王雪瑩

【摘要】本文以現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)的一個(gè)重要理論——認(rèn)知理論為依據(jù)，闡述數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的原因，并提出相應(yīng)的數(shù)學(xué)教學(xué)策略。認(rèn)知理論總的核心觀(guān)念是每個(gè)人的記憶容量有限，其中工作時(shí)用到的工作記憶容量有限，但是儲(chǔ)存知識(shí)的長(zhǎng)時(shí)記憶卻又是無(wú)限的。從認(rèn)知理論的角度來(lái)看，學(xué)生由于在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中所負(fù)擔(dān)的負(fù)荷超過(guò)其工作記憶的容量，所以導(dǎo)致數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難。本文基于認(rèn)知負(fù)荷理論提出以下幾點(diǎn)數(shù)學(xué)教學(xué)策略：教師充分做好任務(wù)分析，備好學(xué)生和教材;提供先行組織者，回顧舊知識(shí)，搭好腳手架，做好章前復(fù)習(xí);增加樣例學(xué)習(xí);多樣的呈現(xiàn)方式，調(diào)用多感官;在解決問(wèn)題之前，提供支持性信息幫助;加強(qiáng)小組合作;放慢節(jié)奏，促進(jìn)自我解釋?zhuān)?gòu)圖式;變式練習(xí)，促進(jìn)圖式建構(gòu)。

【關(guān)鍵詞】認(rèn)知負(fù)荷;工作記憶;數(shù)學(xué)教學(xué)策略;圖式

隨著教書(shū)年限的增多，教師會(huì)有強(qiáng)烈的對(duì)比，會(huì)發(fā)現(xiàn)越來(lái)越多的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)越來(lái)越困難，厭學(xué)數(shù)學(xué)越來(lái)越多，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)一屆不如一屆。學(xué)生會(huì)覺(jué)得數(shù)學(xué)越來(lái)越難學(xué)主要是工作記憶缺陷，學(xué)科知識(shí)不扎實(shí)，沒(méi)有形成完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)和自動(dòng)化的圖式。從認(rèn)知負(fù)荷的角度來(lái)講，就是學(xué)生所接受的認(rèn)知負(fù)荷超過(guò)學(xué)生本身的認(rèn)知承受能力范圍。本文從認(rèn)知負(fù)荷理論的角度，初步提出促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的教學(xué)策略。

一、數(shù)學(xué)認(rèn)知負(fù)荷和認(rèn)知負(fù)荷理論的教學(xué)原則

1.認(rèn)知負(fù)荷理論和數(shù)學(xué)認(rèn)知負(fù)荷

認(rèn)知負(fù)荷是指學(xué)生在接收新知識(shí)或完成各項(xiàng)任務(wù)中對(duì)相關(guān)的內(nèi)容進(jìn)行加工，這個(gè)過(guò)程中所需要的認(rèn)知資源的全部。認(rèn)知負(fù)荷理論認(rèn)為認(rèn)知負(fù)荷包括由于學(xué)習(xí)材料的難度或任務(wù)復(fù)雜以及個(gè)人知識(shí)結(jié)構(gòu)決定的內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷，學(xué)習(xí)內(nèi)容組織順序或呈現(xiàn)方式等的外在認(rèn)知負(fù)荷，以及學(xué)習(xí)者本身認(rèn)知結(jié)構(gòu)等的相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷。而數(shù)學(xué)認(rèn)知負(fù)荷，是指學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，工作記憶需要注意和處理的數(shù)學(xué)內(nèi)容，信息的總和。

