王毅

摘要：人教A版的數(shù)學(xué)教材中設(shè)置了“閱讀與思考”這一板塊，其被定義為補(bǔ)充性或輔助性知識，對培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力、自主探究能力都具有非常積極的作用。教師對這部分內(nèi)容應(yīng)予以重視，進(jìn)行科學(xué)合理地處理，以輔助教學(xué)，獲得更好的成效。“閱讀與思考——錯在哪兒”的教學(xué)設(shè)計給出了處理這部分內(nèi)容的示例。

關(guān)鍵詞：不等式;問題探究;相互制約

人教A版的數(shù)學(xué)教材中設(shè)置了“閱讀與思考”這一板塊，其被定義為補(bǔ)充性或輔助性知識，既能幫助學(xué)生更好地理解相關(guān)知識，又能綜合運(yùn)用相關(guān)知識解決問題，注重知識與方法的延伸和拓展，對培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力、自主探究能力都具有非常積極的作用。因此，教師對這部分內(nèi)容不能“視而不見”，應(yīng)予以重視，并科學(xué)合理地處理這部分教學(xué)內(nèi)容，以輔助教學(xué)，獲得更好的成效。

“閱讀與思考——錯在哪兒”的教學(xué)設(shè)計設(shè)置于人教A版必修5介紹不等式性質(zhì)及線性規(guī)劃之后，需要學(xué)生綜合運(yùn)用這些知識對一類不等式取值范圍問題進(jìn)行探究，引導(dǎo)學(xué)生分析錯誤的根源，理解變量的相互制約關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，掌握該問題的兩類正確解法，并注意變量相互制約關(guān)系在解題中的應(yīng)用。如下是本文所構(gòu)建的教學(xué)設(shè)計：

1教學(xué)目標(biāo)

（1）綜合運(yùn)用不等式相關(guān)知識對一類不等式取值范圍問題及常見錯因進(jìn)行探究，掌握處理該問題的兩類正確解法;

（2）理解變量的相互制約關(guān)系，并注意變量相互制約關(guān)系在解題中的應(yīng)用。

2 重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：對解決該問題的線性規(guī)劃法（幾何法）和待定系數(shù)法、換元法（代數(shù)法）的掌握。

難點(diǎn)：對錯誤解法的分析，特別是對變量相互制約關(guān)系的理解。

3 教學(xué)過程

（1）問題回顧

例·已知 1≤x≤3 ，求

-1≤y≤1

（1）3x+y的取值范圍;

（2）y-x的取值范圍。

師：請同學(xué)們回顧這樣一個熟悉的不等式取值范圍求解問題，給出你的答案。

生：第（1）問的答案是[2，10]，第（2）問的答案是[-4，0]。

師：能談一談第（2）問的求解思路嗎？

生：先求-x的取值范圍，再用y+（ -x）得到答案。

師：很好！實(shí)際上由r的范圍求z的范圍利用了不等式性質(zhì)4：如果a>b，c<0，那么acb，c>d，那么a+c>b+d。

【設(shè)計意圖】從簡單問題人手，通過問題解決回顧相關(guān)基礎(chǔ)知識和基本方法。于問題解決中融入知識回顧、方法梳理，為后面核心問題探究做鋪墊。

