范英蘭

【摘要】 ?方程解法的導(dǎo)入，不僅承載著課堂激趣的功能，還引領(lǐng)著數(shù)學(xué)思維發(fā)展的作用。當(dāng)前方程解法的課堂，大多停留在機(jī)械的程序化訓(xùn)練上，忽視了數(shù)學(xué)思維的生成與發(fā)展;方程解法的設(shè)計(jì)重點(diǎn)是再現(xiàn)化歸思想，化歸思想的起點(diǎn)在課堂導(dǎo)入，但忽視對原理理解的課堂，常致使課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)干癟，甚至缺失。本文中，筆者結(jié)合自身從事初中方程解法的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，依托“最近發(fā)展區(qū)”理論，探究了四種方程解法的導(dǎo)入藝術(shù)和導(dǎo)入策略，希望能對初中數(shù)學(xué)方程教學(xué)的發(fā)展起到一定的促進(jìn)作用。

【關(guān)鍵詞】 ?解方程 課堂導(dǎo)入 化歸思想 最近發(fā)展區(qū)

【中圖分類號】 ?G633.6 ?? ? ? ? ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】 ?A?【文章編號】 ?1992-7711（2019）12-171-03

方程是重要的數(shù)學(xué)概念，學(xué)好方程是解決很多數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)。解方程是方程教學(xué)的重要環(huán)節(jié)。初中階段主要研究四種基本的代數(shù)方程：一元一次方程、二元一次方程組、分式方程和一元二次方程。一元一次方程是所有代數(shù)方程的基礎(chǔ)，立足一元一次方程，在“元”上推廣到二（三）元一次方程（組）;在“次數(shù)”上推廣到一元二次方程;在形式上推廣到分式方程。四種方程的解法一脈相承，都蘊(yùn)含著“化歸”思想。

解方程是方程教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，“解方程就是求出使方程中等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值，這個(gè)值就是方程的解?！苯夥匠痰哪康木褪鞘狗匠毯愕茸冃螢椋ㄒ阎獢?shù)）的形式，各種代數(shù)方程及其運(yùn)算步驟都以此為目標(biāo)。

方程的解法，因其程序化清晰，模式化穩(wěn)定，指令明確，操作性強(qiáng)的特點(diǎn)，看起來似乎不是教學(xué)的難點(diǎn)。當(dāng)前初中方程解法的教學(xué)課堂，大多是結(jié)合一道例題，講解每一步的做法，歸納程序清晰的解方程步驟，再讓學(xué)生套用步驟，按圖索驥，依樣畫葫蘆。

這樣的教學(xué)，只有操作，沒有思維;只有告知，沒有引導(dǎo)。方程解法過早形式化，過度形式化，對學(xué)生思維的形成與發(fā)展造成了不可逆轉(zhuǎn)的影響。

史寧中教授說：“方程解法的教學(xué)應(yīng)著重于對原理的理解，而不是技能的過度強(qiáng)化”。教學(xué)的著眼點(diǎn)應(yīng)看到學(xué)生長遠(yuǎn)的發(fā)展，對于解方程而言，教師應(yīng)重視方程化歸思想的形成與發(fā)展，并為這種思維的形成搭建好“腳手架”。方程解法的導(dǎo)入作為“腳手架”的第一層“支架”，應(yīng)精心設(shè)計(jì)，合理搭建。

如何有效導(dǎo)入方程的解法，筆者主要從以下三個(gè)方面研究。

一、探究方程解法導(dǎo)入的理論基礎(chǔ)

維果茨基指出：“教學(xué)應(yīng)當(dāng)走在發(fā)展的前面“，只有走在發(fā)展前面的教學(xué)才能有效促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展。方程解法的導(dǎo)入，需要教師站在化歸思想形成與發(fā)展的前面，精心組織，層層推進(jìn)。