2.認(rèn)知負(fù)荷理論的教學(xué)原則

認(rèn)知負(fù)荷理論的主要觀(guān)點(diǎn)是：①人的總的記憶包括容量有限的工作記憶和容量無(wú)限的長(zhǎng)時(shí)記憶，兩者的容量性質(zhì)不同;②存儲(chǔ)于長(zhǎng)時(shí)記憶中的知識(shí)如果是以圖式的形式存在，組塊化，長(zhǎng)時(shí)記憶將會(huì)更加穩(wěn)固。圖式的構(gòu)建能幫助降低工作記憶的負(fù)擔(dān);③為了構(gòu)建圖式，學(xué)習(xí)者接收的各種信息在工作記憶中進(jìn)行提取并操作，最后各種信息以圖式形式存儲(chǔ)到長(zhǎng)時(shí)記憶。基于以上觀(guān)點(diǎn)，本文提出數(shù)學(xué)學(xué)困生教學(xué)一些教學(xué)策略。

二、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)因何而“難”

學(xué)生覺(jué)得數(shù)學(xué)難學(xué)，一方面在于數(shù)學(xué)知識(shí)抽象，難以理解，知識(shí)之間零散，沒(méi)能建立成一個(gè)系統(tǒng)，形成一個(gè)穩(wěn)定的圖式，占用大量工作記憶資源。在解題中難以提取，并應(yīng)用到新的問(wèn)題情境中，超過(guò)工作記憶的容量，考試成績(jī)低下。

第一，在數(shù)學(xué)知識(shí)量方面比較缺乏。對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)中的涉及到基本知識(shí)，甚至是對(duì)某個(gè)概念中某個(gè)關(guān)鍵詞理解出錯(cuò)或者不理解。面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決，往往只是從表面去表征問(wèn)題，容易造成混淆錯(cuò)誤。

第二，在數(shù)學(xué)知識(shí)提取方面覺(jué)得困難。眾所周知，數(shù)學(xué)前后知識(shí)聯(lián)系緊密，如果新知識(shí)與舊知識(shí)聯(lián)系相對(duì)比較少，學(xué)生學(xué)習(xí)可能還好一點(diǎn)。但是當(dāng)涉及需要舊知識(shí)為基礎(chǔ)的新知識(shí)時(shí)，學(xué)生會(huì)有更大的困難。主要原因在于，學(xué)生把學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)“忘記”，即是新舊知識(shí)已經(jīng)“斷鏈”，出現(xiàn)斷裂。實(shí)質(zhì)上新舊知識(shí)沒(méi)有打通，新知識(shí)沒(méi)有被納入舊知識(shí)體系，沒(méi)有形成一個(gè)穩(wěn)定的“網(wǎng)”。舊知識(shí)也沒(méi)有形成一個(gè)穩(wěn)定的圖式存儲(chǔ)在長(zhǎng)時(shí)記憶中，所以學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)，難以從舊知識(shí)上提取有關(guān)信息，也難于和新知識(shí)進(jìn)行正確的連接和遷移。

第三，在知識(shí)的運(yùn)用方面覺(jué)得困難。對(duì)于常規(guī)熟悉的問(wèn)題時(shí)，學(xué)生能根據(jù)問(wèn)題中的某些詞或句子，去努力回憶平時(shí)的解題過(guò)程中遇到的相似情景或題目，試圖靠?jī)H有的記憶去模仿解題的方法和步驟，這個(gè)過(guò)程需要耗費(fèi)大量的工作記憶，影響解題過(guò)程中其注意力的分配，停留在淺層的模仿，如果題目稍微變形，往往會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，或者不會(huì)做。所以，如果不回顧復(fù)習(xí)，遺忘率和出錯(cuò)率會(huì)隨著時(shí)間的延長(zhǎng)會(huì)越來(lái)越明顯。而面對(duì)陌生的題目，如果沒(méi)有相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)和相關(guān)模型存儲(chǔ)于大腦中，平時(shí)缺少經(jīng)歷這樣一個(gè)過(guò)程，更是毫無(wú)頭緒，無(wú)從下手。

