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機械振動是一種重要的運動形式。在高中階段，機械振動的知識要點主要包含簡諧運動的規(guī)律、單擺的運動特點、振動圖象的意義和受迫振動的特征等四個方面。為了鞏固和掌握有關機械振動的相關知識，有效提高復習效果，本文就機械振動的有效復習作粗淺探討以供參考。

一、掌握四大要點

1.簡諧運動特點

(1)動力學特征。振動物體所受的回復力與位移成正比，即F=-kx，方向始終與位移方向相反，且總是指向平衡位置。

(3)對稱性。在振動軌跡上關于平衡位置對稱的兩點，位移、回復力、加速度等大反向；速度等大，方向可能相同，也可能相反；動能、速率等大；振動質點從平衡位置開始第一次通過這兩點所用的時間相等。

(4)周期性。簡諧運動是周期性運動，其位移、速度、加速度、回復力、動能和勢能都隨時間做周期性變化。

(5)能量關系。機械振動的能量只取決于振幅，與周期和頻率無關；簡諧運動中只有動能和勢能間的相互轉化，則系統(tǒng)機械能守恒。

2.振動圖象

振動圖象反映一個振動質點的位移隨時間的變化規(guī)律，由圖象可直接讀出振幅、周期和任意時刻的運動方向。

由于振動的周期性和非線性，在從任意時刻開始計時的一個周期內(nèi)或半個周期內(nèi)，質點運動的路程都相等(分別為4A和2A)，但從不同時刻開始計時的四分之一周期內(nèi)，質點運動的路程不一定相等。

3.單擺

(1)單擺模型。將一根輕質且不可伸長的細線，一端固定另一端系一質量大而體積小的鋼球。單擺是一個理想化的物理模型。

(2)回復力。由重力沿圓弧切線方向的分力提供，而不是重力和繩子張力的合力提供。

4.受迫振動

(1)受迫振動：物體在外界驅動力作用下的振動。受迫振動的頻率在振動穩(wěn)定后總是等于外界驅動力的頻率，與物體的固有頻率無關。

(2)在受迫振動中，驅動力的頻率接近物體的固有頻率時，受迫振動的振幅增大，這種現(xiàn)象叫共振。

二、辨析四個關系

1.回復力和合力

使做機械振動的物體回到平衡位置的力叫回復力?；貜土κ且环N效果力，是振動物體在振動方向上所受的合力，但不一定是物體所受的合力?；貜土赡苡赡骋粋€力，或某一個力的分力，或某幾個力的合力提供。在平衡位置，回復力為零，但物體在該位置所受的合外力不一定為零。回復力的方向總是指向平衡位置。

2.平衡位置和最低點

做機械振動的物體，所受回復力為零的位置叫平衡位置。平衡位置不一定是最低點，且所受合力不一定為零。

平衡位置是運動過程中一個明顯的分界點，一般是振動停止時靜止的位置，并不是所有往復運動的中點都是平衡位置。存在平衡位置是機械運動的必要條件，有很多運動，盡管也是往復運動，但并不存在明顯的平衡位置，所以并非機械振動。

3.振動圖象和振動軌跡

簡諧運動圖象表示做簡諧運動質點的位移隨時間變化的關系，是一條正弦(或余弦)曲線，振動圖象不是質點運動的軌跡。

4.振動圖象和波的圖象

(1)研究對象不同。振動圖象是單個物體，而波的圖象是沿波傳播方向上所有質點。

(2)物理意義不同。振動圖象表示質點在各個時刻的位移，波的圖象表示某時刻所有質點的位移。振動圖象上任意兩點表示該質點在不同時刻偏離平衡位置的位移，而波的圖象上任意兩點表示不同的兩個質點在同一時刻偏離平衡位置的位移。

(3)一個完整波形所占橫坐標的距離意義不同。振動圖象表示一個周期，波的圖象表示一個波長。

(4)圖線的變化規(guī)律不同。振動圖象隨時間推移而繼續(xù)延伸，原來部分形狀不變；波的圖象隨時間推移圖象將沿傳播方向平移，原來部分將不復存在。

(5)相同點。機械波是振動在介質中的傳播，兩者都是按正弦或余弦規(guī)律變化的曲線，振動圖象和波圖象中的縱坐標均表示質點的振動位移，它們中的最大值均表示質點的振幅。

三、熟解九大題型

1.簡諧運動基本特點類

利用簡諧運動的基本特征和基本特點解題，基本特征是運動學特征和動力學特征，基本特點是對稱性和周期性。

【例1】彈簧振子在AOB之間做簡諧運動，O為平衡位置，測得A、B之間的距離為8 cm，完成30次全振動所用時間為60 s，則

( )

