陜西安康學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 (725000)

趙臨龍

考題[1](第19屆韓國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽題)在△ABC中,∠B≠∠C,△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、CA、AB的切點(diǎn)分別為D、E、F.記AD與⊙O的不同于點(diǎn)D的交點(diǎn)為P.過(guò)點(diǎn)P作AD的垂線交EF于點(diǎn)Q,X、Y分別是AQ與直線DE、DF的交點(diǎn).求證:

A是線段的中點(diǎn).

本刊先后在文[2-3]中，介紹到有關(guān)射影幾何知識(shí)，我們可以用這些知識(shí)來(lái)研究競(jìng)賽題，給出新的證明方法，并將競(jìng)賽題進(jìn)行推廣.

特例當(dāng)點(diǎn)P為中點(diǎn)，則點(diǎn)Q為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)；反之，也成立.

引理1[4]如圖1.完全四邊形ABCD的兩對(duì)角線AB、CD交于點(diǎn)P，且AB、CD分別交對(duì)角線MN于Q、R，則點(diǎn)A、B調(diào)和分割P、Q.

推論1 當(dāng)AB平行NM時(shí)，則P為AB的中點(diǎn).

引理2[3]過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)引二次曲線Γ：ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0的兩切線PE，PF切Γ于E、F兩點(diǎn)，則切點(diǎn)弦EF的方程為l：ax0x+b(y0x+x0y)+cy0y+d(x0+x)+e(y0+y)+f=0.

圖1 圖2

取完全四邊形AFIE，記AD與FE相交于P，F(xiàn)E與BC相交于Q1，由引理1得F、E調(diào)和分割P、Q1.于是直線DX、DY調(diào)和分割直線DA、DQ，設(shè)直線BC與AQ交于R.若證得點(diǎn)R為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，即證明BC∥QA，則競(jìng)賽題獲得證明.

下面，我們采用可以進(jìn)行推廣的證明方法,證明BC∥QA.

此時(shí)，由AD⊥PQ，知直線PQ必過(guò)⊙O的直徑DG的端點(diǎn)G.現(xiàn)給出仿射推廣的證明方法.

現(xiàn)利用仿射變換，給出考題的推廣.

命題1 在△ABC中,∠B≠∠C,△ABC的內(nèi)切圓⊙O(一直徑為DG)與BC、CA、AB的切點(diǎn)分別為D、E、F.記AD與⊙O的不同于點(diǎn)D的交點(diǎn)為P.連接PG交EF于點(diǎn)Q,X、Y分別是AQ與直線DE、DF的交點(diǎn).求證:A是線段的中點(diǎn).

命題2 在△ABC中,∠B≠∠C,△ABC的內(nèi)切橢圓Γ(一主軸為DG)與BC、CA、AB的切點(diǎn)分別為D、E、F(其中切點(diǎn)D為橢圓一頂點(diǎn)).記AD與Γ的不同于點(diǎn)D的交點(diǎn)為P.連接PG(G為橢圓另一頂點(diǎn)，)交EF于點(diǎn)Q,X、Y分別是AQ與直線DE、DF的交點(diǎn).求證:A是線段的中點(diǎn).

現(xiàn)在，給出命題2的證明.

證明：(1)證明AD、BE、CF交于一點(diǎn).

(2)證明BC∥QA.

在證明(1)中，又得到結(jié)論：

命題3 在△ABC中,∠B≠∠C,△ABC的內(nèi)切橢圓Γ與BC、CA、AB的切點(diǎn)分別為D、E、F.則直線DE、DF調(diào)和分割直線DA、DC.

同時(shí)，對(duì)于三角形的內(nèi)切圓具有仿射不變性.

即三角形關(guān)于內(nèi)切圓的賽瓦定理，在三角形關(guān)于內(nèi)切橢圓的賽瓦定理依然成立.