[美]桑賈伊·馬漢賈恩?[波蘭]茲比格涅夫·馬齊尼亞克?[美]比爾·斯密特?[美]查爾斯·菲德爾?王銘軍?盛群力

摘 要：數(shù)學(xué)是理解世界、公民身份和經(jīng)濟增長的基石。為了滿足全社會對教育的需求，21世紀教育應(yīng)該注重對知識理解的深度和多樣性的培養(yǎng)。PISA關(guān)于數(shù)學(xué)能力的測試中，最重視學(xué)生運用數(shù)學(xué)推理來解決問題的能力。我們建議擴展數(shù)學(xué)過程的描述（表述、應(yīng)用、解釋、評估），并在PISA數(shù)學(xué)框架內(nèi)確定這些處理過程為數(shù)學(xué)建模的主要組成部分，其中有七個最常用于尋找正確推理方法的推理工具：比較、比例推理、應(yīng)用乘法量表、拆分、歸并、由簡入繁、概率推理和邏輯推理。PISA數(shù)學(xué)的素養(yǎng)領(lǐng)域涉及形狀與空間、變化與關(guān)系、不確定性與數(shù)據(jù)、數(shù)量等，還要特別注意創(chuàng)造性思維能力、品格和元認知技能的培養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)素養(yǎng)與能力;PISA數(shù)學(xué)框架;推理工具;問題解決能力

中圖分類號：G434 文獻標志碼：A 文章編號：2096-0069（2019）05-0083-010

收稿日期：2019-06-18

一、引言——數(shù)學(xué)一直很重要

數(shù)學(xué)是理解世界、公民身份和經(jīng)濟增長的基石。

全球教育體系已經(jīng)逐步適應(yīng)了工業(yè)時代的需求，正在為迎接創(chuàng)新時代的來臨做準備，為促進學(xué)生在快速轉(zhuǎn)型的過程中獲得成功而努力。19世紀后期，社會和人力資源需求的迅猛增長促進了課程的最近一次重大變革。21世紀與19世紀的教育課程完全不同，為了滿足全社會對教育的需求，21世紀教育應(yīng)該注重對知識理解的深度和多樣性的培養(yǎng)。

數(shù)學(xué)是以下各領(lǐng)域的基礎(chǔ)：以科學(xué)、技術(shù)和工程為創(chuàng)新原動力的經(jīng)濟發(fā)展;理解現(xiàn)實世界與公民身份。

PISA（國際學(xué)生評估項目）對數(shù)學(xué)素養(yǎng)給出了如下精確描述：①“一個具有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的人，能認識和理解數(shù)學(xué)在現(xiàn)實世界中所起的作用，能利用數(shù)學(xué)作出有根據(jù)的判斷和決策，是一個具有建設(shè)性、參與意識和反思能力的公民。”

科學(xué)/技術(shù)/工程/數(shù)學(xué)（STEM）是課程的重要因素，尤其是在當今世界范圍內(nèi)供不應(yīng)求，STEM教育需求很大，而STEM素養(yǎng)被認為是通過創(chuàng)新促進增長的關(guān)鍵驅(qū)動力。①數(shù)學(xué)是STEM的基礎(chǔ)，也是培養(yǎng)創(chuàng)新者的關(guān)鍵要素，更應(yīng)受到格外關(guān)注。

如圖1所示，在目前的教育系統(tǒng)中，STEM課程占學(xué)生總學(xué)時的比例——在經(jīng)合組織（OECD②）調(diào)查的國家中約占30%的學(xué)時：

進一步分析可知，數(shù)學(xué)在STEM課程總學(xué)時中約占45%的學(xué)時，或者大約占總的授課時間的11%。（而對于經(jīng)合組織國家大約占15%的時間，每年為此課程約花費2.35萬億美元。③）

二、應(yīng)對2021年P(guān)ISA的改進理由

我們將描述基于PISA 2015數(shù)學(xué)框架的非常有效和有意義的概念，并作為本文的參考（如圖2所示）。

（一）數(shù)學(xué)推理是理解世界的鑰匙

正如PISA數(shù)學(xué)框架中定義的，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一個重要方面是個人的數(shù)學(xué)推理能力。

