黃慧群 張祖蘭

【摘 要】本文以例講解換元法的基本思想與具體用法，引導學生深入理解換元法，培養(yǎng)學生換元求解的數(shù)學思想方法，掌握化歸與轉化的數(shù)學思想，以提高學生的數(shù)學解題能力和學科素養(yǎng)。

【關鍵詞】函數(shù)值域 換元法 化歸與轉化

【中圖分類號】G ?【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2019）03B-0155-04

《普通高中數(shù)學課程標準（2017 版）》中指出，函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學最基本的概念，是描述客觀世界中變化關系的數(shù)學語言與有效的數(shù)學工具。同時，函數(shù)內(nèi)容是貫穿高中數(shù)學課程的主線。高中數(shù)學函數(shù)部分主要研究基本初等函數(shù)的性質與圖象，并且進行基本的復合學習。學生在初中與高中階段已經(jīng)學習完六大初等函數(shù)。而高考中所考查的函數(shù)都是由以上函數(shù)經(jīng)過混合運算或者復合關系而得到的。因此學生接觸的函數(shù)解析式復雜、綜合性強，學生面對這些問題時大多會感到無從下手。在函數(shù)的考查中，函數(shù)的三要素一直占據(jù)著重要地位。特別的是，復合函數(shù)的值域更是一個熱門的考點，但是學生卻不易找到解法。為了有效地突出重點—— 基本初等函數(shù)的性質，突破難點—— 如何利用學習過的知識解決新的難題，就很有必要帶領學生學習換元法。

美國著名數(shù)學教育家 G.波利亞在《怎樣解題》中說過，“數(shù)學教學的目的在于培養(yǎng)學生的思維能力”“掌握數(shù)學就意味著要善于解題”，而“數(shù)學解題就是命題的連續(xù)變換”。在高中數(shù)學的學習中，換元法是一種常見并且十分重要的數(shù)學思想方法、解題方法。換元法，亦稱輔助未知數(shù)法，又稱變元代換法。它是普遍應用的一種方法，其一般意義是將由一個或幾個變元構成的數(shù)學表達式中的一部分用新的變元表示，以利于問題的解決。

換元轉化就是通過對函數(shù)解析式的觀察抽象出模塊，并轉化為其他函數(shù)知識的過程。當研究結構相對復雜的函數(shù)值域問題，如果能夠觀察出該函數(shù)解析式的特點，將其他的部分當成一個整體，并引入新的變量，那么就可以使問題簡單化，結構清晰化，從而可以運用初等函數(shù)的有關知識解決問題。這種方法能比較好地啟發(fā)學生解題的思路，使學生找出解題的捷徑，強化學生求解值域問題的能力。賀雙桂等（2006）指出，在高中階段，學生接觸到的換元法主要有：（1）整體代換。它是指在一個代數(shù)式結構中，有某個代數(shù)式作為一個單元重復多次出現(xiàn)時，可以選擇用一個字母即元來代替此單元，進而簡化代數(shù)式的結構，觀察出代數(shù)式的規(guī)律特點，從而解決問題。（2）三角換元。此類代數(shù)式中常常含有根號，借助三角函數(shù)的性質進行與根號的轉化。此外，還有萬能換元法等，高中階段并不常見，在此不贅述。

本節(jié)課主要研究的是整體代換法，其方法和步驟如下：（1）分析函數(shù)的復合關系。（2）設立新的變量，并且換元，建立以新元為變量的新函數(shù)。（3）求出新元的取值范圍。（4）根據(jù)新函數(shù)的性質，求出值域，回答問題。教學過程如下：

一、熱身訓練

1.函數(shù) y=x2+5x+4 的值域為

2.函數(shù) y=x2+5x+4，x∈[2，5）的值域為

3.函數(shù) ?在區(qū)間[2，5）上值域為

4.函數(shù) ?，（x>0）的值域為

【設計意圖】回顧二次函數(shù)、反比例函數(shù)以及對構型函數(shù)的值域求解知識，這是本節(jié)課的知識基礎，為求解復合型函數(shù)的值域問題做鋪墊。

二、問題探究

（一）二次型值域問題

（1）函數(shù) ?的值域是

〖解析〗（1）中的難點在于含有 ，故想到令 ，則把原函數(shù)代換成學生所熟悉的二次函數(shù)，把復雜的問題化歸成熟悉的二次函數(shù)在某一區(qū)間的最值問題。

令 ，則 x=1-t2，

y=1-t2+t

，

∴函數(shù) ?的值域為

（2）函數(shù) ? y=4x-3×2x+1+5 ?的值域是

〖解析〗經(jīng)過簡單的變形 4x=（2x）2 后，容易發(fā)現(xiàn)函數(shù)解析式中重復出現(xiàn)了 2x 這個單元，因此可以進行換元。

