李潔，李志堅(jiān)

(山西大學(xué) 理論物理研究所,山西 太原 030006)

0 引言

近年來,量子行走由于其在基礎(chǔ)科學(xué)中的重要意義以及一些潛在的應(yīng)用而受到人們廣泛關(guān)注。相比于經(jīng)典隨機(jī)行走,量子行走因?yàn)榇嬖诹孔酉喔啥哂袕椀纻鬏數(shù)膬?yōu)勢(shì),因此量子行走為量子算法[1]的實(shí)現(xiàn)提供了理論依據(jù)。近期以來,拓?fù)涮匦猿蔀槿藗冴P(guān)注的熱點(diǎn)問題,隨著拓?fù)溲芯康纳钊?已經(jīng)能夠在許多物理系統(tǒng)中產(chǎn)生拓?fù)浣^緣體,例如在超導(dǎo)系統(tǒng)[2]、力學(xué)系統(tǒng)[3]、光力學(xué)系統(tǒng)[4]、光子[5]和原子平臺(tái)[6]等。分離時(shí)間量子行走的能帶結(jié)構(gòu)與拓?fù)浣^緣體相似,同時(shí)量子行走能隙的大小可以通過演化算符的參數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié),因此,分離時(shí)間量子行走成為一種較簡(jiǎn)單的拓?fù)浣^緣體的理論模型為探究物質(zhì)的拓?fù)涮匦蕴峁┝擞行脚_(tái)[7]。

近期的研究表明,在分離時(shí)間量子行走系統(tǒng)中,可以觀測(cè)系統(tǒng)的拓?fù)洳蛔兞縖8]、量子相變和邊界態(tài)[9]等。描述量子系統(tǒng)的拓?fù)洳蛔兞恐饕欣@數(shù)[10]、Zak相[11]、陳數(shù)等。拓?fù)湎嘧兊耐怀鎏卣魇窃诓煌負(fù)湎嗟膮^(qū)域邊界處存在拓?fù)浔Ｗo(hù)邊界態(tài)[12]。近年來,已經(jīng)有很多關(guān)于分離時(shí)間量子行走的拓?fù)涮匦缘难芯?除了超導(dǎo)體和拓?fù)浣^緣體等天然存在的拓?fù)洳牧?人們構(gòu)建了許多人造系統(tǒng)[13]實(shí)現(xiàn)量子行走從而研究系統(tǒng)的拓?fù)涮匦?但之前的研究大多數(shù)是關(guān)于厄米系統(tǒng)的幺正性量子行走的研究,本文將通過引入測(cè)量算符,實(shí)現(xiàn)非厄米系統(tǒng)中的非幺正量子行走[14-16]。我們?cè)趯?shí)施非幺正量子行走時(shí),將在硬幣算符和條件平移算符中各引入一個(gè)可控參量,構(gòu)成二維的參數(shù)空間,在此參數(shù)空間中研究系統(tǒng)的拓?fù)湎嘧儚亩枋鱿到y(tǒng)的拓?fù)涮匦?并通過檢測(cè)相變處拓?fù)溥吔鐟B(tài)的存在進(jìn)一步研究非幺正系統(tǒng)的拓?fù)涮匦?。之?本文將會(huì)探究非幺正分離時(shí)間量子行走的平均位移從而獲得量子行走的實(shí)驗(yàn)可觀測(cè)量并檢驗(yàn)其對(duì)抗靜態(tài)微擾的魯棒性[17]。

1 非幺正分離時(shí)間量子行走及其拓?fù)洳蛔兞?/h2>

分離時(shí)間量子行走定義在位置空間HP和硬幣空間HC直積構(gòu)成的希爾伯特空間H中,由單步時(shí)間演化算符U(φ,θ)重復(fù)作用于系統(tǒng)初態(tài)|Ψ(0)〉實(shí)現(xiàn),即t步演化后系統(tǒng)的狀態(tài)為

|Ψ(t)〉=Ut(φ,θ)|Ψ(0)〉,

(1)

其中

U(φ,θ)=Sφ(IP?Rθ) ,

(2)

IP表示位置空間HP中的單位算符,Rθ為硬幣空間Hc中的硬幣算符,表示對(duì)硬幣態(tài)的旋轉(zhuǎn)操作,本文選取硬幣算符為

(3)