從數(shù)學(xué)本質(zhì)來說，任何數(shù)學(xué)問題都離不開數(shù)學(xué)推理。一些復(fù)雜問題需要分解成一系列簡單問題，然后再求解。但是，即使將問題簡化后能產(chǎn)生用“心算”來計算的解，也要利用數(shù)學(xué)推理來證明這些解的合理性。數(shù)學(xué)難題一旦被正確演繹的數(shù)學(xué)推理所解決將會給世界帶來創(chuàng)新的動力：我們得出了這個不可辯駁的永恒真理。

在日常生活中從現(xiàn)有事實推演出合乎邏輯推論的能力是至關(guān)重要的，因為這種能力可以用于數(shù)學(xué)之外的情境。當我們想要在事實的基礎(chǔ)上準確地證明我們的觀點時，就會運用數(shù)學(xué)課上學(xué)過的邏輯推理：一個結(jié)論暗含了另一個結(jié)論，而一個精心挑選的反例可以將虛偽對手的論據(jù)化為灰燼。

在提出自己的觀點或分析他人的觀點時，具有建設(shè)性、參與意識和反思能力的公民會運用數(shù)學(xué)推理的能力做出有根據(jù)的判斷和決策，這是至關(guān)重要的（PISA 2015數(shù)學(xué)框架草案，第5頁）。因此，數(shù)學(xué)教師應(yīng)特別注意培養(yǎng)學(xué)生這一能力。培養(yǎng)這種能力比教學(xué)生用常規(guī)方法解決標準數(shù)學(xué)問題要困難得多。在沒有老師直接參與的情況下，學(xué)生想要取得成功，就需要構(gòu)建一系列論據(jù)鏈。當學(xué)生將這種訓(xùn)練轉(zhuǎn)變成他們的習(xí)慣時，不僅會主動表達他們的觀點（例如，通過點擊Facebook上的“喜歡”），而且還會辯護和捍衛(wèi)自己的觀點。④

（二）全球就業(yè)能力需求的變化

幾十年來，隨著對數(shù)學(xué)需求的不斷增長，數(shù)學(xué)已經(jīng)出現(xiàn)了許多新的分支和主題，這反映在表1的經(jīng)合組織工業(yè)調(diào)查中;①簡言之，現(xiàn)代工業(yè)需要不同的數(shù)學(xué)，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的分支已經(jīng)超越傳統(tǒng)的分支，如算術(shù)、幾何和代數(shù)。今天與數(shù)學(xué)相關(guān)的分支和主題已經(jīng)遠遠超出了15年以前的范圍。

顯然，對測量師和木工的需求表明當時社會需要精通三角函數(shù)這一數(shù)學(xué)分支的人才，然而，現(xiàn)代社會對他們的需求量已經(jīng)下降了，取而代之的是對數(shù)據(jù)分析人才的需求。谷歌（Google）首席經(jīng)濟學(xué)家哈爾·瓦里安（Hal Varian）曾表示：②“我一直在說，未來十年最令人羨慕的人將是統(tǒng)計學(xué)家。大家認為我是在開玩笑，但誰會想到計算機工程師會是20世紀90年代最誘人的職業(yè)呢？”

三、清晰的推理及過程

PISA關(guān)于數(shù)學(xué)能力的測試中，最重視學(xué)生運用數(shù)學(xué)推理來解決問題的能力。這種推理能力的測試題目，對參與的學(xué)生來說，通常是困難的。許多學(xué)生不能給出預(yù)期的對問題分析的一系列論據(jù)鏈。

盡管如此，許多未通過測試的學(xué)生仍然試圖解決這些測試題目，因為他們喜歡做這些有趣而富有挑戰(zhàn)性的問題，不喜歡那些只需要簡單計算的題目。正因為如此，由于數(shù)學(xué)推理對數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要性，在未來的PISA測試中評估這些試圖解決問題的嘗試③是非常重要的，以獎勵那些使學(xué)生能接受正確教育的教育體系，通過認真篩選將要構(gòu)建的項目，使學(xué)生利用正確的推理方法來解答，實現(xiàn)對學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng)。

因此，我們建議擴展數(shù)學(xué)過程的描述（表述、應(yīng)用、解釋、評估），并在PISA數(shù)學(xué)框架內(nèi)確定這些處理過程為數(shù)學(xué)建模的主要組成部分，其中有七個最常用于尋找正確推理方法的推理工具，④如圖3所示。

學(xué)生給出的解答中對上述工具的成功運用可以衡量他們使用數(shù)學(xué)推理方法解決問題的能力。⑤通過這種方式，學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的測量將變得更加精確。