解方程的核心思想是化歸，解方程的主要任務(wù)是把學(xué)生的“現(xiàn)有水平”轉(zhuǎn)化為學(xué)生可能達(dá)到的“潛在水平”。在進(jìn)行方程解法的教學(xué)設(shè)計(jì)之初，必須弄清楚學(xué)生發(fā)展的兩種水平：一種是已經(jīng)達(dá)到的發(fā)展水平，是指學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn);另一種是學(xué)生可能達(dá)到的發(fā)展水平，表現(xiàn)為“學(xué)生還不能獨(dú)立地完成任務(wù)，但在教師的幫助下，能夠完成這些任務(wù)”。 這兩種水平的最佳結(jié)合點(diǎn)就是方程解法的課堂導(dǎo)入，這兩種水平之間的距離，就是“最近發(fā)展區(qū)”。

基于以上分析，筆者認(rèn)為“最近發(fā)展區(qū)”是介于學(xué)生獨(dú)自所能達(dá)到的水平與教師給予協(xié)助后所能達(dá)到的水平之間的區(qū)域;方程解法的“最近發(fā)展區(qū)”是介于學(xué)生原有的解方程水平與教師給與協(xié)助后所能達(dá)到的解方程水平之間的區(qū)域。教師的協(xié)助，對學(xué)生順利跨越“最近發(fā)展區(qū)”起關(guān)鍵作用，而這起作用的關(guān)鍵階段，在解法教學(xué)的引入環(huán)節(jié)。依據(jù)“最近發(fā)展區(qū)”理論，巧設(shè)支架，有組織的引入，是促成學(xué)生達(dá)到“學(xué)習(xí)最佳期限”的必要途徑。

二、方程解法的導(dǎo)入策略

筆者依托“最近發(fā)展區(qū)”理論，結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，從四個(gè)方面探討初中數(shù)學(xué)方程解法導(dǎo)入的策略。

1.用“化歸思想”牽引導(dǎo)入，對接“章”與“章”之間的“最近發(fā)展區(qū)”

史寧中先生指出，“在中小學(xué)數(shù)學(xué)中，三元一次方程可以化歸為二元一次方程，二元一次方程可以化歸為一元一次方程，一元一次方程最終化歸為（已知數(shù)）的形式”。此外，分式方程可通過“去分母”轉(zhuǎn)化為一元一次方程，一元二次方程可通過“降次”轉(zhuǎn)化為一元一次方程。

解方程就是求出“使方程左右兩邊都相等的未知數(shù)的值”，因此，四種方程解法的導(dǎo)入，都可以用同一個(gè)問題過渡引領(lǐng)：如何將方程恒等變形為的形式？這種統(tǒng)領(lǐng)性的問題會激活學(xué)生的原有經(jīng)驗(yàn)，會指引學(xué)生向合理的方向思考：與目標(biāo)形式（已知數(shù)）作對比，原方程含括號，因目標(biāo)形式中沒括號，所以要去括號;原方程含分母，因目標(biāo)形式中沒分母，所以要去分母等;原方程是二次的，目標(biāo)形式為一次，所以要把二次降為一次;原方程含有兩個(gè)未知數(shù)，要消掉一個(gè)未知數(shù)，才能轉(zhuǎn)化為之前學(xué)過的一元一次方程。

這種統(tǒng)領(lǐng)性的導(dǎo)入，要因材施教，立足學(xué)生已有的發(fā)展水平。如果學(xué)生覺得困難，教師要建立多個(gè)遞增的“最近發(fā)展區(qū)”，使教學(xué)組織有一定的坡度。例如一元二次方程解法，初學(xué)者有難度，可引導(dǎo)學(xué)生類比“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”的消元法，思考能否將“二次”轉(zhuǎn)化為“一次”。

初中代數(shù)方程的解法是一個(gè)有機(jī)整體，四種方程的解法，一脈相承。搭建同一個(gè)問題支架，用“化歸思想”統(tǒng)一引領(lǐng)，便于實(shí)現(xiàn)方程“圖式”的自然擴(kuò)充。

