楊偉達

摘要：從平面到空間、從二維到三維、從具體到抽象是高中立體幾何的顯著特征，也是中學數(shù)學的一個重要轉折點.縱觀歷年立體幾何的考查點，高考試題始終離不開“平行和垂直”.這兩個核心也成了不少學生繞不過的坎.前不久，教育部考試中心權威發(fā)布：“2019年高考數(shù)學：邏輯推理能力要比刷更多題重要！”為此，這給許多教育工作者指明方向，以“提高學生的邏輯推理能力”的教學任重而道遠，筆者嘗試用比對自悟的方法提高立體幾何的復習效率，從而突顯學生的邏輯推理能力.

關鍵詞：立體幾何教學;比對自悟;邏輯推理能力

從教育部考試中心權威發(fā)布了解到，“2019年高考數(shù)學將把考查邏輯推理能力作為重要任務，以數(shù)學知識為載體，考查學生縝密思維嚴格推理的能力”.誠然，立體幾何是高中數(shù)學重點內(nèi)容之一.平行、垂直又是高中立體幾何的核心部分，一直是培養(yǎng)學生邏輯推理能力的最佳載體，一直是高考考查的熱點，因此，為了讓學生更好地、更全面地學好立體幾何，筆者用比對自悟的方法提高立體幾何的復習效率.僅供參考.

1 比對知識塊，自悟知識間的聯(lián)系

串接其實就是將不同的知識塊通過類比、聯(lián)想找出各部分之間的相同點和不同點，從而形成一個知識網(wǎng)絡圖，達到對知識的熟練掌握.當前，許多教師在復習立體幾何時常常給學生單獨講平行關系（或垂直關系），學生難于記住、記準、記牢！能否找到一種讓學生更好記住定理的方法呢？筆者認為教師如果能夠給學生提供一個平行、垂直的對比圖，就會發(fā)現(xiàn)各知識之間有許多相同或相似的地方，學生就會更加容易理解記憶，從而彰顯邏輯推理能力.

下面是有關平行、垂直的判定定理和性質定理的對比圖（如圖1所示）.

平行、垂直判定定理對比圖說明：

（1）題目的求證部分通常選用平行、垂直的判定定理;

（2）找平行線（或垂線）的問題都要注明線面的位置關系（線在平面內(nèi)）;

（3）找出2條直線必須相交，需要注明線線的位置關系（線線相交）;

（4）凡涉及面面問題時，通常選取其中一個面做嘗試.

平行、垂直性質定理對比圖說明：

（1）題目的已知部分通常用到平行、垂直的性質定理;

（2）性質定理通常要找一條交線，且交線一定要注明哪個面與哪個面相交.

2 比對簡單操作，自悟知識的內(nèi)化

美國行為主義心理學家斯金納認為，“人類行為主要是由操作性反射構成的操作性行為，操作性行為是作用于環(huán)境而產(chǎn)生結果的行為.在學習情境中，操作性行為更有代表性”.為此，在課堂教學中，用操作性的行為代替其它學習方式，這樣的學習來得更持久、更有效.

由于學生性別差異或者受初中平面幾何的影響，所以有不少學生分辨不出立體圖形的點、線、面的位置，學生學起來比較困難.這一狀況困擾學生，使得他們討厭數(shù)學，甚至恐懼數(shù)學.為此，作為教育工作者，能否找到一種更好的辦法讓學生得以輕松解決？筆者認為給學生比對自悟時間，教會學生一種簡單操作的方法，逐級尋找條件，直到找到適合結論所需的條件為止.

下面是筆者教給學生簡單操作的步驟：

（1）首先學生熟悉平行、垂直的判定定理及性質定理，做一個對比圖;

（2）平行：從題目的結論出發(fā)，讓學生拿起一支筆，放在圖形中的某條直線上，然后慢慢地平移到某個平面（此時筆充當平行線），在該平面中找到與之匹配的平行線（若不存在，則需要作一條輔助線）; 垂直：讓學生觀察某平面，拿起一支筆，用筆尖嘗試與該平面垂直（此時筆充當垂線），在原平面中找到與之匹配的垂線（若不存在，或作一條輔助線，或重新選擇平面）;

（3）接著逐級尋找平行線（或垂線），直到在題目的已知條件中能找到為止（如圖2所示）.

通過學生的簡單操作，教師在全班同學中逐一檢查，學生經(jīng)過多次練習、檢驗，他們就有了一個初步的認識，他們的書寫習慣就會有了較大的改變，成績就會有較大的提高.

3 比對思維導圖，突顯解題的嚴謹

在解題教學中，題設各部分之間比較零碎，用思維導圖串接起來，從而彰顯解題的嚴謹性.在立體幾何中，有關平行、垂直的問題常常是考查學生邏輯推理能力的最好體現(xiàn)，在學生作答卷面中常常出現(xiàn)這樣那樣的“添”“漏”現(xiàn)象，經(jīng)?？吹綄W生自己的“定理”，無中生有就是一個“亂”字.主要原因是學生對定理記不準、記不牢！解決這一問題，教師必須教會學生一個解題的思維導圖，逐級而上尋找條件，直到在題設條件中找到所需的條件，最后倒著順序書寫即可.

例1（2017年高考山東卷文18）由四棱柱AB-CD -A1B1ClDi截去三棱錐C1-B1CD1后得到的幾何體如圖3所示，四邊形ABCD為正方形，0為AC與BD的交點，E為AD的中點，A1E⊥平面ABCD.

（1）證明：A1O//平面B1CDi;

（2）設M是OD的中點，證明：平面A1EM上平面B1CDl.

分析（1）要證明A1O//平面B1 CD1，首先應考慮到線與面平行的判定定理.用框圖形式在黑板中展示給學生（如圖4所示），同時規(guī)范學生的解題步驟.根據(jù)線面平行的判定定理，則需在面B1CD1上找一條平行線，讓學生用筆放在直線AiO上，平移到平面B1CD1中，在平面B1CD1內(nèi)找到所需的直線.

（2）要證面A1EM⊥面B1CD1，應考慮到面與面垂直的判定定理.首先選取其中一個平面，在該平面上找垂線.不妨選擇平面A1EM，用筆作垂線試圖找到線BD，發(fā)現(xiàn)BD//B1D1，從而找到垂線B1D1，接著要證BD⊥面A1EM，為滿足線面垂直的條件，在面A1EM上找兩條相交直線EM和AE，在題設已知條件中檢驗是否找到相對應條件.

下面以本題中第（2）問的導學思維圖為例：

解（1）略.（2）如圖5，因為AC⊥BD，E、M分別為AD和OD的中點，所以EM ⊥BD.

因為ABCD為正方形，所以AO上BD.

又因為A1E⊥平面ABCD，BDc平面ABCD，所以AiE上BD.因為B1Dl//BD，所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1.

又因為A1E，EMC平面A1EM，A1E∩ EM=E，

所以B1D1上平面A1EM.

又B1D1 c平面B1CD1，所以平面A1EM上平面B1 CD1.

學生能夠利用思維導圖，就會有效地減少學生的“跳步、漏步”現(xiàn)象，學生的數(shù)學思維就會更加嚴謹，從而提高學生的邏輯思維能力.

總之，不管是學習還是教學只要師生用心去體會、去嘗試，用比對反復理解定理，用操作融入思辨，用導圖追尋條件，這樣立體幾何中有關平行、垂直問題就會迎刃而解.