2015年P(guān)ISA數(shù)學(xué)框架草案規(guī)定：“2015年P(guān)ISA數(shù)學(xué)測試題目將分布于以下三個數(shù)學(xué)過程之一：1.以數(shù)學(xué)方法表述問題情境;2.運用數(shù)學(xué)概念、事實、過程和推理;3.解釋、應(yīng)用和評估數(shù)學(xué)結(jié)果。”

請注意，解釋原始現(xiàn)實問題的數(shù)學(xué)化結(jié)果的過程，以及從有用性角度來評估前面結(jié)果的過程，在圖2中是分開呈現(xiàn)的，在這里放在一起考慮。這是因為它們有一個共同的目標：重新評估數(shù)學(xué)模型的約束條件，以確定所獲得的解答是否合理，或者是否有必要繼續(xù)修改該模型。

當以數(shù)學(xué)方法解決問題時，人們經(jīng)常會面對量化的數(shù)據(jù)。單獨的數(shù)量是沒有任何意義的，它的意義來自與其他數(shù)量的關(guān)系。為了識別這些聯(lián)系，我們有三個基本工具：比較（comparison）、比例推理（propor-

tional reasoning）、應(yīng)用乘法量表（applying multi-plicative scales）。在利用數(shù)學(xué)方法進行公式化過程中，使用這些工具的能力是非常重要的。

比較：當一個數(shù)量與另一個相關(guān)的數(shù)量進行比較時，這個數(shù)量才有意義。例如，每年1萬億美元的貨幣利率本身意義不大，但如果它是政府預(yù)算或GDP的一部分，那么它就有意義了。另一個例子：在一篇報紙文章中僅僅讀到帶一個數(shù)字的句子，例如“100萬粉絲走上街頭慶祝體育團隊的勝利”（波士頓報紙上經(jīng)常出現(xiàn)）傳達的信息很少。只有將100萬與波士頓和內(nèi)城區(qū)的總?cè)丝冢s為100萬）進行比較時，這個數(shù)字才有意義（因為令人非常難以置信）。

比例推理：通過比較產(chǎn)生比率。理解比率變化之間的相關(guān)性（例如，長度加倍可獲得四倍于原來的面積），即比例推理的實質(zhì)，對于利用數(shù)學(xué)方法描述現(xiàn)實世界問題是至關(guān)重要的。在PISA框架之下，比例推理為PISA問題的解答提供了簡單的方法。

應(yīng)用乘法量表（包括指數(shù)增長）：下一個工具是以比率為單位進行計數(shù)——例如：太陽質(zhì)量大于地球質(zhì)量的多少可以用以2（或10）為底數(shù)的指數(shù)形式來表示。基于數(shù)量有較大范圍的差異，使用對數(shù)和指數(shù)尺度來表示數(shù)量。對數(shù)尺度能表示宇宙中長度、時間和能量的巨大的動態(tài)數(shù)量范圍。在人類社會中，指數(shù)增長模型有助于模擬人口、經(jīng)濟、流行病傳播或資源利用的增長。

由于模型的復(fù)雜性，在數(shù)學(xué)模型中運用數(shù)學(xué)概念和公理來推理也很困難。學(xué)生可能會被模型中出現(xiàn)的許多數(shù)學(xué)符號的含義搞得暈頭轉(zhuǎn)向。因此，簡化模型的能力是數(shù)學(xué)過程中運用階段的一個非常重要的方面。有四種基本的簡化工具，可幫助我們以可理解的方式表達現(xiàn)實世界的復(fù)雜性：拆分（divide and conquer）、歸并（lumping）、由簡入繁（consider first easy cases）、概率推理和邏輯推理（Probabilistic and logical reasoning）。

拆分：這個工具很久以前就被廣泛使用了。我們將難題分解成許多容易解答的部分。例如，在計算24+ 38時，學(xué)生可以將38分解為6和32，然后先計算24 +6= 30再計算30+32=62。對于PISA年齡的學(xué)生來說，可使用拆分來推理的一大類問題就是所謂的費米問題。例如：“一條繁忙的鐵路能運送多少乘客（每小時運送乘客數(shù)）？”為了解決這個問題，可將此問題化簡為該鐵路每小時有多少列車通過，每列車有多少車箱，每節(jié)車廂有多少乘客。費米問題有時也需要進行近似估算，這可由下一個推理工具——歸并來實現(xiàn)。