令 t=2x ∈（0，+∞），則

y=（2x）2-3×2×2x+5

=t2-6t+5

=（t-3）2-4，t∈（0，+∞）

∴函數(shù) ?y=4x-3×2x+1+5 的值域為[4，+∞）

（3）函數(shù) ?的值域是

〖解析〗此道題有一定的難度。學生很容易觀察到 x2 是重復出現(xiàn)的，但若此時將 x2 進行換元，則新的函數(shù)解析式會出現(xiàn)根號，不利于我們解決問題。因此我們可以利用分式的性質先將原函數(shù)進行恒等變形得到 。

令 ，可得到

∴函數(shù) ?的值域為

（4）函數(shù) y=cos2x+4sinx 的值域是

〖解析〗原函數(shù)是由兩個三角函數(shù)相加而成，其中，cos2x 含有二倍角，因此可以先運用二倍角公式 cos2x=1-2sin2x 進行函數(shù)變形 y=1-2sin2x+4sinx，從而得到一個以 sinx 為基礎單元的二次函數(shù)。

令 t=sinx，則 t∈[-1，1]

y=1-2t2+4t=-2（t-1）2+3

∵ t∈[-1，1]

∴ y∈[-5，3]

函數(shù) y=cos2x+4sinx 的值域的[-5，3]。

（5）定義在 R 上的函數(shù) f（x）=（x+1）（x+2）（x+3）（x+4） 的值域是

〖解析〗注意到函數(shù)式中各因式的常數(shù)部分的等差規(guī)律，通過因式重組相乘產(chǎn)生相同項，進而找到換元的切入點。

因為 f（x）=（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）

=（x+1）（x+4）（x+2）（x+3）

=（x2+5x+4）（x2+5x+6）

=（x2+5x+4）[（x2+5x+4）+2]

令 t=x2+5x+4，則 。

所以 f（x）=t（t+2）=t2+2t，值域為[-1，+∞）。

即函數(shù) f（x）=（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）的值域是[-1，+∞）

【設計意圖】初中階段學生學習過二次函數(shù)的基本性質，也在實際應用中接觸過二次函數(shù)的最大最小值問題，但是都是比較簡單與基礎的題?，F(xiàn)在高中階段再次學習二次函數(shù)，學習的廣度與深度都進一步加大，此時不再需要直接求解二次函數(shù)的值域問題，而是需要學生有一種模型的思想，觀察函數(shù)解析式的特點，以二次函數(shù)為解決問題的橋梁從而求值域。

一般來說，能夠轉化成二次型函數(shù)問題有幾類：（1）含有二次根式的二次型，利用平方根與平方的互逆關系進行換元，將原函數(shù)轉化成二次函數(shù)。（2）含有指數(shù)的二次型，根據(jù)指數(shù)的運算法則進行適當?shù)刈冃沃?，可以選擇合適的新元，把原函數(shù)轉化成二次函數(shù)。（3）含有對數(shù)的二次型，根據(jù)運算法則也可以轉化成二次函數(shù)。（4）含有三角函數(shù)的二次型，根據(jù)三角函數(shù)的公式進行變形轉化成二次函數(shù)問題。

當然，在解決具體問題的過程中，教師應該注意強調(diào)，無論何種情況都要保證換元得到的新函數(shù)的自變量的取值范圍是正確的，以免出錯。

（二）對勾型值域問題

【例題】函數(shù) ，x∈（-1，+∞）的值域為

〖解析〗令 t=x+1，則 x=t-1，

∵ x∈（-1，+∞），則 t∈（0，+∞）

∴

∴，即 y∈（1，+∞）

【變式】函數(shù) ，x∈（-1，+∞）的值域為

〖解析〗我們可以觀察到變式中的函數(shù)是原題中函數(shù)的倒數(shù)，在解題的過程中要善于借助已有的知識與結論來解決問題，從而使得問題的解決簡單化、邏輯化、系統(tǒng)化。

令 t=x+1，，則

由例題可知，u∈[1，+∞），∴ ∈（0，1]

【設計意圖】對勾函數(shù)是形如 ?的函數(shù)，是由正比例函數(shù)與反比例函數(shù)復合而得到的函數(shù)。因其圖象的特點，也被稱作“耐克函數(shù)”或者“耐克曲線”。高中數(shù)學人教版教材必修 5 中均值不等式部分引用了對勾函數(shù)作為例題，但是教材中沒有對對勾函數(shù)進行介紹。但是這類函數(shù)在求取函數(shù)的單調(diào)性與值域問題、不等式的證明問題，以及解方程上起著重要的作用。對勾函數(shù)在高中考查中難度大，需要一定的邏輯推理能力以及較好的運算水平，應當引起學生足夠的重視。在掌握對勾函數(shù)的性質之后，學生還要學會靈活地運用它，將問題變形成對勾函數(shù)。比如，函數(shù) ?可以通過恒等變形轉化成 ;函數(shù) ?可以通過變換轉化為 ;函數(shù) ?可以通過變換轉化為 。通過適當?shù)淖冃魏?，運用對勾函數(shù)的性質求解這類函數(shù)的值域問題。