三、基于認(rèn)知負(fù)荷理論下的數(shù)學(xué)學(xué)困生的教學(xué)策略

1.內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷和數(shù)學(xué)教學(xué)策略

（1）內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷

內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷就是內(nèi)容復(fù)雜，任務(wù)的難度或個(gè)人知識(shí)認(rèn)知結(jié)構(gòu)缺陷導(dǎo)致學(xué)習(xí)過(guò)程中施加在記憶的認(rèn)知負(fù)荷。由于學(xué)習(xí)內(nèi)容復(fù)雜或任務(wù)難度大引起，施加在工作記憶的認(rèn)知負(fù)荷就是外在型的內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷;由學(xué)生個(gè)人的認(rèn)知結(jié)構(gòu)缺陷或不穩(wěn)定引起的認(rèn)知負(fù)荷就是內(nèi)在型的內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷。

①外在型的內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷

材料的難度，學(xué)習(xí)者需要耗費(fèi)大量的記憶容量去理解材料中的各個(gè)概念的意思，需要理清各個(gè)部分之間的關(guān)系，需要在大量的信息中提取有用的信息，在信息中表征問(wèn)題，從而影響問(wèn)題的解決。減少外在型的內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷策略——教師充分做好任務(wù)分析，備好學(xué)生和教材。減少外因決定的內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷策略就是確定數(shù)學(xué)教學(xué)最終目標(biāo)，了解學(xué)習(xí)者起點(diǎn)能力，分析使能目標(biāo)。教參對(duì)于每個(gè)單元都給了一定的目標(biāo)，而這些目標(biāo)表述是簡(jiǎn)潔明了。落實(shí)在每一節(jié)中，就應(yīng)該有更具體的目標(biāo)。作為教師，應(yīng)該充分將數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)再細(xì)化，并且陳述具體化，可操作化。教師備課中除了要關(guān)注本節(jié)課的最終目標(biāo)，關(guān)注學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，為學(xué)生的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)和最終目標(biāo)搭建腳手架，即使能目標(biāo)。盡可能將整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)細(xì)化成具體的小目標(biāo)，尤其是數(shù)學(xué)學(xué)困生的起點(diǎn)能力，教師應(yīng)該有更多充分的預(yù)設(shè)，和經(jīng)驗(yàn)的積累，讓每一節(jié)的脈絡(luò)在教師心中清晰。

以下是勾股定理的教學(xué)分析：

②內(nèi)在型的內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷

由于每個(gè)學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握和認(rèn)識(shí)成都不一樣，經(jīng)驗(yàn)不一樣，習(xí)慣看法不一樣，也就是說(shuō)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的廣度和深度兩維都不相同，所以不同的學(xué)生接受新知識(shí)的快慢也會(huì)不一樣，認(rèn)知也不一樣。心理學(xué)家認(rèn)為，及時(shí)加工處理和存儲(chǔ)信息有利于建構(gòu)知識(shí)，減少負(fù)荷，否則，延遲記憶不利于認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完整構(gòu)建。越豐富越統(tǒng)一的信息整體，越穩(wěn)定的認(rèn)知結(jié)構(gòu)越有利于長(zhǎng)時(shí)記憶的存儲(chǔ)和組織，從而降低記憶負(fù)荷。相反的，如果學(xué)習(xí)者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)比較單一、分散、孤立，那么在學(xué)習(xí)過(guò)程中，需要臨時(shí)建構(gòu)圖式，就會(huì)延遲記憶，加大記憶負(fù)擔(dān)。更甚至數(shù)學(xué)學(xué)困生會(huì)出現(xiàn)知識(shí)的斷鏈，舊知識(shí)對(duì)于他們來(lái)說(shuō)也是新知識(shí)，需要占用一定的記憶容量，增加認(rèn)知負(fù)荷。