歸并：通過對數(shù)字的舍入運算或利用簡單形狀逼近復(fù)雜形狀的方法，忽略不太重要的細節(jié)問題，解決主要問題。因此，可將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題。例如，登富士山問題要求學(xué)生計算一個人步行的長度，這個人走了22，500步，總路程9公里，登上了富士山。簡單的歸并計算給出了近似的估計：大約20，000步走了大約10，000米，意味著每步約0.5米。

由簡入繁：當問題仍然太難時，可利用該問題的若干特例來理解這個問題。例如，在求解數(shù)學(xué)推測時，我們首先用n=0和n=1的特例來嘗試一下。或者，在個人和社會背景下，抵押貸款的利息就像年金保險一樣，在某種特殊情況下，它的利率乘以貸款期遠遠大于1;或者，在另一種特殊情況下，抵押貸款分期償還，它的利率乘以貸款期遠遠小于1。在每一種特殊情況下，支付額度是容易計算的，并且這個計算過程比一般的情況更容易理解。

概率推理和邏輯推理：數(shù)學(xué)過程中的完整“推理”流程要求利用概率推理或邏輯推理。利用概率推理來表示那些不確定的知識——特別是利用概率來假設(shè)事件發(fā)生的可能性。如：貝葉斯定理，它與證據(jù)和可信度有關(guān)，它是通過計算收集來的數(shù)據(jù)和證據(jù)來推理不確定的知識，這些知識用概率來描述它的改變。概率推理包括邏輯推理：在概率為0（假）或1（真）的簡單（極端）情況下，概率推理簡化為邏輯推理。

解釋和評估是由原始現(xiàn)實問題引出的，并通過比對數(shù)學(xué)推理所獲得的結(jié)果與現(xiàn)實生活的實際約束之間是否存在對應(yīng)關(guān)系。從數(shù)學(xué)推理計算中得到的數(shù)字必須與它所表達的實際情況數(shù)據(jù)相吻合。這樣做的同時，幾乎所有前面提到的數(shù)學(xué)過程都可以得到有效利用。例如，我們經(jīng)常發(fā)現(xiàn)學(xué)生不符合現(xiàn)實情況的解答：有人以50公里/小時的速度行走，或者200人同時進入電梯。如果這些學(xué)生養(yǎng)成了應(yīng)用“比較”“比例推理”“量表”或“歸并”算法的習(xí)慣，他們會很容易發(fā)現(xiàn)他們不符合現(xiàn)實情況的解答是不可信的。應(yīng)用簡單的邏輯也可以很容易排除其他類型的錯誤，例如坐在教室里的學(xué)生人數(shù)為負數(shù)。

四、知識相關(guān)性

持續(xù)關(guān)注現(xiàn)有重要的知識領(lǐng)域，納入新的重要/相關(guān)領(lǐng)域。

弗萊登塔爾研究所在描述“工作場所數(shù)學(xué)”時說：①“在許多職業(yè)中，最重要的是數(shù)字、數(shù)量、估算、數(shù)據(jù)處理和數(shù)據(jù)的不確定性;其次是空間和形狀、關(guān)系、變化、公式?！?/p>

英國皇家學(xué)會描述了以下工作場所的數(shù)學(xué)要求：②數(shù)學(xué)建模（例如自來水公司的能源需求、三明治的成本等）;軟件使用，問題應(yīng)對（例如采油、污水排放等）;成本核算（分配、爭議管理）（例如醫(yī)院保潔承包合同、鐵路管理等）;業(yè)績和比率（例如保險比率、血糖指數(shù)等）;風(fēng)險（例如臨床管理、保險等）質(zhì)量/ SPC控制（例如家具、機器停產(chǎn)時間、軌道偏差等）;

更一般地說，美國國家科學(xué)基金會已聲明：③“更加重視估算，心理數(shù)學(xué)……”“不太重視紙張/鉛筆的演算……”“……代數(shù)，幾何，預(yù)科微積分和三角學(xué)中的內(nèi)容需要精簡，為重要的新主題騰出空間?！薄氨仨氁腚x散數(shù)學(xué)，統(tǒng)計/概率和計算機科學(xué)?！?/p>

基于本文至此所涉及的所有討論，針對相關(guān)數(shù)學(xué)知識的領(lǐng)域需求，以及個人、社會和職業(yè)④需求（同時尊重PISA分類和聚焦）的重要性，特提出以下建議（表2、表3）。