2.用“變式練習(xí)”巧妙導(dǎo)入，打通“節(jié)”與“節(jié)”之間的“最近發(fā)展區(qū)”

方程的解法，“節(jié)”與“節(jié)”之間關(guān)聯(lián)緊密。為了洞悉學(xué)生現(xiàn)有的能力水平，可以采用復(fù)習(xí)法導(dǎo)入。通過“課前小測”檢測學(xué)生水平，鋪就新知學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。

純粹的小測，不足以體現(xiàn)新舊知識之間的聯(lián)系，有經(jīng)驗(yàn)的教師會把小測題適當(dāng)改編一下，變成當(dāng)堂所講的類型，實(shí)現(xiàn)一題多用，進(jìn)而降低新課學(xué)習(xí)的難度。

“一題多用” 可以打通“節(jié)”與“節(jié)”之間的“最近發(fā)展區(qū)”。例如學(xué)習(xí)“去括號-----解一元一次方程”，課堂導(dǎo)入設(shè)計(jì)為：先解方程 “3x-6=2x-2”，復(fù)習(xí)“移項(xiàng)”解方程;再稍作改變，把前面的方程加上括號：“3x-6=2（x-1）”變成新課所學(xué)的方程，因勢利導(dǎo)引出含有括號的方程。

小測題目作為“腳手架”，不著痕跡地溝通了新舊方程的聯(lián)系，降低了學(xué)生跨越 “最近發(fā)展區(qū)”的難度。

3.用“趣味材料”激趣導(dǎo)入，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)愿望與心理機(jī)能的“最近發(fā)展區(qū)”

依據(jù)最近發(fā)展區(qū)理論，在最佳期限內(nèi)進(jìn)行的教學(xué)，才是促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的最佳教學(xué)。學(xué)生已有的發(fā)展水平與潛在的發(fā)展水平之間的動力狀態(tài)是由教學(xué)決定的，動力狀態(tài)的啟動，要靠課堂導(dǎo)入。因此，方程解法的導(dǎo)入，不能忽略學(xué)生發(fā)展的內(nèi)部心理過程。初中生心里機(jī)能還不夠成熟，其學(xué)習(xí)熱情，離不開教師激趣導(dǎo)入的帶動。

與方程解法相關(guān)的趣味材料有很多，例如：教材的插圖、“閱讀與思考”、與方程有關(guān)的影視片、數(shù)學(xué)史實(shí)故事等。

合理利用趣味材料，是對教師教學(xué)智慧的考驗(yàn)。

筆者曾嘗試了一些做法，例如一元一次方程解法的引入，筆者將浙江衛(wèi)視《奔跑吧兄弟》中包貝爾智解“雞兔同籠”的節(jié)目剪輯成短片，播放短視頻導(dǎo)入，能極速點(diǎn)燃學(xué)生學(xué)習(xí)解方程的熱情;再比如，一元二次方程公式法解法教學(xué)，筆者簡短呈現(xiàn)了人類解方程的完整歷程，其中，陰差陽錯的卡丹公式、坎坷曲折的五次及五次以上的方程沒有公式解的論證歷程，使學(xué)生沉浸在跌宕曲折的數(shù)學(xué)史中，感受到解方程不只是追尋淺層次的趣味性和急功近利的實(shí)用性，而是體驗(yàn)數(shù)學(xué)本身內(nèi)在邏輯的獨(dú)特魅力，而這種內(nèi)在邏輯的需要，恰是推動數(shù)學(xué)發(fā)展的主要動力;用故事導(dǎo)入，可以教師講述，也可以制成視頻播放，還可以寫成劇本，讓學(xué)生演繹。筆者曾把方程解法的歷程編成劇本《方程史話》，讓學(xué)生在全校面前，生動演繹，再錄成視頻，供更多老師日后作為導(dǎo)入材料播放。以方程解法為載體的課堂激趣導(dǎo)入，已在我校數(shù)學(xué)科組全面推廣。