圖1

B.振子的振動頻率是2 Hz

C.振子完成一次全振動通過的路程是16 cm

D.從振子通過O點時開始計時，3 s內(nèi)通過的路程為24 cm

【例2】(2017年北京卷)某彈簧振子沿x軸的簡諧振動圖象如圖2所示，下列描述正確的是

( )

圖2

A.t=1 s時，振子的速度為零，加速度為負的最大值

B.t=2 s時，振子的速度為負，加速度為正的最大值

C.t=3 s時，振子的速度為負的最大值，加速度為零

D.t=4 s時，振子的速度為正，加速度為負的最大值

【分析】從圖象中看到，當t=1 s時，振子在最大位移處，此時它的速度為零，加速度最大，加速度的方向指向平衡位置，即沿x軸負方向，選項A正確；同理可知，選項BCD均錯誤。

2.振動圖象類

從振動圖象上可直接得出的振動情況有：①任意時刻相對平衡位置的位移，或由振動位移判定對應的時刻；②振動周期T，振幅A；③任意時刻回復力和加速度的方向；④任意時刻的速度方向。

【例3】一質點做簡諧運動的圖象如圖3所示，下列說法中正確的是

( )

圖3

A.質點的振動頻率是4 Hz

B.在10 s內(nèi)質點經(jīng)過的路程是20 cm

C.第4 s末質點的速度為零

D.在t=1 s和t=3 s兩時刻，質點的位移大小相等、方向相同

【分析】從振動圖象上可直接讀出周期為4 s，則頻率為0.25 Hz，選項A錯誤；在10 s內(nèi)質點經(jīng)過的路程是s=2.5×4A=20 cm，選項B正確；從圖中可知，第4 s末質點處于平衡位置，此時的速度最大，選項C錯誤；在t=1 s和t=3 s兩時刻，質點的位移大小相等、方向相反，選項D錯誤。

3.回復力類

回復力是一種效果力，是振動物體沿振動方向所受到的合力，它可能是某個力或某個力的分力亦或是物體受到的合力提供。

【例4】關于回復力，以下說法中正確的是

( )

A.回復力是振動物體所受到的合外力

B.回復力是除了重力、彈力、摩擦力之外的另一種力

C.回復力的大小跟位移成正比，方向始終相反

D.回復力可能是某個力提供，也可能是某個力的分力提供

【分析】由回復力的性質可知，AB選項都是錯誤的，而D選項是正確的；只有簡諧運動，回復力的大小跟位移成正比，方向始終相反，對于其他的振動，回復力的大小跟位移并不成正比，因此，C選項錯誤。

4.單擺類

單擺由小球的重力沿圓弧切線方向的分力提供回復力。解題時要特別注意單擺周期公式中擺長L和重力加速度g的涵義。

【例5】擺球質量相等的甲、乙兩單擺懸掛點高度相同，其振動圖象如圖4所示。選懸掛點所在水平面為重力勢能的參考面，由圖可知

( )

圖4

B.ta時刻甲、乙兩單擺的擺角相等

C.tb時刻甲、乙兩單擺的勢能差最大

D.tc時刻甲、乙兩單擺的速率相等

5.周期性問題類

振動過程中，振動質點相對于平衡位置的位移隨時間做周期性變化，這體現(xiàn)了時間的周期性。這個特征決定了振動問題通常具有多解性。為了準確地表達振動的多解性，通常寫出含有“n”或“k”的通式，再結合某些限制條件，得出所需要的特解，這樣可有效地防止漏解。

【例6】(2018年天津卷)一振子沿x軸做簡諧運動，平衡位置在坐標原點。t=0時振子的位移為-0.1 m，t=1 s時位移為0.1 m，則

( )

C.若振幅為0.2 m，振子的周期可能為4 s

D.若振幅為0.2 m，振子的周期可能為6 s

【分析】當t=0時刻振子的位移為x=-0.1 m，t=1 s時刻x=0.1 m，關于平衡位置對稱；如果振幅為0.1 m，則1 s 為半周期的奇數(shù)倍；如果振幅為0.2 m，分靠近平衡位置和遠離平衡位置分析。

6.受迫振動類

受迫振動的周期取決于驅動力的周期，與固有周期無關。當驅動力的周期(或頻率)等于固有周期(或固有頻率)時，振動的振幅最大。

圖5

【例7】(2013年江蘇卷)如圖5所示的裝置，彈簧振子的固有頻率是4 Hz。現(xiàn)勻速轉動把手，給彈簧振子以周期性的驅動力，測得彈簧振子振動達到穩(wěn)定時的頻率為1 Hz，則把手轉動的頻率為________。