上述內(nèi)容對于重點領(lǐng)域的定位，與先前描述的推理/過程技能是非常一致的，并成為數(shù)學(xué)過程不可分割的部分，并且提供了解決這些領(lǐng)域問題所需的工具，特別適合于應(yīng)對現(xiàn)實世界的各種情境。

五、培養(yǎng)能力（技能、品格、元學(xué)習(xí)）

注意：對于批判性思維（技能），上面關(guān)于顯性推理的部分已經(jīng)描述了一些需要學(xué)習(xí)的高階思維技能，此外還有技能和元學(xué)習(xí)。有關(guān)創(chuàng)造力（非規(guī)范性答案）和元認知，CCR（美國課程再設(shè)計中心）在數(shù)學(xué)創(chuàng)造力和元認知方面確定了以下發(fā)展過程：使用標準解題思路解答練習(xí)和問題;使用非標準解題思路解答練習(xí)和問題（創(chuàng)新思維）;發(fā)現(xiàn)新的現(xiàn)實問題，并使用標準和非標準解題思路解答（創(chuàng)新思維）;創(chuàng)建新問題，并使用標準和非標準解題思路解答（創(chuàng)新思維）;創(chuàng)建新的問題類（元認知擴展）并探索可解性。

（一）衡量數(shù)學(xué)思維中的創(chuàng)造力

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生能夠?qū)⑺麄儗W(xué)到的數(shù)學(xué)知識、技能和工具靈活地應(yīng)用于現(xiàn)實中面臨的各種問題和挑戰(zhàn)，是這些學(xué)生應(yīng)該達到的基本學(xué)習(xí)要求。這也是PISA數(shù)學(xué)素養(yǎng)中明確規(guī)定的基本要求之一。將知識靈活地應(yīng)用于新情況和新問題通常包含認知方法的創(chuàng)新，尤其是非常規(guī)方法的創(chuàng)新。這被認為是教育/學(xué)習(xí)難以攀登的高峰。這種靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的思路是與創(chuàng)造性思維和解決數(shù)學(xué)難題的能力密切相關(guān)的。

教育工作者在實現(xiàn)登頂“珠峰”的過程中面臨著巨大的挑戰(zhàn)：學(xué)生如何才能靈活地將他們的知識從已知領(lǐng)域遷移并應(yīng)用到未知領(lǐng)域？以標準解答來評估學(xué)生知識的傳統(tǒng)多項選擇題，這些題包含基本算法和概念的使用，這樣的題目是不可能訓(xùn)練出能靈活運用知識并具有創(chuàng)造性思維的學(xué)生的。要想培養(yǎng)創(chuàng)新思維的學(xué)生，這些題目應(yīng)該要求學(xué)生解釋他們是如何用一種或多種方法來思考解決這個數(shù)學(xué)問題的，或者要求學(xué)生說明包括非常規(guī)的解題方法在內(nèi)的幾種不同的解題方法。這類題目已成功應(yīng)用于衡量教師在數(shù)學(xué)教學(xué)方面的知識技能①。以下題目原型展示了一個例子（如例1所示），用以說明這些題目在嘗試評估學(xué)生對數(shù)學(xué)情境的創(chuàng)造性方法時可能會是什么樣子。

例1

下面關(guān)注創(chuàng)造力的例子，要求受試學(xué)生評估四個樣本學(xué)生分別給出的解答。學(xué)生Allan的解答很可能被認為是標準解答，但學(xué)生Cristine的解答也是正確的。受試學(xué)生必須根據(jù)提供的解題標準來評估每個人的解答。這要求受試學(xué)生不能只是簡單地選擇標準解答，還要評估非標準解答。因此，他們必須運用他們的知識來評估所給出的每個解答，以便找出正確的選項。只有一個選項是正確的（選項6）。

C是線段AB上的點。ACM和BCN為等邊三角形，請問：AM=BM是否成立？

四位學(xué)生所作圖如圖4所示：

哪位學(xué)生或者哪幾位學(xué)生的圖形滿足上述條件？

（1）Allan的圖

（2）Betty的圖

（3）Cristine的圖

（4）Dave的圖

（5）Allan和Betty的圖

（6）Allan和Cristine的圖

（7）Betty和Dave的圖

（8）全部四個人的圖

有些人②將創(chuàng)造力定義為能利用現(xiàn)有信息做出創(chuàng)新決策，在PISA案例中現(xiàn)有信息包含定量的信息。下面的示例（如例2所示）包含這種情況：