基于內(nèi)因決定的內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷——做好章前舊知識(shí)回顧，幫助數(shù)學(xué)學(xué)困生鞏固知識(shí)結(jié)構(gòu)。減少內(nèi)在型的內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷的數(shù)學(xué)教學(xué)策——提供先行組織者，做好章前復(fù)習(xí)。對(duì)每一章中需要用到的舊知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)，喚醒學(xué)生長(zhǎng)時(shí)記憶中有關(guān)圖式，幫學(xué)生建構(gòu)舊知識(shí)避免因?yàn)榕f知識(shí)的斷片而影響新知識(shí)的學(xué)習(xí)。每學(xué)習(xí)一個(gè)新單元，把本單元需要涉及到的舊知識(shí)用完整的一節(jié)課復(fù)習(xí)一次。這樣做的好處是，避免學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)由于知識(shí)結(jié)構(gòu)的斷層而鏈接不上，或者對(duì)于數(shù)學(xué)后進(jìn)生，由于都是舊知識(shí)，或多或少在他們的腦海中留些一些痕跡，當(dāng)再次提起時(shí)，也是一個(gè)再次知識(shí)再提取的一個(gè)過(guò)程。復(fù)習(xí)中不是增加新的知識(shí)點(diǎn)，而是梳理知識(shí)，形成一個(gè)比較清晰穩(wěn)定的認(rèn)知體系和認(rèn)知結(jié)構(gòu)，有利于長(zhǎng)時(shí)記憶。對(duì)記憶來(lái)說(shuō)，是在減少內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷。

下面是一元二次方程的章前復(fù)習(xí)：

1.觀(guān)察方程：2x=1;3x+2=x-4;2（x+2）-3（x-1）=0它們所含未知數(shù)的個(gè)數(shù)是多少，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是多少，所以這樣的整式方程叫做什么。

2.下列方程哪些是一元一次方程（? ?）

（1）5x+3=0，

（2）2x+y=3

（3）

（4）

（5）x2-2x+1=0

3.解方程3x=2（x+5）

4._____;（-32）_____;

5. 25的平方根是____;記作=____;

6.化簡(jiǎn)： ;;

7.化簡(jiǎn)：（x-1）2=_____;（2x-1）2=_____;

（a+1）2=______;（x-3）2=______;

（x-4）2=______;（3x+2）2=______;

8.因式分解：x2-5x=_____ ;2x（x-3）-5（x-3）=_____;

9.求出下列各式中的x.

（1）x2=49? ? ? ? ?（2） 9 x2 =16

（3） x2=6? ? ? ? （4） x2=-9

（2）外在認(rèn)知負(fù)荷和相應(yīng)的數(shù)學(xué)教學(xué)策略

外在認(rèn)知負(fù)荷，比如學(xué)習(xí)內(nèi)容的組織順序和教師講授的呈現(xiàn)方式混亂，無(wú)關(guān)信息太多等，學(xué)習(xí)者需要占用大量的認(rèn)知資源去接收和辨析，對(duì)學(xué)生沒(méi)有起到直接的影響和效果，這時(shí)就會(huì)產(chǎn)生額外的負(fù)荷。外在認(rèn)知負(fù)荷占用耗費(fèi)了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的工作記憶容量，不利于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

①增加樣例學(xué)習(xí)

心理學(xué)家認(rèn)為：“理解和模仿自己或者他人的行為對(duì)一個(gè)人來(lái)說(shuō)是輕松的?！苯滩闹小袄}+分析+解答”實(shí)際上是一個(gè)原理方法樣例，能讓學(xué)習(xí)者快速獲得技能。同時(shí)，樣例學(xué)習(xí)就是教師給出一個(gè)正確的規(guī)范的示范，學(xué)生依樣畫(huà)瓢，可以免去更多嘗試錯(cuò)誤學(xué)習(xí)，把注意力工作記憶重點(diǎn)指向?qū)W習(xí)有關(guān)的部分，從而騰出工作記憶容量去進(jìn)行知識(shí)的內(nèi)化和遷移學(xué)習(xí)。對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)困生，樣例提供一個(gè)模仿的模版，通過(guò)數(shù)學(xué)樣例模版學(xué)習(xí)，學(xué)生從模仿開(kāi)始，到初步建構(gòu)基本模式。再通過(guò)一定量的訓(xùn)練，達(dá)到一個(gè)熟練的程度，當(dāng)再次回憶時(shí)或運(yùn)用時(shí)減少再次提取時(shí)需要消耗的工作記憶，為解決新問(wèn)題創(chuàng)造更好的空間。