（2）問題變式

例2已知1 ≤x+y≤3，求4x+2y的取值

-1≤x-y≤1范圍。

師：我們把問題變一下，請同學(xué)們再試著解決。

生：在課堂練習(xí)本上自主完成。

師：巡視、指導(dǎo)、收集代表性解法。

+2y≤12。

生2：令x=4x+2y，則y=2x+z/2，利用線性規(guī)劃方法可得2≤4 x+2y≤10。

【設(shè)計意圖】引出核心問題，放手讓學(xué)生自主解決，充分體驗(yàn)先犯錯，再糾錯的過程。

①探究一錯在哪兒？

師：兩種不同的思路，得到兩種不同的結(jié)果，那么至少有一種思路是錯誤的。請學(xué)習(xí)小組展開討論，同學(xué)之間相互質(zhì)疑、糾錯。

生：在學(xué)習(xí)小組的討論中充分發(fā)表個人觀點(diǎn)。

師：請學(xué)生代表發(fā)言。

生3：生1的做法從第一步到第二步推導(dǎo)正確，第二步到第三步也是正確的，所以我認(rèn)為生1的做法是對的。

生4：用幾何畫板驗(yàn)證生2的線性規(guī)劃法，正確。

師：在學(xué)生發(fā)言基礎(chǔ)上，從線性規(guī)劃角度和變量相關(guān)性角度分析錯因，強(qiáng)調(diào)變量之間的相互制約關(guān)系。

從線性規(guī)劃角度：可行域變大;

從變量相關(guān)性角度：前者變量相互制約，后者變量相互獨(dú)立。

【設(shè)計意圖】通過學(xué)生獨(dú)立思考、生生互動、師生互動等多種方式，形成思維碰撞，理清出錯根源，并提煉出第一種正確解法——線性規(guī)劃法。

②探究二這樣做對嗎？

師：線性規(guī)劃法是我們從形的角度解決此類問題的方法，剛才我們還找到了從代數(shù)角度利用不等式性質(zhì)處理問題出錯的根源在于破壞了變量之間的相互制約關(guān)系。既然找到了問題的癥結(jié)所在，那我們可以重新嘗試代數(shù)法解決問題。

再兩式相加：2≤3（x+y）+（x-y）≤10，即2≤4x+2y≤l0。

師：盡管該同學(xué)的答案是對的，但我仍心存疑慮。因?yàn)檎麄€處理過程和生1的錯誤思路非常相似，這樣做真的對嗎？

生：這一步：4 x+2y=3（x+y）+（x—y）整體代換保持了變量的相互制約關(guān)系，所以我認(rèn)為是對的。

師：從技術(shù)處理層面，這個式子4x+2y=3（ x+y）+（x-y）是怎樣得到的？

生：湊出來的。

師：很好！但如果系數(shù)比較復(fù)雜，不好湊，我們可以用待定系數(shù)法解決，從而引出對待定系數(shù)法的介紹。

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生在不破壞變量制約關(guān)系前提下從代數(shù)角度解決問題，通過與相似的錯誤思路對比，讓學(xué)生在對比中感悟方法的關(guān)鍵點(diǎn)，介紹待定系數(shù)法。

③探究三源問題和問題變式有什么聯(lián)系？

求3x+y的取值范圍。求4x+2y的取值范圍。

師：既然從代數(shù)角度仍然可以利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行處理，那么參照源問題，兩者有沒有什么聯(lián)系？

生：換元試試，令m=x+y，n=x—y，則問題轉(zhuǎn)化為已知1≤m≤3，求3m+n的取值范圍。

-1≤n≤1

師：這實(shí)際上就轉(zhuǎn)化為我們的源問題了。在轉(zhuǎn)化過程中，坐標(biāo)系發(fā)生了旋轉(zhuǎn)伸縮變換。我們將在今后高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中有所接觸。

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生嘗試將問題變式轉(zhuǎn)化為源問題進(jìn)行處理，介紹換元法，體悟轉(zhuǎn)化與劃歸的數(shù)學(xué)思想方法。

（3）方法提煉

師：通過探究，同學(xué)們對這類問題的處理方法已經(jīng)比較清楚了。具體有哪些方法？

生：有兩類，一類是幾何法，即線性規(guī)劃法，一類是代數(shù)法，即待定系數(shù)法或換元法。

【設(shè)計意圖】培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成解題后及時反思總結(jié)的習(xí)慣。

（4）鞏固練習(xí)

練習(xí)：設(shè)f（x） =ax2 +bx滿足1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，求f（-2）的取值范圍。

