孟維帥
(遼寧省大連市莊河市第五高級中學(xué))
定義在R的奇函數(shù)可以任性使用f(0)=0
孟維帥
(遼寧省大連市莊河市第五高級中學(xué))
就上述問題,不由讓筆者引起思考,倘若函數(shù)在x=0處有定義,一般的來說,定義在R上的奇函數(shù)難道就可以任性地使用f(0)=0來求參嗎?筆者認(rèn)為,結(jié)合具體實例來研究這個問題不失為一個好辦法.
通過例1,發(fā)現(xiàn)定義在R上的奇函數(shù)可以任性的使用f(0)=0來求出參數(shù)a,但是一個例子的佐證似乎顯得有些蒼白,因此筆者再選一例來討論定義在R上的奇函數(shù)是否任性的使用f(0)=0來求參.
當(dāng)a=1時,函數(shù)f(x)=ex-e-x.
此時f(-x)=e-x-ex,顯然f(x)+f(-x)=0.
當(dāng)a=-1時,函數(shù)f(x)=e-x-ex,
此時f(-x)=ex-e-x,顯然f(x)+f(-x)=0.
綜上,a=±1都會使得函數(shù)f(x)為奇函數(shù).
例2似乎進(jìn)一步鞏固了例1的說法,即定義在R的奇函數(shù)可利用f(0)=0來求解析式中的參數(shù),討論也仿佛到了尾聲,結(jié)論好像已如磐石那般堅定,然而筆者卻始終心存疑慮,并開始尋找定義域為R的反例,最終尋得一例,并予以說明:
例3 已知函數(shù)f(x)=ax2+(a-1)x+a2-a(a∈R)為奇函數(shù),求實數(shù)a的值.
解法一:不難看出,函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù),利用f(0)=0可得a2-a=0,解得a=0或a=1.
當(dāng)a=0時,f(x)=-x,此時f(-x)=x,于是f(x)+f(-x)=0,
由奇函數(shù)的定義可知,函數(shù)f(x)為奇函數(shù).
當(dāng)a=1時,f(x)=x2,此時f(-x)=f(x),函數(shù)f(x)為偶函數(shù),而并非奇函數(shù).
此例是以簡單的多項式函數(shù)來構(gòu)造成功反例,推翻了定義在R的奇函數(shù)可任性使用f(0)=0來求解析式中的參數(shù),例子雖然簡單但是足以說明問題,即使是定義在R上的奇函數(shù),也不可以任性地使用f(0)=0來求參數(shù).
通過對三道例題的分析,例1和例2說明f(0)=0確實是為求定義域為R上的奇函數(shù)中的參數(shù)問題提供了便利,但同時例3警示此類做法的風(fēng)險,同時也指出此類方法檢驗的必要性.
·編輯 魯翠紅