☉廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 秦 樂(lè)

☉廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 周 瑩

一、問(wèn)題提出

波利亞曾強(qiáng)調(diào)指出：“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就是加強(qiáng)解題訓(xùn)練”、“掌握數(shù)學(xué)就是意味著善于解題”，這充分說(shuō)明了習(xí)題在教學(xué)中的重要地位.教材習(xí)題是檢驗(yàn)學(xué)生知識(shí)掌握程度與數(shù)學(xué)能力高低的主要手段，其數(shù)量、難度等特征在很大程度上體現(xiàn)并決定了數(shù)學(xué)課程的深度.新課程改革以后，我們國(guó)家增強(qiáng)了“統(tǒng)計(jì)與概率”部分的地位，將“統(tǒng)計(jì)與概率”作為與“數(shù)與代數(shù)”、“空間與圖形”同等重要的地位貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終.因此，本文通過(guò)探究普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書人教A版數(shù)學(xué)3（必修）“統(tǒng)計(jì)與概率”部分習(xí)題難度編制的一般性規(guī)律，以期為教師科學(xué)有效地分析并利用習(xí)題、提高數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量和效率提供參考與借鑒.

二、研究設(shè)計(jì)

（一）研究?jī)?nèi)容

選取普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書人教A版數(shù)學(xué)3（必修）中“統(tǒng)計(jì)與概率”部分的習(xí)題（以下簡(jiǎn)稱：教材）作為研究樣本，以修訂后的習(xí)題綜合難度模型為基礎(chǔ)，采用定量研究法對(duì)教材中習(xí)題的難度進(jìn)行定量分析，通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行描述性統(tǒng)計(jì)和推斷性統(tǒng)計(jì)，以得到教材中習(xí)題難度的基本特征數(shù)據(jù)，從而對(duì)教材中的習(xí)題難度進(jìn)行分析.

表2-1 修訂后數(shù)學(xué)習(xí)題難度因素中各等級(jí)水平劃分情況

（二）研究工具

本文將王建磐教授和鮑建生教授的修正版習(xí)題綜合難度模型和張怡改進(jìn)版的模型相結(jié)合，最終采用結(jié)合后的模型對(duì)習(xí)題進(jìn)行難度研究.

2002年—2014年期間，華東師范大學(xué)王建磐教授和鮑建生教授設(shè)計(jì)并不斷修正了“習(xí)題綜合難度模型”，修正后的習(xí)題難度因素分別為背景、數(shù)學(xué)認(rèn)知、運(yùn)算、推理和知識(shí)綜合.此后，有部分學(xué)者繼續(xù)對(duì)修正后的模型進(jìn)行優(yōu)化.例如：張怡在其論文《綜合難度系數(shù)模型在2016年高考數(shù)學(xué)試題評(píng)價(jià)中的應(yīng)用》中，在原有五個(gè)難度因素的基礎(chǔ)上加入了“思維方向”因素（劃分為“順向思維”和“逆向思維”兩個(gè)等級(jí)水平），并把背景要素修訂成“有參數(shù)”與“無(wú)參數(shù)”兩種.

在研究教材習(xí)題難度的分析中，關(guān)注點(diǎn)更為集中于習(xí)題的背景、呈現(xiàn)方式以及學(xué)生的思維方向.因此，本文在五個(gè)難度因素的基礎(chǔ)上增加“思維方向”這個(gè)因素，采用修訂后的模型對(duì)習(xí)題進(jìn)行難度研究.修訂后的模型中難度因素中各等級(jí)水平劃分情況詳見(jiàn)表2-1.

然后，利用下面的公式計(jì)算每組題目在每個(gè)因素上的加權(quán)平均：

di（i=1，2，3，4，5，6）依次代表的是“背景”、“數(shù)學(xué)認(rèn)知”、“運(yùn)算”、“推理”、“知識(shí)綜合”與“思維方向”之難度要素加權(quán)平均值；dij是第i個(gè)難度要素之第j個(gè)水平之權(quán)重；nij是代表該組題目里面歸屬第i個(gè)難度要素之第j個(gè)水平習(xí)題的數(shù)目，n是題目總數(shù).

