摘 要：討論高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)這三門基礎(chǔ)課中的幾個(gè)數(shù)學(xué)概念，并說明其相通之處.

關(guān)鍵詞：奇函數(shù)；偶函數(shù)；對(duì)稱矩陣；反對(duì)稱矩陣

[中圖分類號(hào)]G642 [文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A

University Mathematics：Interconnection of Different Course Concepts

ZHI Jie

（Lanzhou University of Finance and Economics， School of Information Engineering， Lanzhou 730020，China）

Abstract：This paper discusses several mathematical concepts in three basic courses of higher mathematics， linear algebra， probability theory and mathematical statistics， and explains their interconnection.

Key words：odd function；even function；symmetric matrix；antisymmetric matrix

高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)這三門課程構(gòu)成了大學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)課.本文分析這三門基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程中某些概念的相通之處，目的是提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率和學(xué)習(xí)興趣.

1 奇函數(shù)、偶函數(shù)與對(duì)稱矩陣、反對(duì)稱矩陣

函數(shù)的奇偶性是高等數(shù)學(xué)中的概念，而對(duì)稱矩陣、反對(duì)稱矩陣是線性代數(shù)中的概念，二者屬于不同的數(shù)學(xué)方向.

1.1 定義

定義1[1] 設(shè)函數(shù)f（x）的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.如果對(duì)于任一x∈D，f（-x）=f（x）恒成立，則稱f（x）為偶函數(shù).如果對(duì)于任一x∈D，f（-x）=-f（x）恒成立，則稱f（x）為奇函數(shù).奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱.

定義2[2] 設(shè)A為n階方陣.如果AT=A，即aij=aji（i，j=1，2，…，n），則稱A為對(duì)稱矩陣.如果AT=-A，即aij=-aji（i，j=1，2，…，n），則稱A為反對(duì)稱矩陣.對(duì)稱矩陣中元素特點(diǎn)是關(guān)于主對(duì)角線對(duì)稱，反對(duì)稱矩陣中元素特點(diǎn)是主對(duì)角線上元素為零，其余元素關(guān)于主對(duì)角線反對(duì)稱.

可以這樣考慮，定義2中的A可以看作定義1中的f（x），定義2中的AT可以看作定義1中的f（-x）.

1.2 運(yùn)算特點(diǎn)

奇函數(shù)與偶函數(shù)有下列運(yùn)算特點(diǎn)：

（1）兩個(gè)奇（偶）函數(shù)的和、差仍是奇（偶）函數(shù)；

（2）兩個(gè)奇（偶）函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；

（3）一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)的乘積是奇函數(shù).

矩陣的乘法不滿足交換律，為了尋找與奇（偶）函數(shù)的相通之處，關(guān)于對(duì)稱矩陣與反對(duì)稱矩陣的運(yùn)算特點(diǎn)在矩陣乘法可交換條件下討論.

對(duì)稱矩陣與反對(duì)稱矩陣有下列運(yùn)算特點(diǎn)；

（1）兩個(gè)對(duì)稱（反對(duì)稱）矩陣的和、差仍是對(duì)稱（反對(duì)稱）矩陣；

（2）在可交換條件下，兩個(gè)對(duì)稱（反對(duì)稱）矩陣的乘積是對(duì)稱矩陣；

（3）在可交換條件下，一個(gè)對(duì)稱矩陣和一個(gè)反對(duì)稱矩陣的乘積是反對(duì)稱矩陣.

1.3 例證

例1[1] 設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?l，l），證明必存在（-l，l）上的偶函數(shù)g（x）及奇函數(shù)h（x），使得f（x）=g（x）+h（x）.

分析：假設(shè)有這樣的g（x），h（x）存在，滿足g（-x）=g（x），h（-x）=-h（x），并且使得f（x）=g（x）+h（x）.

于是，

f（-x）=g（-x）+h（-x）=g（x）-h（x），

則結(jié)合上面的式子，以g（x），h（x）為未知量求解，得

g（x）=12f（x）+f（-x），

h（x）=12f（x）-f（-x）.

可以得到下面的證明.

證明 構(gòu)造g（x）=12f（x）+f（-x），h（x）=12f（x）-f（-x），且g（x）為偶函數(shù)，h（x）為奇函數(shù).則f（x）=g（x）+h（x），證畢.

例2[3] 證明實(shí)數(shù)域上任意一個(gè)n階方陣都可以表示成一個(gè)對(duì)稱矩陣和一個(gè)反對(duì)稱矩陣之和.