Sφ為條件平移算符,表示為

(4)

|x,σ〉=|x〉?|σ〉是希爾伯特空間H的基矢。從條件平移(4)式可知,當(dāng)輸入的硬幣態(tài)不發(fā)生翻轉(zhuǎn)時(shí),粒子會(huì)以|sinφ|2的概率在一維格點(diǎn)上向左或向右移動(dòng),移動(dòng)的方向由硬幣態(tài)的方向決定;當(dāng)粒子硬幣態(tài)發(fā)生翻轉(zhuǎn)時(shí),則會(huì)以|cosφ|2的概率靜止在原來的位置上保持不變。

(5)

其中τ表示成功測(cè)量到自旋相干態(tài)|b〉的概率。若未測(cè)量到|b〉態(tài),測(cè)量過程的作用由算符

(6)

描述。因此,若第t步測(cè)量到自旋相干態(tài)|b〉,則量子行走的演化過程為

(7)

為了計(jì)算方便,我們把幺正算符U(φ,θ)作旋轉(zhuǎn)變換

(8)

(9)

其中Ic為硬幣空間單位矩陣,d0及矢量d={d1,d2,d3}的分量為

d0=pa(sinθcosφ+coskcosθsinφ) ,

(10)

d1=pb(sinθcosφ+coskcosθsinφ) ,

(11)

d2=ipa(cosθcosφ-cosksinθsinφ)+pbsinksinφ,

(12)

d3=ipasinksinφ-pb(cosθcosφ-cosksinθsinφ) ,

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

表示當(dāng)動(dòng)量k在第一布里淵區(qū)從-π變化到π時(shí),n′在yz平面內(nèi)繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)。

2 非幺正分離時(shí)間量子行走的邊界態(tài)

由體表對(duì)應(yīng)原理[18]可知,在不同的拓?fù)湎鄥^(qū)域的邊界處會(huì)出現(xiàn)邊界態(tài)。接下來,我們將通過計(jì)算非幺正分離時(shí)間量子行走在拓?fù)湎噙吔缣幍牧Ｗ臃植几怕蕘硖骄窟吔鐟B(tài)的存在。由此可以說明利用方程(18)定義非幺正量子行走的拓?fù)洳蛔兞渴强尚械摹?/p>

(19)

相應(yīng)演化t步后在x處測(cè)量到粒子的概率為

(20)

Fig.1 Topological phase diagram in (θ,φ)parameter space for discrete-time quantum walk described by non-unitary operator圖1 非幺正算符描述的分離時(shí)間量子 行走在參數(shù)空間(θ,φ)中的拓?fù)湎鄨D

(a)(b)x<0,θ=0.6π and x>0,θ=0.4π,(c)(d)x<0,θ=0.6π and x>0,θ=0.2πFig.2 (a, c)are the changing of probability distribution for non-unitary discrete time quantum walk with t in non-uniform position space;(b, d) are the changing of probability distribution with t at boundary.(a)(b)x<0時(shí)θ=0.6π，x>0時(shí)θ=0.4π；(c)(d)x<0時(shí)θ=0.6π， x>0時(shí)θ=0.2π圖2 不均勻位置空間中非幺正分離時(shí)間量子行走的概率分布隨演化步數(shù)的變化(a,c)及 量子行走在邊界處的概率隨時(shí)間的變化曲線(b,d)

3 非幺正分離時(shí)間量子行走的平均位移及其魯棒性

在量子系統(tǒng)中,直接檢測(cè)繞數(shù)拓?fù)洳蛔兞渴欠浅＠щy的,對(duì)于幺正量子行走,人們可以通過測(cè)量量子行走的平均位移來判斷量子行走的拓?fù)湎嘧僛17]。本節(jié)中,我們將計(jì)算平均位移來描述非幺正分離時(shí)間量子行走的拓?fù)湎嘧儭Ｈ匀贿x取非幺正分離時(shí)間量子行走的初態(tài)為|Ψ(0)〉=|0〉?|a〉,若第t步測(cè)量到硬幣相干態(tài)|b〉,則由方程(7)得到此時(shí)量子行走的態(tài)矢量|Ψ(t)〉,相應(yīng)地在x位置處檢測(cè)到量子行走處于硬幣態(tài)|b〉的概率為