通過(guò)對(duì)教材中習(xí)題在六個(gè)難度要素下的分析來(lái)確定相應(yīng)的等級(jí)水平，再借助等級(jí)權(quán)重，利用公式2-1求出題目中各個(gè)難度要素的加權(quán)平均值，進(jìn)而獲得題目難度系數(shù)的六邊形模型.

三、習(xí)題難度的統(tǒng)計(jì)與分析

本文基于修訂后的模型對(duì)教材中的習(xí)題難度進(jìn)行研究.以下隨機(jī)選取教材中的一道習(xí)題來(lái)說(shuō)明利用此模型分析的步驟：

例 把紅、藍(lán)、黑、白4張紙牌隨機(jī)分給甲、乙、丙、丁4人，每人分得一張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”是（ ）

A.對(duì)立事件 B.互斥但不對(duì)立事件

C.不可能事件 D.以上都不對(duì)

此題選自教材121頁(yè)練習(xí)題第5題（視為1道習(xí)題），它在模型中六個(gè)難度因素方面的等級(jí)水平分別是：個(gè)人生活、概念、無(wú)運(yùn)算、簡(jiǎn)單推理、兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)、順向思維.

依據(jù)上述分析過(guò)程，對(duì)六個(gè)難度要素中的習(xí)題數(shù)量予以統(tǒng)計(jì)分析，見(jiàn)表3-1.

表3-1 教材中習(xí)題數(shù)量統(tǒng)計(jì)表

基于上面的數(shù)據(jù)，分別從以下六個(gè)方面：背景、數(shù)學(xué)認(rèn)知、運(yùn)算、推理、知識(shí)綜合以及思維方向，對(duì)教材中的每題都進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，接下來(lái)再利用習(xí)題綜合難度模型對(duì)教材中的習(xí)題的綜合難度加以研究.

（一）背景因素

背景因素下的等級(jí)水平分為：無(wú)背景、個(gè)人生活、公共常識(shí)、科學(xué)情景.

圖3-1 背景因素中各等級(jí)水平習(xí)題所占比例

該數(shù)據(jù)表明，教材中的多數(shù)習(xí)題都在特別的情境下提出，對(duì)學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力都提出了較高的要求，背景因素所反映的習(xí)題難度相對(duì)較高；但是無(wú)實(shí)際背景的習(xí)題依然占據(jù)一定的比例，說(shuō)明教材中的習(xí)題重視考察基本知識(shí)的掌握情況；科學(xué)背景的習(xí)題最少，說(shuō)明數(shù)學(xué)與科學(xué)文化知識(shí)聯(lián)系的不是十分緊密.

（二）數(shù)學(xué)認(rèn)知因素

數(shù)學(xué)認(rèn)知因素下的等級(jí)水平分為：操作、概念、領(lǐng)會(huì)-說(shuō)明、分析-探究.

圖3-2 數(shù)學(xué)認(rèn)知因素中各等級(jí)水平習(xí)題所占比例

經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學(xué)認(rèn)知因素方面，屬于“概念”水平的習(xí)題所占比例超過(guò)50%，這是由于教材中的習(xí)題更注重培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、定理等基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，大部分習(xí)題都是教材內(nèi)容的再現(xiàn)，考查學(xué)生對(duì)教材零碎知識(shí)的掌握情況.

（三）運(yùn)算因素

運(yùn)算因素下的等級(jí)水平分為：無(wú)運(yùn)算、數(shù)值運(yùn)算、簡(jiǎn)單符號(hào)運(yùn)算、復(fù)雜符號(hào)運(yùn)算.

圖3-3 運(yùn)算因素中各等級(jí)水平習(xí)題所占比例

在運(yùn)算水平上對(duì)于習(xí)題的數(shù)值運(yùn)算占的比重非常大，這說(shuō)明在教材的編寫方面，習(xí)題的設(shè)置非常重視學(xué)生的基本計(jì)算能力的培養(yǎng)，體現(xiàn)出高中數(shù)學(xué)課程對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能力的重視.由于“統(tǒng)計(jì)與概率”部分出現(xiàn)的數(shù)據(jù)較多，因此屬于“簡(jiǎn)單符號(hào)運(yùn)算”和“復(fù)雜符號(hào)運(yùn)算”的習(xí)題數(shù)量甚少.

