江蘇省泰州中學(xué)附屬初中 (225300)
何林峰
評注:本題如用常規(guī)方法求最大值,可將原式兩邊平方后,通過化簡變形去尋找解題途徑.然而應(yīng)用均值換元法求出結(jié)果,不僅方法新穎,而且簡捷,別有風(fēng)味.本題解法的巧妙之處在于通過均值換元法,大大減少了計算量,降低了解題的難度,充分顯示了均值換元法的優(yōu)越性.
例2 (2001年全國初中數(shù)學(xué)競賽題)已知實數(shù)a,b滿足a2+ab+b2=1,且t=ab-a2-b2.試求t的最大值和最小值.
例3 (2016年浙江大學(xué)自主招生考試題)設(shè)x,y≥0,2x+y=6,求z=4x2+3xy+y2-6x-3y的最大值和最小值.
分析:此類問題常用消元法,將其轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的最值求解,觀察本例的條件2x+y=6,發(fā)現(xiàn)2x+y=6=2×3,因此可以另辟蹊徑,通過均值換元求解.
評注:本題用一般的思維方式考慮,很難找到解題的方法或者過程相當(dāng)復(fù)雜,而通過均值換元法,溝通了題設(shè)與結(jié)論的關(guān)系,使問題得到輕松解決.
例4 (2011年武漢大學(xué)自主招生考試題)設(shè)實數(shù)x,y,z滿足x+y+z=5,xy+yz+zx=3,試求z的最大值和最小值.
例5 (江蘇省蘇北四市2018年春高三一模試題)設(shè)x、y、z為非負(fù)數(shù),且x+y+z=1,求xy+yz+zx-2xyz的最大值和最小值.
評注:此題從表面上看似乎與均值換元法無關(guān),使人陷入“山窮水盡疑無路”之情.但仔細(xì)觀察題目條件的特點,充分展開聯(lián)想,發(fā)揮思維的創(chuàng)造性,使得解題思路簡捷明快,解法簡單順暢,解法靈活巧妙.
從以上各例可以看出應(yīng)用均值換元法求最大(小)值,其關(guān)鍵是要從問題的背景出發(fā),根據(jù)題設(shè)及所求題目的結(jié)構(gòu)特征經(jīng)過合理的推理,探究出問題中的隱藏的均值換元法關(guān)系,列出符合題意的關(guān)系式,從而與均值換元法的有關(guān)知識聯(lián)系起來,以達(dá)到解題目的.
總之,應(yīng)用均值換元法解最值問題,其關(guān)鍵是引進(jìn)新的變量(元)參與計算,再結(jié)合代數(shù)知識求解.充分體現(xiàn)了變繁為簡,化難為易,化未知為已知的數(shù)學(xué)解題思想,從而達(dá)到消元的目的,簡便流暢地解決了問題.