(21)

重復(fù)多次量子行走過程,并對(duì)硬幣相干態(tài)|b〉進(jìn)行測(cè)量,則多次測(cè)量后的量子行走的平均位移為

(22)

Orange, red and blue solid are correspond to the measurement processes for t=10, 100, and 300Fig.3 Changing for average displacements of non-unitary discrete time quantum walk with the coin parameter θ橙色、紅色和藍(lán)色線分別對(duì)應(yīng)t=10、100、300次的測(cè)量過程圖3 非幺正分離時(shí)間量子行走的平均位移 隨硬幣參數(shù)θ的變化曲線

圖3給出量子行走的平均位移隨硬幣參數(shù)θ的變化圖,其中取參數(shù)φ=π/4,τ=0.5,橙色、紅色和藍(lán)色線分別對(duì)應(yīng)t=10、100、300次的測(cè)量過程。由圖中可知,隨著測(cè)量過程的增加,平均位移隨相變參數(shù)θ的變化出現(xiàn)更明顯的臺(tái)階跳躍變化,與圖1中紅色點(diǎn)線的參數(shù)取值對(duì)比,平均位移跳變時(shí)對(duì)應(yīng)的θ取值正好是不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的相邊界。在相同拓?fù)淅@數(shù)的參數(shù)區(qū)域,平均位移保持常數(shù)不變。因此可以通過可測(cè)的平均位移來刻畫非幺正量子行走的拓?fù)湎嘧儭?/p>

如果通過參數(shù)φ對(duì)非幺正量子行走引入靜態(tài)微擾Δ,即令φ=π/4+Δ,Δ在[-π/20,π/20]的范圍內(nèi)隨機(jī)的取值。在相同靜態(tài)微擾下,重復(fù)10次量子行走過程,并在不同步演化過程中對(duì)硬幣相干態(tài)|b〉進(jìn)行測(cè)量,計(jì)算得到平均位移〈x〉,然后重復(fù)選取4 000次隨機(jī)數(shù)Δ,并計(jì)算平均位移的平均值,得到其隨參數(shù)θ的變化曲線,如圖4藍(lán)色實(shí)線所示。與不加微擾時(shí)的紅色虛線相比,基本沒發(fā)生改變,說明非幺正分離時(shí)間量子行走的平均位移具有魯棒性,是拓?fù)浔Ｗo(hù)的結(jié)果。

The red dashed line is the non-unitary discrete time quantum without dynamical perturbation when the average displacement changes with the coin parameter,τ=0.5,φ=π/4+Δ,Δ is the static perturbation introduced by the parameter φ,the blue solid line is the average displacement as a function of coin parameters in the presence of static perturbation Fig.4 Average displacement for non-unitary discrete-time quantum walk is a function of coin parameter under static perturbation.紅色虛線為沒有靜態(tài)微擾時(shí)平均位移隨硬幣參數(shù)的變化曲線,τ=0.5, φ=π/4+Δ,Δ是由參數(shù)φ引入的靜態(tài)微擾,藍(lán)色實(shí)線為存在靜態(tài)微擾時(shí)平均位移隨硬幣參數(shù)變化的曲線圖圖4 無序靜態(tài)微擾下,非幺正分離時(shí)間量子行走的平均位移隨硬幣參數(shù)θ的變化曲線

4 結(jié)論

本文通過引入部分測(cè)量算符將幺正分離時(shí)間量子行走推廣至非幺正的情況,給出非幺正量子行走的拓?fù)湎鄨D。進(jìn)而引進(jìn)空間不均勻的非幺正分離時(shí)間量子行走,發(fā)現(xiàn)在拓?fù)鋽?shù)不相同的邊界上,量子行走的分布概率隨演化時(shí)間的增加趨于一常數(shù)值,說明在邊界上存在拓?fù)浔Ｗo(hù)的邊界態(tài),而當(dāng)空間不均勻的邊界兩側(cè)的拓?fù)鋽?shù)相同時(shí),則邊界上的分布概率會(huì)趨于0,不存在邊界態(tài)。最后計(jì)算量子行走的平均位移,及其受靜態(tài)微擾影響的情況,說明利用平均位移隨相變參數(shù)的變化可以表征量子行走拓?fù)湎嘧儭?/p>