②多樣的呈現(xiàn)方式，調(diào)用多感官

數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)重要特點(diǎn)就是抽象性，單純的文本呈現(xiàn)，學(xué)生平分記憶資源去關(guān)注，抓不住重點(diǎn)，耗費(fèi)工作記憶容量，造成記憶負(fù)荷。多感官的一起調(diào)用，可以減少文本帶來(lái)的記憶負(fù)荷。像函數(shù)代數(shù)式等抽象知識(shí)，教學(xué)中筆者要求學(xué)生根據(jù)解析式畫(huà)出函數(shù)草圖，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)草圖去學(xué)習(xí)函數(shù)的性質(zhì)。當(dāng)要求學(xué)生思考課本的例題時(shí)，盡量配以聲音解說(shuō)，如教師的語(yǔ)言提示，簡(jiǎn)短的文字說(shuō)明等，提問(wèn)關(guān)注圖形中的重要信息。對(duì)于概念定理的呈現(xiàn)，教師則可以通過(guò)語(yǔ)速或者語(yǔ)調(diào)，停頓，音量等，引領(lǐng)學(xué)生眼、耳、腦、心并用，關(guān)注關(guān)鍵詞，把握本質(zhì)，提高辨識(shí)能力。對(duì)于需要數(shù)形結(jié)合的問(wèn)題，當(dāng)文字、符號(hào)、對(duì)應(yīng)的圖形各種信息比較分散時(shí)，學(xué)生需除了要看文本，看圖形，還要把文字和圖形串聯(lián)起來(lái)，轉(zhuǎn)化理解，就會(huì)占用大量的工作記憶，引起大的認(rèn)知負(fù)荷。如果把題目中有關(guān)條件和信息標(biāo)注在圖形中，符號(hào)放在靠近它描述的圖形中對(duì)應(yīng)的部分時(shí)，可以減少認(rèn)知負(fù)荷，獲得更快的解題思路和方法，即在知識(shí)提取方面更有幫助。目前，微課教學(xué)，整合了聲音和文字，圖形，也是一種好的數(shù)學(xué)內(nèi)容呈現(xiàn)的方式。學(xué)生根據(jù)教師提供的視頻提前預(yù)習(xí)新的知識(shí)，可以完成工作記憶對(duì)知識(shí)的初步建構(gòu)和加工.課堂上節(jié)省了大部分時(shí)間用于知識(shí)的建構(gòu)，課堂上主要用于解答學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)困惑，糾正錯(cuò)誤理解，完成知識(shí)結(jié)構(gòu)的進(jìn)一步建構(gòu).微課教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)習(xí)者關(guān)注學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，增加動(dòng)畫(huà)效果，形象直觀(guān)，減少學(xué)習(xí)者將文本轉(zhuǎn)化理解所耗費(fèi)的工作記憶，減少外在認(rèn)知負(fù)荷。但是微課視頻中信息內(nèi)容相對(duì)比較多，信息很快過(guò)，所以要引導(dǎo)學(xué)生在合適的時(shí)機(jī)關(guān)注合適的地方。或者要挑選能在難點(diǎn)的地方放慢節(jié)奏，給學(xué)生思考的視頻教學(xué)，讓學(xué)生有時(shí)間思考。