（三）反比例型值域問題

【例題 1】函數(shù) ?的值域為

〖解析〗令 t=x+1，則 x=t-1

【例題 2】函數(shù) ?的值域為

〖解析〗令 t=x2+1，則 x2=t-1

函數(shù)

又

∴ 函數(shù) 。

【變式】函數(shù) ?的值域為

〖解析〗分式函數(shù) ?的值域問題的解法很多，本節(jié)課主要介紹了換元法，但也可以運用分離參數(shù)法將其轉化為二次函數(shù)，然后運用判別式法來解決問題。在實際教學中，應該注意引導學生集思廣益，拓展思路，運用不同的方法解決問題，使學生在思考與計算的過程中，深刻體會換元法在解決這類問題時的簡潔性、有效性。

令 t=x2+x+1，則

。

【設計意圖】反比例型函數(shù)是形如 ?的函數(shù)，是由反比例函數(shù)平移變換而得到的一類函數(shù)。形如 ?的函數(shù)可以通過分離常數(shù)的變形變?yōu)?。一般來說，形如 （f（x）≠0，且 f（x），g（x）都是次數(shù)相同的整式代數(shù)式的函數(shù)都可以轉化為反比例型函數(shù)，學生在學習過程中應該注意歸納，總結做題經(jīng)驗。

三、自我檢測

1.達標檢測題

（1）定義在 R 上的函數(shù) ?的值域為 ;

（2）函數(shù)，x∈（2，∞）的值域為;

（3）函數(shù) ?的值域為 ;

（4）函數(shù) ?的值域為 ;

（5）函數(shù) ?的值域為 。

【設計意圖】這五道題目分別考查了用換元法求解函數(shù)值域問題中的二次型值域問題、對構型問題以及反比例型問題。難度中等，題型常規(guī)，主要是檢測學生的學習效果。目的是使學生掌握運用換元法求解函數(shù)值域的基本方法，及時鞏固所學的內(nèi)容;在練習中進一步感悟轉化這一數(shù)學思想，積極主動地理解換元法的本質;有意識地去總結題型，注意這三類問題的解決方法，慢慢地培養(yǎng)適合自己的分析習慣，從而突破函數(shù)值域的求解問題。

2.能力提高題

（1）函數(shù) ?的值域為 ;

（2）已知 ，則函數(shù) ?的值域是 ;

（3）定義在 R 上的函數(shù) f（x）=（sinx-2）（sinx-3）（sinx-4）（sinx-5）的值域是 。

【設計意圖】這三個題目屬于能力提高題，需要學生認真觀察，充分分析函數(shù)的結構，選擇恰當?shù)摹霸边M行變形。變形的步驟比較繁瑣，難度較大，對學生的邏輯推理與數(shù)學運算能力都提出了更高的要求。這三道題目要求學生在掌握解決這三類函數(shù)的值域問題的基本方法與基本技能后，深刻理解其中所蘊含的數(shù)學思想。雖然所考查的函數(shù)千變?nèi)f化，但是核心的考點還是對函數(shù)代數(shù)式進行轉化，化歸成學生熟悉的問題進行求解。在積極思考，合作交流解決問題的過程中，使學生更加深刻感悟此類問題的內(nèi)核與本質，體會不同題目之間的聯(lián)系與區(qū)別;領悟其中蘊含的思想，懂得解法萬變不離其宗，（下轉第166頁）（上接第157頁）從而概括抽象出數(shù)學思想方法，形成自己的思考。這樣才是真正發(fā)展學生的數(shù)學能力，在課堂中落實核心素養(yǎng)培養(yǎng)。

四、歸納總結

在高中數(shù)學的學習中，換元法是一種常見并且十分重要的數(shù)學思想、解題方法。換元轉化是通過對函數(shù)解析式的觀察抽象出模塊，并轉化為其他函數(shù)的過程。換元法是將未知轉化成已知，將局部聯(lián)系整體，運用特殊到一般的轉化，充分體現(xiàn)了化歸這一重要的數(shù)學思想。教師在教學中要時刻引導學生感悟數(shù)學思想與數(shù)學方法，既要幫助學生更快地解決數(shù)學問題，又要加深學生對化歸理想的理解。因此，筆者希望通過針對性的例題學習，層層遞進，引導學生總結換元的規(guī)律與題型，學會用換元法求函數(shù)的值域，具備化歸的思想。同時，在這一過程中，學生通過對函數(shù)解析式整體與局部特點的分析，逐步建立解題大局觀，培養(yǎng)迎難而上，勇于鉆研的精神，從而落實學生的素養(yǎng)教育措施，讓學生更加深刻地體會辯證唯物主義—— 萬事萬物在一定條件下是互相轉化的的思想。

【參考文獻】

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（責編 盧建龍）