方程解法的能力發(fā)展，取決于課堂導(dǎo)入能否啟動學(xué)生正待成熟的心理機(jī)能。以生動的趣味材料導(dǎo)入，能有效激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)方程的興趣，能鏈接符合學(xué)生心理機(jī)能的“最近發(fā)展區(qū)”，能讓枯燥無味的方程變得妙趣橫生。

4.用“生活背景”誘發(fā)導(dǎo)入，建立符號數(shù)學(xué)與生活數(shù)學(xué)的“最近發(fā)展區(qū)”

維果茨基最近發(fā)展區(qū)理論認(rèn)為：學(xué)習(xí)與發(fā)展是一種社會與合作的活動。學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)離不開學(xué)生已有的社會經(jīng)驗(yàn)。解方程要充分考慮生活實(shí)踐的矛盾性。應(yīng)用的現(xiàn)實(shí)體驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)成就感和自信心。

史寧中教授在《方程思想及其課程教學(xué)設(shè)計(jì)》數(shù)學(xué)教育熱點(diǎn)問題系列訪談錄之一中提到：以往的方程教學(xué)設(shè)計(jì)思想的一個(gè)誤區(qū)，在于把思路搞反了，方程的教學(xué)本應(yīng)該“先是進(jìn)行生活中的提煉， 然后到數(shù)學(xué)表達(dá)，也就是形式化的過程，再到最終解決方程問題”，而不是“先給出形式化的方程定義， 然后解形式化的方程，最后再進(jìn)行方程的應(yīng)用”。

在實(shí)際教學(xué)中，教師往往把方程的解法與方程的實(shí)際應(yīng)用完全割裂開，純粹解方程，然后再集中解決實(shí)際問題。這樣的割裂性操作，導(dǎo)致學(xué)生根本體會不到方程是從現(xiàn)實(shí)生活到數(shù)學(xué)的一個(gè)提煉過程。不利于學(xué)生符號表達(dá)的能力提煉和發(fā)展，不利于學(xué)生理解方程解法的功能性與合理性。因此，方程解法的導(dǎo)入環(huán)節(jié)，有必要拉近符號表達(dá)與生活問題的距離。

在實(shí)際教學(xué)中，如何無痕植入生活問題呢？

筆者曾嘗試以“雞兔同籠”為主線，將小學(xué)里所學(xué)的算術(shù)法和一元一次方程、二元一次方程組統(tǒng)一編排，在一元一次方程和二元一次方程組的單元起始課導(dǎo)入環(huán)節(jié)，均引入“雞兔同籠”的問題，對比算術(shù)法，引入一元一次方程、二元一次方程組。要求未知量，自然聯(lián)想怎樣解方程。求未知量的矛盾，引起解方程的心理饑渴。同時(shí)，學(xué)生在一題多解中既感受到“方程思想”思維簡單的優(yōu)勢的同時(shí)，又溝通起兩種方程解法上相互轉(zhuǎn)化的聯(lián)系。當(dāng)然，在實(shí)際教學(xué)中，我們也可以采用其他的實(shí)際問題（例如“順?biāo)叫?、逆水航行”的問題），在學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)知識之間架起一座無形的橋梁，溝通方程解法與實(shí)際問題的聯(lián)系。

中學(xué)的許多數(shù)學(xué)問題來源于人們的實(shí)際生活，而這些問題經(jīng)過提煉，又比原來具體的生活抽象得多，所以在解方程的教學(xué)中，我們要設(shè)法引導(dǎo)學(xué)生把生活經(jīng)驗(yàn)嫁接遷移到方程模型的提煉上，以激活他們解方程的愿望。