③在解決問(wèn)題之前，提供支持性信息幫助

問(wèn)題可分為簡(jiǎn)單問(wèn)題和復(fù)雜問(wèn)題。簡(jiǎn)單問(wèn)題開(kāi)始之初，應(yīng)該盡可能使其熟練，達(dá)到自動(dòng)化程度，從而減少加工時(shí)占用的認(rèn)知資源，使之成為學(xué)生的圖式結(jié)構(gòu)穩(wěn)定下來(lái)。在學(xué)生熟悉之后還給出支持性信息，就會(huì)變成負(fù)荷。對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題，如果為其提供一定的幫助信息，可以促進(jìn)其問(wèn)題解決。對(duì)于專(zhuān)有知識(shí)，針對(duì)問(wèn)題提示和經(jīng)驗(yàn)性的方法提供。因?yàn)榻o出啟發(fā)，學(xué)習(xí)者不一定會(huì)得到正確的答案。研究表明，這些支持性的信息在學(xué)習(xí)者問(wèn)題解決過(guò)程中呈現(xiàn)，發(fā)揮的作用有限，難以促進(jìn)圖式的建構(gòu)和問(wèn)題解決能力的遷移。因?yàn)橹С中孕畔⒂型瑯痈叩恼J(rèn)知負(fù)荷。如果在學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)過(guò)程提供支持性信息，學(xué)習(xí)者需要將注意分散在學(xué)習(xí)任務(wù)和支持性信息兩部分，會(huì)增加工作記憶的負(fù)荷。更高效的方法是，在學(xué)習(xí)任務(wù)開(kāi)始之前，分析支持性信息的內(nèi)容，在長(zhǎng)時(shí)記憶中建立起一定的認(rèn)知圖式，在學(xué)習(xí)過(guò)程中只需要把已有的圖式激發(fā)即可。比如，在證明線(xiàn)段相等時(shí)，提示有哪些方法可以證明線(xiàn)段相等，如全等，等量代換，平行四邊形性質(zhì)，等角對(duì)等邊等。求線(xiàn)段長(zhǎng)度，有哪些方法可以求，如勾股定理，等量關(guān)系，相似，等面積法等，給學(xué)生指明證明的一個(gè)方向。又比如，在代入消元解二元一次方程組 ，如果學(xué)生沒(méi)有經(jīng)歷代入消元這個(gè)過(guò)程，學(xué)生不易接受消元的想法，而且即使是經(jīng)歷過(guò)，沒(méi)有達(dá)到一定量的時(shí)候，也難以?xún)?nèi)化成自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)去。

呈現(xiàn)二元一次方程組。讓學(xué)生先不急動(dòng)手，而先提示：本題表面看是兩個(gè)未知數(shù)，但實(shí)際上只是不知道誰(shuí)的值？你是怎樣求解出來(lái)？代入之后發(fā)現(xiàn)方程有幾個(gè)未知數(shù)？你會(huì)求出該方程組的解？學(xué)生解出該方程之后再給出另一組二元一次方程組，同樣，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注這兩道不同。

方程①是什么意思？上一個(gè)小題給你什么啟示？然后可以讓學(xué)生自己嘗試去解方程。

④加強(qiáng)小組合作

認(rèn)知腦科學(xué)，科斯科訥等人的研究表明把復(fù)雜的任務(wù)分配給幾個(gè)學(xué)習(xí)者減少個(gè)人的認(rèn)知負(fù)荷。小組合作中人數(shù)越多，不僅僅相當(dāng)于工作記憶的容量簡(jiǎn)單增大，長(zhǎng)時(shí)記憶的寬度變大，而且小組成員之間的認(rèn)知結(jié)構(gòu)可以互相互補(bǔ)，形成更穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)。所以，合作小組的個(gè)體可以減少負(fù)荷，并且，學(xué)習(xí)任務(wù)越復(fù)雜有效。眾所周知，一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，比較抽象，對(duì)于優(yōu)生或后進(jìn)生來(lái)講，沒(méi)有充分經(jīng)歷這個(gè)過(guò)程都是一個(gè)難點(diǎn)。因?yàn)樗麄兊谝淮谓佑|到表達(dá)式中涉及兩個(gè)變量，需要用控制變量法研究問(wèn)題。筆者教學(xué)中，嘗試更多地學(xué)生畫(huà)出不同的一次函數(shù)的圖像，提供的函數(shù)越多，越有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)和歸納總結(jié)規(guī)律，學(xué)生接受度會(huì)更強(qiáng)。提供的圖像必須具有一定量，才有對(duì)比可言，所以課堂上花的時(shí)間比較長(zhǎng)。曾經(jīng)一個(gè)教師是這樣處理本節(jié)課，比較成功。學(xué)習(xí)一次函數(shù)圖象的性質(zhì)時(shí)，本節(jié)課先讓學(xué)生回歸正比例函數(shù)的解析式，圖像和對(duì)應(yīng)的性質(zhì)，然后讓學(xué)生通過(guò)畫(huà)以下一次函數(shù)的圖像（1） （2）? （3）? （4） ，猜猜想一次函數(shù)圖象與k，b的關(guān)系。 然后，根據(jù)猜測(cè)，同組同學(xué)畫(huà)分別寫(xiě)出不同情況下的一次函數(shù)解析式，并畫(huà)出其圖像，驗(yàn)證猜想。這樣學(xué)生自己想的函數(shù)，自己去驗(yàn)證，不同學(xué)生完成不同的驗(yàn)證，分擔(dān)了認(rèn)知負(fù)荷，提高效率。

