王蘭靈

(廣東省廣州大學附屬中學 510006)

設數(shù)列{an}為等差數(shù)列，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，則數(shù)列cn=an·bn可以化為cn=(An+B)qn的形式，為了方便，我們不妨稱之為差比數(shù)列.差比數(shù)列的求和是數(shù)列模塊的重難點，常用的方法是錯位相減法、裂項相消法和待定系數(shù)法.筆者在教學中發(fā)現(xiàn)求差比數(shù)列的前n項和，除以上三種方法外，還可以用導數(shù)去解決.本文先對常用的三種方法進行系統(tǒng)地分析，提出了一些便于操作的方法技巧，最后再探究導數(shù)解法，供讀者參考.

兩式相減，得：

解法2(裂項相消法)設存在常數(shù)x、y使得：

將解法2推廣到一般情況，對于差比數(shù)列(An+B)·qn(其中A、B、q為常數(shù)，且q≠0,q≠1)，必然存在常數(shù)x、y使得(An+B)·qn=[x(n-1)+y]·qn-1-(xn+y)·qn，證明方法與上題類似，計算等式右邊，再結合代數(shù)恒等式即可求得x、y的值.通常，當01時，我們采用(An+B)·qn=[(x(n+1)+y]·qn+1-(xn+y)·qn進行裂項.為了便于記憶，類比函數(shù)的記號f(x)，我們記f(A,B,n)=(An+B)·qn,f(x,y,(n-1))=[(x(n-1)+y]·qn-1,f(x,y,n)=(xn+y)·qn.如此，當01時，f(A,B,n)=f(x,y,(n+1))-f(x,y,n).

點評裂項相消法的關鍵是把差比數(shù)列的通項公式正確裂項，所以，記住裂項公式f(A,B,n)=f(x,y,(n-1))-f(x,y,n)或f(A,B,n)=f(x,y,(n+1))-f(x,y,n)尤為重要.從計算量而言，裂項相消法略小于錯位相減法，故裂項相消法的正確率會略高于錯位相減法.

差比數(shù)列前n項和公式的證明：

已知數(shù)列{an}的通項公式是an=(an+b)·qn-1，求數(shù)列{an}的前n項和Sn.

Sn=(a+b)×1+(2a+b)×q+(3a+b)×q2+…+((n-1)a+b)·qn-2+(na+b)×qn-1①,

qSn=(a+b)×q+(2a+b)×q2+(3a+b)×q3+…+((n-1)a+b)·qn-1+(na+b)×qn②.

點評待定系數(shù)法公式屬于錯位相減法的衍生形式，需要學生熟記該公式，計算量相對較小，有計算便捷的優(yōu)勢，適合做選擇和填空等小題目，不大適合做解答題.

解法4(導數(shù)法) 在解原例題之前，我們先看一個更為簡單的例子，求數(shù)列an=n·2n-1(n∈N+)的前n項和Tn.

導數(shù)法是否適合一般的差比數(shù)列求和呢？答案是肯定的，簡單證明如下：

設數(shù)列{an}為首項a1，公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}為首項是b1，公比為q(q≠1)的等比數(shù)列為，且cn=an·bn,Sn是數(shù)列{cn}的前n項和，求Sn.

解由題意得an=a1+(n-1)d,bn=b1qn-1(q≠1)

在求差比數(shù)列前n項和Sn的時候，我們可以根據(jù)題型選擇解題方法.選擇填空題，我們可以選擇待定系數(shù)法，解答題我們有錯位相減法、裂項相消法和導數(shù)法可以選擇.導數(shù)法雖然不常見，但是它用函數(shù)思想解決了數(shù)列問題，體現(xiàn)了函數(shù)的工具價值.我們在教學過程中，不能僅僅滿足于現(xiàn)有的教學成果，更要注重知識的聯(lián)系和拓展，多鼓勵學生大膽猜想結論和方法，引導他們親歷從猜想到論證的探究過程，由此發(fā)展學生的探究能力和邏輯推理能力，同時也為我們的教學帶來更多的精彩.《學記》有言：“學然后知不足，教然后知困.知不足，然后能自反也；知困，然后能自強也.”學生常反思學習，可發(fā)現(xiàn)不足，激發(fā)求學動力；教師常反思教學，可以取得新的突破，提升教學能力.