（四）推理因素

推理因素下的等級(jí)水平分為：無(wú)推理、簡(jiǎn)單推理、復(fù)雜推理.

圖3-4 推理因素中各等級(jí)水平習(xí)題所占比例

由數(shù)據(jù)可知，“無(wú)推理”的題目和含有“簡(jiǎn)單推理”的題目所占比例大致相同，含有“復(fù)雜推理”的題目所占比例最少，這使教材中的習(xí)題在推理水平上的總體難度相對(duì)較低，側(cè)面反映出教材比較重視培養(yǎng)學(xué)生的簡(jiǎn)單推理能力.

（五）知識(shí)綜合因素

知識(shí)綜合因素下的等級(jí)水平分為：?jiǎn)蝹€(gè)知識(shí)點(diǎn)、兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)、兩個(gè)以上知識(shí)點(diǎn).

圖3-5 知識(shí)綜合因素中各等級(jí)水平習(xí)題所占比例

通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的觀察，不難發(fā)現(xiàn)教材中以單個(gè)知識(shí)點(diǎn)的習(xí)題為主，從多個(gè)角度對(duì)某個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行考查，即考查對(duì)知識(shí)的記憶程度，“知識(shí)堆砌”現(xiàn)象明顯，習(xí)題的“知識(shí)綜合”難度相對(duì)較小.

（六）思維方向因素

思維方向因素下的等級(jí)水平分為：順向思維、逆向思維.

圖3-6 思維方向因素中各等級(jí)水平習(xí)題所占比例

此數(shù)據(jù)說(shuō)明“統(tǒng)計(jì)與概率”部分的習(xí)題以順向思維題目作為考查重點(diǎn)，學(xué)生能夠通過(guò)順向思維完成題目是學(xué)生熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)的重要表現(xiàn)之一，因此表明“統(tǒng)計(jì)與概率”部分的習(xí)題重視學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況.

四、習(xí)題綜合難度分析

根據(jù)六個(gè)難度因素對(duì)習(xí)題難度的等級(jí)水平進(jìn)行劃分，但無(wú)法得出習(xí)題的總體難度.為應(yīng)對(duì)該難題，依照表4-1內(nèi)不同難度因素對(duì)應(yīng)的加權(quán)平均值，即可得出習(xí)題總體難度的六邊形模型（如圖4-1所示）：

表4-1 各難度因素的加權(quán)平均值

圖4-1 教材中“統(tǒng)計(jì)與概率”習(xí)題綜合難度雷達(dá)圖

從上圖可以得出，教材中的習(xí)題在六個(gè)難度因素上不太平衡，較為明顯的是“思維方向”，教材里面的“統(tǒng)計(jì)與概率”部分的習(xí)題主要屬于順向思維題目，逆向思維題目較少，這表明教材側(cè)重考查同學(xué)們的基礎(chǔ)知識(shí).總體而言，“背景”、“數(shù)學(xué)認(rèn)知”和“運(yùn)算能力”的綜合難度相對(duì)較高，“推理能力”、“知識(shí)綜合”和“思維方向”的綜合難度相對(duì)較低.

五、結(jié)論與思考

（一）結(jié)論

第一，習(xí)題背景設(shè)置“生硬化”.教材中的大部分習(xí)題以一定的背景作為基礎(chǔ)，雖然“個(gè)人生活”背景的習(xí)題占大多數(shù)，但教材中也出現(xiàn)了部分生硬編造習(xí)題背景的情況，特別是很多習(xí)題的背景與學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)容沒(méi)有太多具體的關(guān)聯(lián)，甚至是脫離其生活實(shí)際，這樣為了編造而編造的問(wèn)題情境不僅無(wú)益于學(xué)生更好地理解習(xí)題，而且容易妨礙到學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)的認(rèn)知.