2.相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷和相應(yīng)的數(shù)學(xué)教學(xué)策略

相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷是指學(xué)習(xí)者根據(jù)自己原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，自主地把新知識(shí)納入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，形成新的圖式，或者當(dāng)遇到問(wèn)題時(shí)，自動(dòng)地從自己地認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去提取圖式所需要工作記憶。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷是通過(guò)對(duì)比，辨析，重組等活動(dòng)，建構(gòu)圖式，以“組塊”的形式將學(xué)習(xí)材料打包成塊，分類(lèi)存儲(chǔ)在長(zhǎng)時(shí)記憶中去。當(dāng)面臨問(wèn)題時(shí)，又可以“解壓”，拿出來(lái)用。經(jīng)過(guò)整理后占用記憶容量小，使用便捷。相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷越豐富越是能夠有效促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)，相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷越豐富越能夠?qū)⒄J(rèn)知資源合理的分配到有效的學(xué)習(xí)活動(dòng)中去。而數(shù)學(xué)學(xué)困生剛好相反，他們往往在這樣方面比較缺乏，知識(shí)結(jié)構(gòu)零散，當(dāng)需要運(yùn)用時(shí)，需要耗費(fèi)大量的認(rèn)知資源去慢慢推理，去認(rèn)知結(jié)構(gòu)中尋找以往的解題步驟或者過(guò)程。

（1）放慢節(jié)奏，促進(jìn)自我解釋?zhuān)?gòu)圖式

課堂中，放慢教學(xué)節(jié)奏，尤其是新課內(nèi)容，或者是相對(duì)比較難地知識(shí)點(diǎn)，要給充分地時(shí)間給學(xué)生自我消化，自我解釋?zhuān)磳W(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)過(guò)程中用自己原有地知識(shí)，去理解新的知識(shí)，去解釋新的（下轉(zhuǎn)第5版）（上接第4版）知識(shí)，并將新的知識(shí)內(nèi)化到自己原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)去。大量研究表明，學(xué)生在樣例學(xué)習(xí)時(shí)，給時(shí)間學(xué)生消化每一步的依據(jù)，分析每一步的基本原理，明白這樣的理由，促進(jìn)學(xué)習(xí)者解決能力的遷移。比如，在學(xué)習(xí)代入消元法解二元一方程組，筆者給學(xué)生提供以下樣例。