例2

國防預(yù)算項目：③

在某個國家，1980年的國防預(yù)算為3000萬美元。該年度的預(yù)算總額為5億美元。次年，國防預(yù)算為3500萬美元，而預(yù)算總額為6.05億美元。兩個預(yù)算期間的通貨膨脹率為10%。

（1）邀請某人為和平協(xié)會舉辦講座。他們想解釋一下這一年國防預(yù)算有所減少。如何解釋才能說明預(yù)算的減少。

（2）邀請某人到軍事學(xué)院演講。他們想聲稱這一年國防預(yù)算有所增加。如何解釋才能說明預(yù)算的增加。

（二）涉及元認知的數(shù)學(xué)能力

在下面的例子（如例3所示）中，要求受試學(xué)生評估由三名樣本學(xué)生給出的問題解答。為了正確評估這些解答，學(xué)生必須理解三個概念：自然數(shù)的定義、數(shù)字平方的定義以及如何確定概率。一旦受試學(xué)生確定了自己認為正確的解答（Monica的方案），就需要解釋余下的兩個自己認為錯誤的解答，并說明其錯誤的原因。這要求受試學(xué)生反思每個學(xué)生給出的推理，并找出導(dǎo)致對問題不恰當解答的潛在錯誤推理。這類題目要求學(xué)生思考不同的解題方案，并提出假設(shè)，捕捉不同解題方案中所體現(xiàn)的思想——元認知任務(wù)。

例3

John選擇了一個任意自然數(shù)，然后加以平方，取平方后最后一個數(shù)字，這個數(shù)是1的概率是多少？

下面是三個學(xué)生的回答：

Lisa：總共有10位數(shù)。每一個數(shù)字成為最后一位數(shù)字的機會相同，因此概率為1/10=10%。

Monica：個位數(shù)的平方只與被選擇的自然數(shù)的個位數(shù)的平方有關(guān)。個位數(shù)的平方只有10個數(shù)字可能：1，4，9，6，5，6，9，4，1，0。因為有兩個1，所以概率為2/10=20%。

Silvia：概率無法確定，因為有無數(shù)多的自然數(shù)，無法測試所有可能性。

以上答案中，哪一個最恰當（只選一個答案）？

Lisa…………………（）

Monica………………（）

Silvia…………………（）

下面哪一個選項最恰當?shù)乇硎玖似渌麅蓚€學(xué)生存在的問題（至多兩個選項）：

（1）不理解平方是指什么

（2）不理解自然數(shù)是指什么

（3）沒有考慮到最后一位數(shù)已經(jīng)確定是1了

（4）覺得題目太難放棄了

（5）沒有考慮恰當?shù)淖匀粩?shù)

（6）不理解概率是指什么

有關(guān)品格（修復(fù)力/堅毅）的數(shù)學(xué)能力，請參閱下面有關(guān)日志數(shù)據(jù)的部分。

六、創(chuàng)新工具

PISA近期最重要的教學(xué)方法變化是從紙質(zhì)評估過渡到基于計算機的評估（CBA），大多數(shù)PISA的參與國在2015年已經(jīng)實現(xiàn)這一轉(zhuǎn)變。這項創(chuàng)新變化提高了評估的可靠性，并能持續(xù)與社會數(shù)字化保持同步。在數(shù)學(xué)素養(yǎng)的評估中，CBA的出現(xiàn)為衡量學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力提供了新的途徑。

（一）數(shù)學(xué)中的計算

注意：這不是計算機輔助教學(xué)！也不是計算機科學(xué)或編程。①

從本質(zhì)上講，數(shù)學(xué)是一項解決問題的思維活動。根據(jù)PISA 2015數(shù)學(xué)框架草案，數(shù)學(xué)是一個不斷迭代的循環(huán)過程：問題定義—數(shù)學(xué)化轉(zhuǎn)換—結(jié)果計算—解釋。原來數(shù)學(xué)教育和評價都專注于利用紙質(zhì)化來實現(xiàn)這一循環(huán)過程。隨著計算機在數(shù)學(xué)上應(yīng)用的增長，這一循環(huán)的關(guān)注點發(fā)生了轉(zhuǎn)移，為PISA提供了一個創(chuàng)新的機遇——引入新的評估方式來衡量更廣泛的數(shù)學(xué)技能。

