☉浙江省玉環(huán)市玉城中學(xué) 張夏飛

數(shù)學(xué)是研究自然社會(huì)中存在的邏輯和數(shù)量關(guān)系的學(xué)科，數(shù)學(xué)產(chǎn)生于人們對(duì)自然現(xiàn)象的疑問(wèn)，又被好奇心和思考推動(dòng)著發(fā)展.從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)就是一門圍繞“問(wèn)題”展開(kāi)的學(xué)科，綜合了解決和提出問(wèn)題的思想方法，以及對(duì)部分問(wèn)題的回答.問(wèn)題能夠激發(fā)研究者探索的欲望，并且提供了一種精力和思考方向的聚焦，能極大地推動(dòng)研究的進(jìn)程，同樣的，問(wèn)題也能引起學(xué)生的興趣，巧妙設(shè)計(jì)的問(wèn)題還能讓學(xué)生在探索與思考中抓住知識(shí)結(jié)構(gòu)中的重點(diǎn).所以，教師可以嘗試以“問(wèn)題”為線索展開(kāi)課堂教學(xué)，將教學(xué)內(nèi)容按照類別及難度等進(jìn)行劃分，并結(jié)合教學(xué)大綱和自己的教學(xué)思路，總結(jié)出具有導(dǎo)向性的問(wèn)題，并利用問(wèn)題傳導(dǎo)概念，利用問(wèn)題激發(fā)思考，利用問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生探索數(shù)學(xué)的本質(zhì)，同時(shí)，教師還可以設(shè)計(jì)一連串的問(wèn)題，組成問(wèn)題鏈，這樣更能系統(tǒng)地提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效果.下文中筆者就將結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)踐，以線性規(guī)劃中用二元一次不等式表示平面區(qū)域這一節(jié)的教學(xué)為例，和讀者分享自己在這方面的經(jīng)驗(yàn).

線性規(guī)劃是一個(gè)非常重要的知識(shí)點(diǎn)，它綜合了不等式、解析幾何及方程組的知識(shí)，對(duì)提高學(xué)生的思維能力也有著很大的作用，在生產(chǎn)生活中，線性規(guī)劃的思想方法也被廣泛應(yīng)用于資源分配等場(chǎng)景中.在高中階段，用二元一次不等式組表示平面區(qū)域是學(xué)生最先接觸到的線性規(guī)劃知識(shí)，其中涉及了許多基本的概念，也涉及了數(shù)形結(jié)合、分類討論及轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法，是線性規(guī)劃的入門知識(shí).用二元一次不等式組表示平面區(qū)域這一模塊建立在學(xué)生掌握不等式及基本解析幾何知識(shí)的基礎(chǔ)上，從概念性的知識(shí)來(lái)說(shuō)并沒(méi)有太多需要補(bǔ)充的地方，真正需要學(xué)生深入思考和學(xué)習(xí)的是知識(shí)之間的聯(lián)系，以及如何用這樣的方法實(shí)現(xiàn)規(guī)劃目標(biāo)，因此，筆者設(shè)計(jì)了如下的問(wèn)題鏈來(lái)幫助學(xué)生建立知識(shí)體系.

一、“問(wèn)題鏈”導(dǎo)向教學(xué)的具體過(guò)程

問(wèn)題一：若已知某工廠有A種原料10噸，B種原料60噸，現(xiàn)市場(chǎng)對(duì)甲、乙兩種商品有所需求，如果每生產(chǎn)一噸甲類產(chǎn)品需耗費(fèi)A種原料4噸，B種原料12噸，能帶來(lái)2萬(wàn)元的收益，每生產(chǎn)一噸乙類產(chǎn)品需消耗A種原料1噸，B種原料9噸，帶來(lái)的收益為1萬(wàn)元，（上述信息見(jiàn)下表1）試問(wèn)：在不超過(guò)原料限制的情況下，如何分配資源生產(chǎn)可以使得工廠的收益最高？

表1

問(wèn)題轉(zhuǎn)化：根據(jù)學(xué)生的知識(shí)水平，教師可以引導(dǎo)他們列出如下的不等式組.

