李婧巖 李曉虹 程叢電

摘 要：提出一種復合函數(shù)求導教學改革方案.方案通過加深理解一元復合函數(shù)求導與多元復合函數(shù)求導的共性與聯(lián)系出發(fā)，改革復合函數(shù)求導教學，提高教學水平.一元復合函數(shù)的求導公式與鏈式法則是學好復合函數(shù)求導的關鍵，加深對二者共性與聯(lián)系的認識有利于教與學.

關鍵詞：復合函數(shù)；求導； 鏈式法則；教改

[中圖分類號]G640 [文獻標志碼]A

A Consideration on The Teaching of Derivatives of Complex Functions

LI JingYana ，LI XiaoHongb，CHENG CongDiana

（a.School of Mathematics and System Science；b.College of Educational Science， Shenyang Normal University，Shenyang 110034，China）

Abstract：The derivation formula of composite functions and the chain rule on the derivation of multivariate composite functions are the key to learn the derivation of composite functions well and deepening the understanding of their commonness and connection is beneficial to teaching. This paper tries to show their commonness and connection， and further proposes a teaching reform plan. Finally， the effects of the proposed reform plan are explained.

Key words：composite functions； derivation； chain rule； teaching reform

復合函數(shù)求導法則是高等數(shù)學和數(shù)學分析教學中的一項重要內容，也是一個教學難點.一元復合函數(shù)的求導公式與鏈式法則具有很強的共性，復合函數(shù)求導公式是鏈式法則的特例，由后者可以推出前者；鏈式法則是復合函數(shù)求導公式的推廣與發(fā)展.本文從加深理解一元復合函數(shù)求導與多元復合函數(shù)求導的共性與聯(lián)系出發(fā)，提出教改方案.

1 復合函數(shù)求導公式與鏈式法則的共性

1.1 基礎知識

一元復合函數(shù)求導公式 設u=φ（x）在x0可導，y=f（u）在點u0=φ（x0）可導，則復合函數(shù)f（φ（x））在點x0可導，且

f（φ（x0））′=f′（u0）φ′（x0）=f′（φ（x0））φ′（x0）.（1）

鏈式法則 若函數(shù)x=φ（s，t），y=ψ（s，t）在點（s0，t0）可微，函數(shù)z=f（x，y）在點（x0，y0）=（φ（s0，t0），ψ（s0，t0））可微，則復合函數(shù)z=f（φ（s，t），ψ（s，t））在點（s0，t0）可微，且它們關于s和t的偏導數(shù)分別為

1.2 鏈式法則是復合函數(shù)求導公式的發(fā)展與推廣

設z=f（x，y），x=x（t），y=y（t），且它們具有良好的分析性，則關于函數(shù)z（t）=f（x（t），y（t）），有

顯然，由復合函數(shù)求導公式（1）到式（3），再由式（3）到式（2）是一個自然的演化過程，說明鏈式法則是復合函數(shù)求導公式的發(fā)展與推廣.

1.3 復合函數(shù)求導公式是鏈式法則的特例

設z=f（x（s），y（s））在鏈式法則式（2）中，令φ（s，t）=x（s），ψ（s，t），則xt=0，yt=0，xs=x′（s），fs=y′（s），于是由式（2）可得z′=fx·x′（s）+fy·y′（s），這便是式（3）.又設z=f（y（s）），并令x（s）=0，g（x（s），y（s））=x（s）+f（y（s）），則有z=f（y（s））=g（x（s），y（s）），且gx=1，fy=f′（y），x′（s）=0，故由式（3）可得z′（s）=gx·x′（s）+fy·y′（s）=f′（y（s））·y′（s）；再令y=z，φ（s）=y（s），x=s，則有y′（x）=f′（φ（x））·φ′（x），這便是復合函數(shù)的求導公式（1）.

式（2）可以推出式（3），式（3）可以推出式（1），說明復合函數(shù)的求導公式是鏈式法則的特例.

復合函數(shù)求導公式與鏈式法則有著密切的聯(lián)系與共性.在教學中加強對共性與聯(lián)系的認識，可以減少因相關公式過多產生混淆而出現(xiàn)的運算錯誤，又能夠提高學生處理復合函數(shù)求導問題的靈活性與熟練程度.

2 復合函數(shù)求導教學改革方案

環(huán)節(jié)1 增加z=f（x，y），x=x（t），y=y（t）類函數(shù)求導例題，為后面講授公式（3）做適當?shù)匿亯|.

例1 設函數(shù)z=1+x1+y，而x=sint，y=cost，求dzdt.

解 易知，y=1-x2，而z=1+x1+1-x2，故

dzdt=d（1+x）dt·11+1-x2+d11+1-x2dt ·（1+x）=1+sint+cost（1+cost）2.

解題略去了復雜的計算過程，使學生初步認識z=f（x（s），y（s））這種類型函數(shù)的求導問題，初步接觸多元復合函數(shù)求導問題，認識到用復合函數(shù)求導公式解這類問題的難度，從而激發(fā)學生學習多元復合函數(shù)求導的興趣，產生簡化z=f（x（s），y（s））這樣函數(shù)求導過程的想法.

環(huán)節(jié)2 在講授完偏導數(shù)與多元函數(shù)微分內容后，增加偏導數(shù)在復合函數(shù)求導中的應用，證明公式（3）.

例2 用公式（3）重解例1.

解 此復合函數(shù)以t為自變量，x，y為中間變量.易知

zx=11+cost，zy=-1+sint（1+cost）2， dxdt=cost，dydt=-sint，

由公式（3）可以得到 dzdt=1+sint+cost（1+cost）2.

證明公式（3）可較明確地展示出一元復合函數(shù)求導公式與鏈式法則的共性.通過例題的講授，可使學生加深對導數(shù)與偏導數(shù)聯(lián)系的認識，并認識到利用這種聯(lián)系，即運用公式（3）進行求導可降低運算難度，從而為學習鏈式法則搭建橋梁.

環(huán)節(jié)3 講授鏈式法則，說明公式（1）和公式（3）都是公式（2）的特例，并用運用公式（2）重解例題.

例3 用公式（2）重解例1.

解 這時，xt=dxdt，yt=dydt，zt=dzdt，所以，

dzdt=zt=zx·dzdt+zy·dzdt =cost1+cost-（-sint）·（1+sint）（1+cost）2 =1+sint+cost（1+cost）2.

補加環(huán)節(jié)1和環(huán)節(jié)2為講授多元復合函數(shù)求導做了充分地鋪墊，講授鏈式法則既可以降低講授難度，又可以使學生更好地掌握該公式.例3進一步表現(xiàn)了導數(shù)與偏導數(shù)的聯(lián)系，利用這種內在聯(lián)系可以簡化復合函數(shù)的求導過程，潛在地說明復合函數(shù)的求導公式：即公式（1）與公式（3）都是公式（2）的特例，從而可使學生學會根據(jù)問題的特點運用適當?shù)墓剑鰪娺\用公式的熟練程度與靈活性.

3 總結

對復合函數(shù)求導教學進行改革，添加三個教學環(huán)節(jié)，既可以加深學生對于導數(shù)與偏導數(shù)聯(lián)系的認識，又可使學生遞進式地學習鏈式法則，從而化解這個教學難點，提高學生運用復合函數(shù)求導公式與鏈式法則進行求導運算的能力.充分重視對一元復合函數(shù)求導與多元復合函數(shù)求導的共性與聯(lián)系的認識，能降低學生掌握復合函數(shù)求導的難度，提高學生運算能力.

編輯：吳楠