1.解方程組 ①

②

解：把①代入②，得

3x+2（2x-0）=50

解得x=10

把x=10代入①，得y=10

∴這個(gè)方程組的解是

然后讓學(xué)生思考，原方程組有幾個(gè)未知數(shù)？上述解方程3x+2（2x-10）=50是如何得出來(lái)的？然后讓學(xué)生關(guān)注代入之后的方程3x+2（2x-10）=50中2（2x-10）這部分中括號(hào)前為什么有個(gè)2，學(xué)生自己解決過(guò)程中容易漏了這個(gè)系數(shù)，特別是當(dāng)這個(gè)系數(shù)和括號(hào)中未知數(shù)系數(shù)相同時(shí)，學(xué)生更容易遺忘。這一步驟稱(chēng)為代入。代入之后再仔細(xì)觀(guān)察3x+2（2x-10）=50，它只有一個(gè)未知數(shù)，可利用之前學(xué)習(xí)的知識(shí)解決問(wèn)題。這原本是一個(gè)二元一次方程組，其中有兩個(gè)未知數(shù)，通過(guò)代入消去其中一個(gè)未知數(shù)，變成一元一次方程，這過(guò)程稱(chēng)為消元。在已經(jīng)求出其中一個(gè)未知數(shù)的情況下，如何求解另一未知數(shù)。樣例中是把x=10代入①，得y=10? 。把x=10代入②，可以嗎？結(jié)果會(huì)是多少？讓學(xué)生自己完成?；仡櫿麄€(gè)解題過(guò)程，第一步驟是？代入的目的為了？解出一個(gè)未知數(shù)后，如何求出第二個(gè)未知數(shù)？最后把方程組的解表示出來(lái)。在整個(gè)過(guò)程中每一步具體是怎么得出來(lái)，目的是為什么等，最后，一個(gè)整體的思路回顧，讓學(xué)生經(jīng)歷自我解釋。樣例學(xué)習(xí)提供示范，自我解釋除了一個(gè)回顧過(guò)程，還是對(duì)樣例每個(gè)步驟為什么這么做的原因的一個(gè)探究，有利于剛建構(gòu)的圖式更加穩(wěn)固，有理有據(jù)，有利于變成長(zhǎng)時(shí)記憶。

（2）變式練習(xí)，促進(jìn)圖式建構(gòu)

變式練習(xí)，促使學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行深度加工，抓住問(wèn)題的本質(zhì)，建構(gòu)問(wèn)題的認(rèn)知圖式。所謂變式練習(xí)，就是將原有題目的某些條件強(qiáng)化或弱化，或者條件與結(jié)論互換的練習(xí)。通過(guò)變式，重點(diǎn)讓學(xué)生把注意力去關(guān)注原有題目與變式題目中的區(qū)別，表面看是在一定程度上增大認(rèn)知負(fù)荷量，但是變式實(shí)際上是對(duì)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的進(jìn)一步完善和擴(kuò)寬，使得認(rèn)知結(jié)構(gòu)更加清晰，條理，有利于知識(shí)遷移，它增加的負(fù)荷屬于相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷。

（1）如圖，PA、PB是⊙O的切線(xiàn)，A、B為切點(diǎn)，PA=4㎝，則有PB=_______（2）如圖，已知MP、NQ、PQ是⊙O的三條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為M、N、T，PM=4，NQ=9，則PQ=______（3） △ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于D、E、F，且AB=9cm，BC=14 cm，CA=13 cm，求AF、BD、CE的長(zhǎng)。

（4）已知在Rt△ABC中，，AC=12，BC=5，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于D、E、F，求⊙O的半徑。

數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師充分做好任務(wù)分析，備好學(xué)生和教材，以減少外因型的內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷;做好章前舊知識(shí)回顧，幫助數(shù)學(xué)學(xué)困生鞏固知識(shí)結(jié)構(gòu)，減少內(nèi)因型的內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷;增加樣例學(xué)習(xí)，多樣的呈現(xiàn)方式，調(diào)動(dòng)多感官，問(wèn)題解決前提供支持性信息幫助，減少外在認(rèn)知負(fù)荷;放慢節(jié)奏，促進(jìn)自我解釋?zhuān)兪骄毩?xí)，建構(gòu)圖式，增加相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷，等，幫助學(xué)生減少數(shù)學(xué)認(rèn)知負(fù)荷。教無(wú)定法，教學(xué)過(guò)程只有不斷摸索，教學(xué)才會(huì)越來(lái)越高效。

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