吳麗華

摘 ?要：不定積分作為高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，課堂教學(xué)效果通常不是很理想。文章針對不定積分教學(xué)和學(xué)習(xí)中存在的問題，進(jìn)行了總結(jié)和分析，并提出一些課堂教學(xué)建議。

關(guān)鍵詞：原函數(shù);不定積分;不定積分方法

中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：2096-000X（2019）11-0131-03

Abstract： As one of the most important content in advanced mathematics， indefinite integral is usually not well grasped and applied by students after classroom teaching. The article summarizes and analyzes the problems existing in the teaching and learning of indefinite points， and proposes some classroom teaching suggestions.

Keywords： antiderivative; indefinite integral; method of indefinite integral

一、概述

眾所周知，高等數(shù)學(xué)是高等學(xué)校教育必修的基礎(chǔ)課程。它不僅與很多學(xué)科都有著緊密的聯(lián)系，而且應(yīng)用也非常廣泛。不定積分是連接高等數(shù)學(xué)中微分和積分兩大板塊的紐帶，起著承上啟下的作用。一方面，不定積分是求導(dǎo)或微分的逆運(yùn)算;另一方面，它又是積分學(xué)中牛頓-萊布尼茨公式應(yīng)用的關(guān)鍵。不定積分掌握不好，直接影響后續(xù)整個積分學(xué)的學(xué)習(xí)。初學(xué)者往往由于對不定積分的概念、定理理解不夠深刻，以及基本方法掌握不好，對此望而生畏.因此，正確深刻理解不定積分的概念、定理并靈活掌握不定積分的計算方法，是學(xué)好不定積分的關(guān)鍵。筆者依據(jù)自身多年高等數(shù)學(xué)和經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)的教學(xué)經(jīng)歷，結(jié)合教學(xué)過程中學(xué)生普遍比較困惑的問題，深刻剖析了問題產(chǎn)生的原因，并在此基礎(chǔ)上，提出了一些課堂教學(xué)的建議，以供參考。

二、不定積分概念的理解

本節(jié)將簡要介紹原函數(shù)和不定積分的定義，并指出其中易被忽視的細(xì)節(jié)，希望能夠幫助初學(xué)者加深對基本概念的理解。

三、不定積分方法的正確掌握和靈活運(yùn)用

本節(jié)將簡單歸納不定積分的計算方法，并對其適用范圍進(jìn)行分析。特別地，筆者將仔細(xì)剖析教材中第二換元定理應(yīng)用的不恰當(dāng)之處。

一般地，高等數(shù)學(xué)教材中介紹的不定積分的方法主要有基本積分表、換元法、分部積分法以及有理函數(shù)的積分法。方法雖然多，但初學(xué)者往往不知如何應(yīng)用。通常拿到一道不定積分的題后，不知該選擇哪種方法來計算。因此，正確掌握這些方法并能靈活應(yīng)用到具體計算中是不定積分學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容。為此，我們要對這些方法有一個清晰的認(rèn)識，對其適用范圍要有一定的判斷。

首先，筆者認(rèn)為基本積分表是不定積分計算的基礎(chǔ)，可以說任何不定積分，不論采用什么方法，最終都要?dú)w結(jié)到基本積分表的應(yīng)用。因此，基本積分表是學(xué)生在學(xué)習(xí)時必須要牢牢記住的。因基本積分表是由基本求導(dǎo)公式和不定積分的定義推導(dǎo)而得，故只要知道基本求導(dǎo)公式，結(jié)合不定積分的定義，很容易就能記住基本積分表。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)自然少不了要記一些公式，但如果在理解的基礎(chǔ)上去記，比死記硬背要容易得多。

注：我們知道，不定積分計算的靈活性較大，實際計算時，不同的人可能采用的方法不同，這樣所得結(jié)果可能會形式上不一樣，學(xué)生對此頗有疑惑。事實上，某些函數(shù)，尤其是三角函數(shù)或反三角函數(shù)之間存在著許多恒等式，借助它們可以將表達(dá)式改寫成其他的形式，所以出現(xiàn)這種情況也屬正常。學(xué)生在碰到這類情況時，應(yīng)意識到可能存在恒等關(guān)系，并可以應(yīng)用分析中的方法來證明該恒等式，驗證結(jié)論無誤。

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