A.1 Hz B.3 Hz C.4 Hz D.5 Hz

【分析】根據(jù)受迫振動特點可知，振子的振動頻率等于驅動力的頻率，可見，此時把手轉動的頻率為1 Hz，選項A正確。

7.鐘表問題類

對走時不準的擺鐘進行調(diào)整的問題，應抓住以下三點：(1)擺鐘的機械構造決定了鐘擺每完成一次全振動，擺鐘所顯示的時間是一定的，也就是走時準確擺鐘的周期T。(2)在擺鐘機械構造不變的前提下，走時快的擺鐘，在給定時間內(nèi)全振動的次數(shù)多，周期小，鐘面上顯示的時間快；走時慢的擺鐘，在給定時間內(nèi)全振動的次數(shù)少，周期大，鐘面上顯示的時間就慢。(3)無論擺鐘走時是否準確，鐘面上顯示的時間t顯=T×全振動的次數(shù)，其中T為走時準確擺鐘的周期，對于走時不準確擺鐘，計算其全振動的次數(shù)，不能用鐘面上顯示的時間除以其周期，而應以準確時間除以其周期。

【例8】有一擺鐘的擺長為l1時，在某一標準時間內(nèi)快a分鐘，擺長為l2時，在同一標準時間內(nèi)慢b分鐘，為使其準確，則擺長應為多長？(可把鐘擺視為擺角很小的單擺)

【分析】設該標準時間為ts，準確擺鐘擺長為lm，走時快的擺鐘周期為T1s，走時慢的擺鐘周期為T2s，準確的擺鐘周期為Ts，不管走時準確與否，鐘擺每完成一次全振動，鐘面上顯示的時間都是Ts。

8.綜合應用類

求解機械振動與其他知識的綜合題，關鍵是弄清知識的聯(lián)系點，再結合相關物理規(guī)律和機械振動知識建立方程。

圖6

【例9】如圖6所示，將質量mA=100 g的平臺A連接在勁度系數(shù)k=200 N/m的彈簧上端，形成豎直方向的彈簧振子，在A的上方放置mB=mA的物塊B，使A、B一起上下振動。若彈簧原長為5 cm，g取10 m/s2。求：

(1)當系統(tǒng)進行小振幅振動時，平衡位置離地面C的高度；

(2)當振幅為0.5 cm時，B對A的最大壓力；

(3)為使B在振動中始終與A接觸，振幅不得超過多少？

【分析】(1)將A與B整體作為振子，當A、B處于平衡位置時，根據(jù)平衡條件得kx0=(mA+mB)g

解得彈簧形變量

則平衡位置距地面的高度為h=l0-x0=5 cm-1 cm=4 cm

(2)已知A、B一起振動的振幅A=0.5 cm，當A、B振動到最低點位置時，加速度最大，其值為：

加速度的方向豎直向上。

取B物塊為研究對象，其受到重力mBg、A對B的支持力FN，其合外力為F=FN-mBg

根據(jù)牛頓第二定律得FN-mBg=mBam

解得FN=mB(g+am)=0.1×(10+5) N=1.5 N

根據(jù)牛頓第三定律知道，B對A的最大壓力大小為

(3)取B為研究對象，當B振動到最高點時，受到重力mBg和A對B的支持力FN，其合力為B的回復力：

F回=mBg-FN

根據(jù)牛頓第二定律得mBg-FN=mBa

當FN=0時，B振動的加速度達到最大值，其最大值為

取A與B整體為研究對象，受到的最大回復力為

則振動系統(tǒng)的振幅為

當振幅A′>1 cm時，B與A將分離，為使B在振動中始終與A接觸，振動系統(tǒng)的振幅A′<1 cm。

9.實際應用類

機械振動作為一種重要的運動形式，在實際中有著廣泛的應用。求解時要注意弄清實際問題與機械振動模型的聯(lián)系，再結合機械振動的相關知識建立方程。

【例10】在心電圖儀、地震儀等儀器工作過程中，要進行振動記錄，如圖7(1)所示是一個常用的記錄方法，在彈簧振子的小球上安裝一支記錄用筆P，在下面放一條白紙帶。當小球振動時，勻速拉動紙帶(紙帶運動方向與振子振動方向垂直)，筆就在紙帶上畫出一條曲線，如圖7(2)所示。

圖7(1)

圖7(2)

(1)若勻速拉動紙帶的速度為1 m/s，則由圖中數(shù)據(jù)算出振子的振動周期；

(2)作出P的振動圖象；

(3)若拉動紙帶做勻加速運動，且振子振動周期與原來相同，由如圖7(3)中的數(shù)據(jù)求紙帶的加速度大小。

圖7(3)

(2)由圖7(2)可以看出P的振幅為2 cm，則振動圖象如圖8所示；

圖8

(3)當紙帶做勻加速直線運動時，彈簧振子的振動周期仍為0.2 s，由圖7(3)可知，兩個相鄰0.2 s時間內(nèi)，紙帶運動的距離分別為0.21 m、0.25 m，由勻變速運動的規(guī)律Δx=aT2得