分析：由函數(shù)奇偶性、矩陣對(duì)稱性定義和例1的啟發(fā)很容易就得到證明.

證明 設(shè)實(shí)數(shù)域上n階方陣A.構(gòu)造n階矩陣B=12（A+AT），C=12（A-AT）.

因?yàn)?/p>

BT=12（A+AT）T=12（AT+A）=B，

即B為對(duì)稱矩陣.

同理，

CT=12（A-AT）T=12（AT-A）=-C，

即C為反對(duì)稱矩陣.

從而，A=B+C.證畢.

從上面的討論可以看出，對(duì)于不同方向的不同概念，只要找到其相通之處，有關(guān)的概念理解和問題討論就可以迎刃而解了.

2 向量?jī)?nèi)積的一條性質(zhì)和協(xié)方差的一條性質(zhì)

在學(xué)習(xí)向量?jī)?nèi)積和隨機(jī)向量協(xié)方差時(shí)，感覺上二者是風(fēng)馬牛不相及的，但實(shí)則不然，二者的性質(zhì)中有一條表述一致，其證明方法也有異曲同工之妙.

定理1[2] 設(shè)α，β為Rn中的向量，則有|αTβ|≤‖α‖·‖β‖.等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)α與β線性相關(guān).

證明 若α，β中至少有一個(gè)是零向量，結(jié)論必然成立.

設(shè)α，β同時(shí)為非零向量.考慮α+tβ（t≠0為實(shí)數(shù)），則α+tβ=0（線性相關(guān)）或α+tβ≠0（線性無關(guān)）.

f（t）=（α+tβ）T（α+tβ）≥0，

即

f（t）=αTα+2tαTβ+t2βTβ≥0，

此時(shí)，不等式左邊是關(guān)于t的一元二次函數(shù)，該二次函數(shù)≥0，也就是說，二次方程

αTα+2tαTβ+t2βTβ=0

無實(shí)根或有兩個(gè)相等的實(shí)根，即Δ≤0，

從而，

（2αTβ）2-4·αTα·βTβ≤0，

即|αTβ|≤‖α‖·‖β‖成立.

定理2[4] 對(duì)任意隨機(jī)變量X，Y，有|Cov（X，Y）|≤DX·DY.等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)X與Y幾乎處處線性相關(guān)，即

P{Y=aX+b}=1.

證明 構(gòu)造關(guān)于實(shí)變量t的二次函數(shù)f（t）=D（X+tY）（t≠0），由方差的性質(zhì)，顯然f（t）=D（X+tY）≥0.

根據(jù)方差的性質(zhì)展開上式，得

f（t）=DX+2tCov（X，Y）+t2DY≥0，

則關(guān)于實(shí)變量t的二次方程DX+2tCov（X，Y）+t2DY=0沒實(shí)根或有兩個(gè)相等的實(shí)根，即Δ≤0，從而，

2Cov（X，Y）2-4·DX·DY≤0，

即

|Cov（X，Y）|≤DX·DY成立.

3 兩個(gè)隨機(jī)變量和差的方差公式和完全平方和差公式

公式[4] 對(duì)任意隨機(jī)變量X，Y，有D（X±Y）=DX±2Cov（X，Y）+DY.

中間項(xiàng)很像完全平方和差公式（a±b）2=a2±2ab+b2，這樣記憶起來方便很多.

大學(xué)數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)中，有很多概念或問題都有相通之處，本文只是簡(jiǎn)單作了介紹，希望同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)的過程中將知識(shí)點(diǎn)貫穿、聯(lián)系，逐步探索、理解，最終可以將這種學(xué)習(xí)方法應(yīng)用到其他知識(shí)的學(xué)習(xí)和以后的工作中.

參考文獻(xiàn)

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)：上冊(cè)[M].北京：高等教育出版社，2007.717.

[2] 張禾瑞，郝鈵新.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2007.332340.

[3] 馬杰.線性代數(shù)復(fù)習(xí)指導(dǎo)[M].北京：科學(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社，2001.7490.

[4] 李伯德，智婕.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：科學(xué)出版社，2015.99108.

[5] 智婕.矩陣等價(jià)、相似、合同的聯(lián)系[J].牡丹江師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011（3）：23.

[6] 崔艷，儲(chǔ)亞偉，馬玉田，等.復(fù)變函數(shù)中積分中值定理的改進(jìn)和推廣[J].牡丹江師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2017（2）：3435+40.

編輯：吳楠