第二，習(xí)題與知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系“碎片化”.教材中習(xí)題的編排側(cè)重于能夠更好地理解數(shù)學(xué)的概念性知識(shí)，且主要以涉及一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的習(xí)題為主，體現(xiàn)出教材側(cè)重對(duì)學(xué)生“基礎(chǔ)知識(shí)”、“基本技能”的考查；“分析-探究”水平的習(xí)題以及含三個(gè)及以上知識(shí)點(diǎn)的習(xí)題所占的比例都較少，說(shuō)明教材中習(xí)題的綜合性不是很強(qiáng)，這樣會(huì)導(dǎo)致學(xué)生對(duì)該章節(jié)的知識(shí)結(jié)構(gòu)欠缺整體的把握.

第三，習(xí)題的思維方向和推理水平“單一化”，對(duì)習(xí)題的綜合難度的影響不是十分顯著.教材中需要“復(fù)雜推理”的習(xí)題占極少數(shù)，說(shuō)明教材中的習(xí)題對(duì)學(xué)生的邏輯推理能力要求相對(duì)較低；其次教材中主要以“順向思維”水平的習(xí)題為主，說(shuō)明順向思維是“統(tǒng)計(jì)與概率”部分習(xí)題考查的重點(diǎn)，但同時(shí)也說(shuō)明了教材中的習(xí)題在“思維方向”上的難度系數(shù)略低.綜上表明，僅僅依賴于教材中的習(xí)題來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力比較困難.

（二）教學(xué)建議

1.習(xí)題導(dǎo)向生活化，彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科的應(yīng)用價(jià)值

目前新課程標(biāo)準(zhǔn)改革后，更加重視習(xí)題背景的設(shè)計(jì)，因此，在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)善于對(duì)教材中的習(xí)題背景進(jìn)行彈性改造，在注重知識(shí)的邏輯關(guān)系的同時(shí)，尊重生活實(shí)際，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)、科技和現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系，一方面有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)欲望，使學(xué)生充分體驗(yàn)“學(xué)習(xí)對(duì)生活有用的數(shù)學(xué)”；另一方面，為學(xué)生解決現(xiàn)實(shí)中的數(shù)學(xué)問(wèn)題提供知識(shí)背景與“腳手架”，有利于學(xué)生逐漸認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值.

2.習(xí)題設(shè)置系統(tǒng)化，建立科學(xué)的學(xué)科知識(shí)體系

在教學(xué)過(guò)程中，教師需有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，例如，教師可以著重在知識(shí)點(diǎn)的交匯處增設(shè)習(xí)題，并要求學(xué)生總結(jié)每道習(xí)題的知識(shí)點(diǎn)，尋找習(xí)題中的知識(shí)量與自己已有知識(shí)量之間的差異，以此方式來(lái)加強(qiáng)學(xué)生有效整合“碎片化”習(xí)題的意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)知識(shí)體系的把握.此外，教師還可以利用“思維導(dǎo)圖”等方式幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)學(xué)科的知識(shí)體系，增強(qiáng)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系和銜接，從而增強(qiáng)學(xué)生對(duì)“統(tǒng)計(jì)與概率”部分知識(shí)點(diǎn)的整體把握.

3.習(xí)題變式梯度化，注重?cái)?shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實(shí)

加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程.在“統(tǒng)計(jì)與概率”習(xí)題講解的過(guò)程中，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析和推斷，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力.其次，在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)實(shí)現(xiàn)習(xí)題再設(shè)計(jì)，將部分習(xí)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶荻然兪剑箤W(xué)生逐漸學(xué)會(huì)有邏輯的思考問(wèn)題，逐漸掌握邏輯推理的基本形式，同時(shí)，教師應(yīng)著重傳授一些與數(shù)學(xué)學(xué)科相關(guān)的比較與分析、推理與判斷的方法與技巧，如歸納、演繹等邏輯思維方法，這樣有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的概括性知識(shí)進(jìn)行梳理、整合與內(nèi)化，進(jìn)而達(dá)到發(fā)展學(xué)生數(shù)據(jù)分析、邏輯推理等核心素養(yǎng)的目標(biāo).