通過課堂導(dǎo)入，把學(xué)生解方程的“潛在水平”轉(zhuǎn)化為新的解法的“現(xiàn)有水平”。新的“現(xiàn)有水平”的基礎(chǔ)上又出現(xiàn)新的“思維潛在水平”，并形成新的“最近發(fā)展區(qū)”。于是教學(xué)又從新的思維潛在水平開始…… 這種循環(huán)往復(fù)不斷轉(zhuǎn)化和思維發(fā)展區(qū)層次逐步遞進(jìn)的過程，就是學(xué)生不斷積累方程解法和推進(jìn)化歸思想發(fā)展的過程。

三、對方程解法的進(jìn)一步思考

1.程序化與解法多樣性的關(guān)系

程序化解方程，既要看到它的局限性，也要看到它積極的一面。對于學(xué)優(yōu)生，自然不能僅僅教會他們機(jī)械解方程，更應(yīng)讓他們理解方程的核心本質(zhì)----化歸。圍繞化歸思想，發(fā)展其思維的靈活性，提倡解法多樣化;但對于學(xué)困生，程序化按圖索驥的辦法，能有效幫助他們正確解出方程，能增強(qiáng)他們信心。因此，在實(shí)際教學(xué)中，要依據(jù)學(xué)生所接受的程度，控制程序化的強(qiáng)度，設(shè)計(jì)課堂導(dǎo)入的開放程度。

2.一元一次方程與其他代數(shù)方程的關(guān)系

一元一次方程是其他代數(shù)方程的基礎(chǔ)，其他代數(shù)方程都要轉(zhuǎn)化為一元一次方程來求解。但有時(shí)，一元一次方程的解法經(jīng)驗(yàn)，也會對其他方程產(chǎn)生干擾。一元一次方程都有解，而且都有唯一解。如此一來，學(xué)生始終會有一種錯誤的認(rèn)知：認(rèn)為所有的方程都有解，且都有唯一解，因此當(dāng)他們遇到分式方程無解，一元二次方程重根或無實(shí)根時(shí)，就難以認(rèn)同。像“3x=3x-1”是不是一元一次方程，這種無解的矛盾方程能否適當(dāng)引入？分式方程無解，一元二次方程有重根、無實(shí)根，怎樣導(dǎo)入才能達(dá)到學(xué)生的”最佳學(xué)習(xí)期限”，都是值得進(jìn)一步探討的。

綜上，方程解法教學(xué)，不能只有操作，沒有思維。正如杜威所說：“純粹的模仿、采用制定的步驟、機(jī)械式的練習(xí)，均可能最快地取得效果，然而，對反省思維能力的增強(qiáng)，卻可能鑄成不可挽回的錯誤。”因此，方程解法的教學(xué)，不能停留于讓學(xué)生機(jī)械得解出來，更要思考為什么這樣解，還要思考為什么要這樣教。

方程解法的導(dǎo)入，是知識的生成點(diǎn)，思維的源頭，能彰顯方法的合理性和能力延伸的方向。教學(xué)時(shí)，找準(zhǔn)學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，要生動導(dǎo)入，無痕導(dǎo)入，而不是采用簡單的“告知”。只有這樣，方程解法的教學(xué)，才會成為“使大腦建立新結(jié)構(gòu)并由一個(gè)思維水平向另一個(gè)思維水平發(fā)展的階段”。

[ 參 ?考 ?文 ?獻(xiàn) ]

[1]顧昕.《初一學(xué)生對方程思想理解障礙及成因分析》，碩士學(xué)位論文，東北師范大學(xué)，2007年5月.

[2]史寧中，孔凡哲.《方程思想及課程其教學(xué)課程設(shè)計(jì)》，課程·教材·教法，第24卷，9期，2004年9月.

[3]吳海娟.《初中方程教學(xué)研究》，碩士學(xué)位論文，東北師范大學(xué)2011年5月.

[4]姚瑾.《初中生對一元二次方程的理解》碩士學(xué)位論文，東北師范大學(xué)，2013年5月.

[5]伍曉焰.《2018年廣州市初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試年報(bào)》，廣州市教育研究院，南方出版?zhèn)髅剑?019年3月.