設(shè)生產(chǎn)甲類產(chǎn)品x噸，生產(chǎn)乙類產(chǎn)品y噸，設(shè)總利潤(rùn)為P萬(wàn)元，則根據(jù)題設(shè)可得出不等式組：故將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上述不等式組的約束下，求P=2x+y取最大值時(shí)，對(duì)應(yīng)的x，y分別為多少.

設(shè)計(jì)意圖：這是一道非常典型的線性規(guī)劃類題目，需要用到數(shù)形結(jié)合等經(jīng)典方法，通過(guò)設(shè)計(jì)這道題，筆者希望能讓學(xué)生在不等式與直線區(qū)域之間建立起認(rèn)知聯(lián)系.在本題中，不等式4x+y≤10可以理解為兩個(gè)條件，即4x+y=10和4x+y＜10，等式的幾何意義比較容易理解，即為直線y=10-4x上的點(diǎn)，學(xué)生需要理解的是4x+y＜10的幾何意義，于是為了幫助學(xué)生理解，筆者從直線方程的本質(zhì)入手，設(shè)計(jì)了如下的題目.

問(wèn)題二：假設(shè)在平面直角坐標(biāo)系中有這樣一條直線，試問(wèn)和這五個(gè)點(diǎn)與直線l之間存在怎樣的位置關(guān)系？點(diǎn)與直線的位置關(guān)系在代數(shù)層面上是如何體現(xiàn)的？能否根據(jù)上述結(jié)論，通過(guò)代數(shù)的方法，判斷點(diǎn)F（3，-2.1）與直線l的位置關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生之前接觸的大多數(shù)是直線上的點(diǎn)，很少關(guān)注直線外的點(diǎn)與直線的具體位置關(guān)系，通過(guò)設(shè)置一系列橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)不同的點(diǎn)，學(xué)生會(huì)不由自主地關(guān)注到橫坐標(biāo)相等時(shí)，縱坐標(biāo)的差別帶來(lái)的位置變化，比如在本題中，D點(diǎn)和E點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是2，由于縱坐標(biāo)不同，它們分別位于直線的上下兩側(cè).這個(gè)問(wèn)題通過(guò)特殊的例子，讓學(xué)生開(kāi)始思考坐標(biāo)與位置之間的關(guān)系，為后續(xù)進(jìn)一步深入的思考打下了基礎(chǔ)和鋪墊.

問(wèn)題三：承接問(wèn)題二，有哪些點(diǎn)是在直線l的下方？有哪些點(diǎn)是在直線l的上方？對(duì)于同一側(cè)的點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之間有什么樣的數(shù)量關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)聚焦同一位置的點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的數(shù)量關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生去思考不等式與平面區(qū)域之間的關(guān)系，并對(duì)一般規(guī)律做出一定的假設(shè).

問(wèn)題四：通過(guò)上述問(wèn)題，你能否證明，點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)滿足不等式y(tǒng)＜10-4x是該點(diǎn)在直線y=10-4x下方區(qū)域的充分必要條件？（如圖1所示）

圖1

問(wèn)題解答：能證明.充分性：假設(shè)任意一點(diǎn)P（x0，y0）滿足不等式y(tǒng)＜10-4x，則y0＜10-4x0，取直線y=10-4x上一點(diǎn)Q（x0，y1），則y1=10-4x0，且易知y1＞y0，在坐標(biāo)圖上表現(xiàn)為點(diǎn)P在點(diǎn)Q的下方，因此，滿足不等式的點(diǎn)一定位于直線l的下方.必要性：取直線l下方的一點(diǎn)P（x0，y0），再取直線上與P橫坐標(biāo)相同的一點(diǎn)Q（x0，y1），由圖1可知，在橫坐標(biāo)相等的情況下必有y0＜y1=10-4x0，滿足不等式.

