形狀等等，大部分初中教師會(huì)補(bǔ)充兩種方法，十字相乘法和分組分解。

二、十字相乘法

用十字相乘法對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，對(duì)解一元二次方程和高中階段的二次不等式很有幫助，所以有些老師選擇在初中階段補(bǔ)充十字相乘法，主要是針對(duì)不能用完全平方公式的二次三項(xiàng)式的，而且系數(shù)部分有著關(guān)聯(lián)，多項(xiàng)式具備的特征往往是含三項(xiàng)，方便學(xué)生快速解一元二次方程。但是很多學(xué)生在遇到題目時(shí)不會(huì)運(yùn)用十字相乘法。

例7：x2-3x+2=x（x-3）+2出現(xiàn)這錯(cuò)誤原因一是學(xué)生對(duì)十字相乘法概念不熟，二是學(xué)生由于對(duì)因式分解概念規(guī)則的特殊形式辨別錯(cuò)誤，忽視最后結(jié)果形式的約束規(guī)則，即使從表象上都無(wú)法辨別因式分解的分解形式必須是多個(gè)因式相乘的形式。由于十字相乘法在初中教材中被刪減，所以我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中要教會(huì)學(xué)生什么是十字相乘法，為何要教，什么時(shí)候教，是不是每個(gè)二次三項(xiàng)式都能進(jìn)行因式分解。

三、分組分解法

將一個(gè)多項(xiàng)式分組后，再提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法就是分組分解法，對(duì)于初中因式分解方法中并沒(méi)有要求，但是在因式分解的應(yīng)用中有所涉及，比如利用分組分解法進(jìn)行因式分解判斷三角形的形狀。

例8：已知a，b，c是△ABC的三邊，且a2+ab=b2+bc，試判短三角形的形狀

解：∵a2+ac=b2+bc ∴a（a+c）=b（b+c）錯(cuò)誤剖析：學(xué)生第一步的解題策略采用提公因式法把等式的左右兩邊進(jìn)行因式分解，然后就無(wú)法繼續(xù)運(yùn)算，原因在于是沒(méi)有合理的進(jìn)行分組。此題解答策略上最關(guān)鍵的是不能局限于方程左右兩邊獨(dú)立運(yùn)算，要有全局意識(shí)解決此類(lèi)問(wèn)題，所以需要先進(jìn)行移項(xiàng)，然后合理分組進(jìn)行因式分解，再提取公因式，運(yùn)算步驟如下：解：a2+ac=b2+bc;a2-b2-bc+ac=0;（a+b）（a-c）+c（a-b）=0;（a-b）（a+b+c）=0;a-b=0或a+b+c=0;∵△ABC三邊的邊長(zhǎng)都大于0∴a=b故此三角形為等腰三角形

分組分解法不是一種獨(dú)立的方法，往往會(huì)適當(dāng)添括號(hào)、交換、分組后使用或連續(xù)使用或綜合使用前面的三種基本方法?！胺纸M”是關(guān)鍵，分組前要預(yù)見(jiàn)到分組后下一步該怎么辦，再確定用什么方法完成因式分解分組的前提是為后面利用什么方法進(jìn)行因式分解做準(zhǔn)備，所以要求學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力較高。

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