師：請同學(xué)們完成鞏固練習(xí)。

生：公布答案并指出所用方法。

【設(shè)計意圖】加強(qiáng)學(xué)生對方法的過手訓(xùn)練。

（5）拓展訓(xùn)練

判斷下列解題過程的正誤，并說明理由。

①∵sinx的最大值為l，cOsZ的最大值為1，∴y=sinx+ cosx（x∈R）的最大值為2。

師：我們收集了同學(xué)們平時的一些常見做法，結(jié)合今天的探究內(nèi)容，我們回頭再看看這些做法對嗎？為什么？

生：獨(dú)立思考、小組討論、思路分享，上面三題均是由于忽略變量的相互制約關(guān)系而出錯。

【設(shè)計意圖】梳理因忽略變量相關(guān)性而出錯的一些試題，觸類旁通，加深對變量相互制約關(guān)系的認(rèn)識，突出對數(shù)學(xué)思想方法本質(zhì)的理解。

（6）課堂小結(jié)

師：通過今天的共同學(xué)習(xí)討論，你有哪些收獲？

生：充分發(fā)表自己的觀點(diǎn)。

師：再進(jìn)行補(bǔ)充提煉。

4 課堂節(jié)外生枝

在完成問題探究，進(jìn)入方法提煉環(huán)節(jié)，突然有學(xué)生舉手提問。

（1）學(xué)生思路展示

解：由不等式1≤x+y≤3①

-1≤x-y≤1②

①+②得0≤2x≤4③

①×2得？2≤2x+2y≤6④

③+④得？2≤4x+2y≤10

這樣做可以嗎？

（2）問題解決過程

①針對學(xué)生問題，引導(dǎo)同學(xué)們開展小組討論;

②學(xué)生代表發(fā)言，認(rèn)為做法破壞了不等式的整體性，答案正確具有巧合性;

③教師利用幾何畫板驗(yàn)證說明。

（3）結(jié)論

該同學(xué)在不等式處理過程中破壞了變量之間的相互制約關(guān)系，前后不等式組不等價，這樣的處理方式顯然是錯誤的。之所以答案正確，是數(shù)據(jù)設(shè)置的巧合而已。

5 教學(xué)反思

通過這節(jié)公開課的教學(xué)嘗試，我們認(rèn)識到人教A版的閱讀與思考這一拓展性板塊，它篇幅短、內(nèi)容新、閱讀性強(qiáng)，集知識性、科學(xué)性、趣味性、教育性于一身，是對教材正文內(nèi)容的補(bǔ)充、拓展和運(yùn)用，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生用好這塊內(nèi)容，提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力。而對于這一板塊的學(xué)習(xí)，根據(jù)內(nèi)容的不同，教師可采用鼓勵學(xué)生課后閱讀自學(xué)、引導(dǎo)學(xué)習(xí)小組開展合作學(xué)習(xí)、在教師指導(dǎo)下開展課堂探究學(xué)習(xí)等多種方式進(jìn)行。本節(jié)課采取的是第三種學(xué)習(xí)方式，課堂氛圍好，學(xué)生很快融入其中，特別愿意主動去思考。在課堂小結(jié)的時候有學(xué)生還談到，通過今天的學(xué)習(xí)，他們感悟到解決數(shù)學(xué)問題應(yīng)該大膽猜想，小心求證。無論哪種學(xué)習(xí)方式，我們都應(yīng)該倡導(dǎo)學(xué)生更加主動地進(jìn)行探究、交流和合作，在交流過程中，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生大膽質(zhì)疑，課堂應(yīng)允許節(jié)外生枝，這節(jié)課在方法提煉環(huán)節(jié)，有學(xué)生突然舉手提問，對問題有不用的解法，對解法的正確性存在疑慮，這一環(huán)節(jié)不在教師的教學(xué)預(yù)設(shè)范圍內(nèi)，甚至打亂了教師原本的教學(xué)安排。但在問題的解決過程中.我們不僅解答了同學(xué)的疑問，還再次加深了全班同學(xué)對變量相互制約關(guān)系的理解，收到了較好的教學(xué)效果。

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