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        周期函數(shù)的原函數(shù)問題剖析*

        2021-11-09 01:02:36蔡水英李德新
        海峽科學 2021年8期
        關(guān)鍵詞:洛必達原函數(shù)任意性

        蔡水英 李德新

        (福建農(nóng)林大學計算機與信息學院,福建 福州 350002)

        0 引言

        1 周期函數(shù)的原函數(shù)的分解

        設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,如果存在一個正數(shù)T,使得對于任一x∈D有(x±T)∈D,且f(t+T)=f(t)恒成立,那么稱f(x)為周期函數(shù),稱T為f(x)的周期,通常我們說周期函數(shù)的周期是指最小正周期[2]。

        所以G(x)是周期為T的連續(xù)函數(shù)。從而有:

        2 連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)的周期性

        引理1設(shè)f(x)是R上一個連續(xù)周期函數(shù),則f(x)的所有原函數(shù)要么都是周期函數(shù),要么都不是周期函數(shù)。

        任取一個常數(shù)c,Φ(x)+c為f(x)的一個原函數(shù)。

        若Φ(x)為周期函數(shù),不妨設(shè)其周期為T(>0),那么有:

        Φ(x+T)+c-[Φ(x)+c]=Φ(x+T)-Φ(x)=0

        因而根據(jù)周期函數(shù)的定義以及c的任意性可得,f(x)的所有原函數(shù)都是周期函數(shù)。

        若Φ(x)不為周期函數(shù),Φ(x)+c也不是周期函數(shù)。因而,由c的任意性可知,f(x)的所有原函數(shù)都不是周期函數(shù),證畢。

        故f(t+T)-f(t)的所有原函數(shù)都是常數(shù),所以f(t+T)-f(t)=0,即f(x)是周期為T的函數(shù),證畢。

        推論1:f(x)是周期為T(>0)的奇函數(shù)的充分必要條件是f(x)的所有原函數(shù)是周期為T(>0)的偶函數(shù)。

        3 應(yīng)用

        由定理1可得以下推論:

        由于連續(xù)周期函數(shù)G(x)有界,所以可得:

        推論2說明了:當x→+∞時,f(x)在[0,x]上的平均值的極限為f(x)在[0,T]上的平均值。

        由于

        解:[法一]由推論2可得:

        [法二]由推論3可得:

        當x→+∞時,含有周期函數(shù)的變限積分的商式求極限問題,一般不能用洛必達法則,常見用夾逼準則求解,利用本文方法不失為一種簡捷高效的途徑。

        4 結(jié)論

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