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}二和問(wèn)題三利用特殊情況激起了學(xué)生的思考，讓學(xué)生對(duì)不等式的幾何意義形成初步印象，問(wèn)題四的設(shè)計(jì)是對(duì)零散示例的總結(jié)，讓學(xué)生從理論的角度證明了一般規(guī)律，充分性證明幫助學(xué)生由代數(shù)關(guān)系過(guò)渡到幾何關(guān)系，必要性證明幫助學(xué)生從幾何關(guān)系的角度理解代數(shù)關(guān)系，將滿足不等式的解與直線下方的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)起來(lái).

問(wèn)題五：從問(wèn)題四的結(jié)論中，推斷y＜kx+b及y＞kx+b分別表示怎樣的區(qū)域？

設(shè)計(jì)意圖：由例子抽象到更一般的規(guī)律，為后續(xù)教學(xué)做鋪墊.

問(wèn)題六：試畫出直線3x+y+1=0的圖像，并用陰影表示出不等式3x+y+1＞0的區(qū)域，嘗試總結(jié)出二元一次不等式Ax+By+C＞0（B≠0）代表的平面區(qū)域與A，B，C之間的關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖：加深學(xué)生對(duì)所學(xué)概念的理解，讓學(xué)生學(xué)會(huì)利用轉(zhuǎn)化與化歸思想，將更一般的情形轉(zhuǎn)化為熟悉的情形，以便解決更普遍的問(wèn)題.

問(wèn)題七：試將下列不等式表示的平面區(qū)域在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中表示出來(lái)：（1）4x+3y＜20；（2）y≥0；（3）x≥0.同時(shí)思考，第一問(wèn)中約束不等式的解和公共區(qū)域有什么關(guān)聯(lián)？

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}七的設(shè)置主要有兩個(gè)目的，第一，結(jié)合了三種不同的情況，讓學(xué)生得以鞏固所學(xué)知識(shí)并加深理解；第二，呼應(yīng)教學(xué)開(kāi)始時(shí)的例題，達(dá)到首尾呼應(yīng)的效果，同時(shí)讓學(xué)生將不等式表示的區(qū)域畫在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，這樣能激發(fā)他們思考公共區(qū)域與不等式組解集的關(guān)系，為接下來(lái)的教學(xué)埋下伏筆.當(dāng)然，教師不用在這里就急于強(qiáng)調(diào)解集與公共區(qū)域的具體關(guān)系，因?yàn)檫@有可能會(huì)讓學(xué)生覺(jué)得信息量大，難以接受.

問(wèn)題八：嘗試用不等式組表示圖2和圖3中的陰影部分.

圖2

圖3

設(shè)計(jì)意圖：之前的例題都是讓學(xué)生從不等式過(guò)渡到幾何區(qū)域，補(bǔ)充這個(gè)問(wèn)題可以讓學(xué)生換一種視角來(lái)思考問(wèn)題，能讓學(xué)生更全面、更透徹地理解知識(shí)，同時(shí)，筆者還補(bǔ)充了一些檢驗(yàn)區(qū)域是否畫對(duì)的方法，比如特殊點(diǎn)檢驗(yàn)法、平移法等，讓學(xué)生能更靈活精確地解決此類問(wèn)題.

二、教學(xué)總結(jié)

在問(wèn)題鏈的設(shè)計(jì)方面，筆者認(rèn)為有以下幾點(diǎn)需要注意：首先，問(wèn)題鏈應(yīng)該服務(wù)于教學(xué)內(nèi)容，比如在線性規(guī)劃的教學(xué)實(shí)踐中，筆者設(shè)計(jì)的問(wèn)題都是為了讓學(xué)生理解相關(guān)概念；其次，問(wèn)題鏈的設(shè)計(jì)要有梯度，要結(jié)合學(xué)生的知識(shí)水平與認(rèn)知特點(diǎn)，由具體到抽象，由特殊到一般；接著，問(wèn)題鏈中的問(wèn)題應(yīng)具有明確的主題，要讓學(xué)生明白問(wèn)題的意義所在；最后，問(wèn)題鏈的根本目的是引導(dǎo)學(xué)生思考與探索，因此要留給學(xué)生足夠的思考空間.