在計算機的創(chuàng)意編碼環(huán)境中可以構(gòu)建數(shù)學(xué)技能評價的交互式場景，計算機能以受控方式自動評價數(shù)學(xué)技能的完整循環(huán)?；谠朴嬎愕臄?shù)據(jù)傳遞確保了對數(shù)學(xué)技能評價的安全便捷，并確保每位學(xué)生可以獲得唯一和真實的測試數(shù)據(jù)，想要在傳統(tǒng)紙質(zhì)版本中實現(xiàn)這樣的測試幾乎是不可能的。團隊協(xié)作技能也能在計算機模擬的逼真情境下得到充分的訓(xùn)練。

例如，使用短閉合問題將被評估學(xué)生的能力抽象成編碼，就可實現(xiàn)自動評估。這樣的話，通過更廣泛地拓展任務(wù)，以端對端的方式，沿著完整問題的解決路徑，去評估開放性問題也是可能的。任務(wù)示例見表4、表5（見下頁）。

（二）使用日志數(shù)據(jù)

在評估過程中分析學(xué)生采取的步驟和思路有助于了解學(xué)生如何嘗試解答問題，如應(yīng)用數(shù)學(xué)推理，遵循反復(fù)學(xué)習(xí)原則，通過不斷嘗試或簡單地猜測來解答多項選擇題。為此，應(yīng)設(shè)計開發(fā)這樣的數(shù)學(xué)PISA項目，項目的解答既可以通過一個較長時間反復(fù)的推理過程來解答，又可以應(yīng)用涉及一定難度的數(shù)學(xué)知識的快速推理過程來解答。最終目的是對評估結(jié)果錯誤/正確的二分法的補充，了解了學(xué)生運用數(shù)學(xué)推理的能力。①

使用日志數(shù)據(jù)的另一個作用是衡量學(xué)生的修復(fù)力/堅毅，這兩點品質(zhì)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成功至關(guān)重要。堅毅與數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績之間的關(guān)系如圖5所示（見上頁）

參考文獻

文獻來源：Sanjoy Mahajan，Zbigniew Marciniak，Bill Schmidt，

Charles Fadel PISA Mathematics in 2021：An analysis of the CENTER FOR CURRICULUM REDESIGN.2016.CCR。原文報告共45頁。后20頁是數(shù)學(xué)試題實例，根據(jù)作者建議未做翻譯。

報告原文下載https：//curriculumredesign.org/wp-content/up-

loads/Recommendations-for-PISA-Maths-2021-FINAL-EXTENDED-VERSION-WITH-EXAMPLES-CCR.pdf.

（責(zé)任編輯 杜丹丹 王策）

PISA Mathematics in 2021

—An analysis of the CCR

Authors：Sanjoy Mahajan，Zbigniew Marciniak，Bill Schmidt，Charles Fadel

Translators：WANG Mingjun，SHENG Qunli

（1.Olin College of Engineering，America;

2.University of Warsaw，Poland;

3.Michigan State University，America;

4.Center for Curriculum Redesgin，America;

5.School of Education，Lishui University，Lishui，Zhejiang，China 323000;

6.School of Education，Zhejiang University，Hangzhou，Zhejiang，China 310028）

Abstract： Mathematics is a foundation for understanding the world，citizenship and economic growth.As the 21st century bears little resemblance to the 19th century，education curricula are overdue for emphasizing depth of understanding and versatility，to meet the needs of our global society.The PISA test on mathematics measures，among other things， students’ability to employ mathematical reasoning while solving problems.We suggest enriching the descriptions of the mathematical processes（formulate，employ，interpret，evaluate），identified in the PISA Mathematics Framework as the main components of the modeling cycle，with seven reasoning tools which are most commonly used in search of the right approach：formulating situations mathematically（comparison， proportional reasoning，applying multiplicative scales）;employing mathematical concepts，facts， procedures，and reasoning（divide and conquer，lumping，consider first easy cases，probabilistic and logical reasoning）;and interpreting，applying and evaluating mathematical outcomes. PISA Mathematics Literacy Areas involves Shape & Space，Change & Relationships，Uncertainty & Data and Quantity， also developing creativity in mathematical thinking and competencies（Skills，Character，Meta-Learning）.

Key words： mathematics literacy and competencies;PISA mathematics framework;reasoning tools; problem solving ability.