江蘇省海門中學(xué) (226100)

顧旭東

一、原題展現(xiàn)

(1)當(dāng)a=3時(shí)，求函數(shù)f(x)的極值；

(2)設(shè)函數(shù)f(x)在x=x0處的切線方程為y=g(x)，若函數(shù)y=f(x)-g(x)是(0，+∞)上的單調(diào)增函數(shù)，求x0的值；

(3)是否存在一條直線與函數(shù)y=f(x)的圖象相切于兩個(gè)不同的點(diǎn)？并說(shuō)明理由．

解：(1)(2)略.

(3)假設(shè)存在一條直線與函數(shù)f(x)的圖象有兩個(gè)不同的切點(diǎn)T1(x1，y1)，T2(x2，y2)，不妨0

從而①式不可能成立，所以假設(shè)不成立，從而不存在一條直線與函數(shù)f(x)的圖象有兩個(gè)不同的切點(diǎn)．

熟悉的套路不由得讓我們把目光轉(zhuǎn)移到一個(gè)月前的南通一模試卷.

下面證明x1x2>a2.

二、回顧探源

不難發(fā)現(xiàn)這些題的背后都隱藏著如下的結(jié)論：

三、反饋訓(xùn)練

1.(2014年天津卷理壓軸題)已知函數(shù)f(x)=x-aex(a為常數(shù))有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2，求證：x1+x2>2.

3.(2017屆蘇州高三一模壓軸第20題)已知函數(shù)f(x)=(lnx-k-1)x,若x1≠x2,且f(x1)=f(x2)，求證：x1·x2

6.(2010年天津高考題)已知函數(shù)f(x)=xe-x(x∈R).如果x1≠x2,且f(x1)=f(x2),證明：x1+x2>2.

四、反思提升