摘 要：縱觀近年數(shù)學中考，對幾何入門的考查相當純粹，比如解答題部分中的第一道幾何題，動輒就是以教科書中的原題或只是略作改編后呈現(xiàn)。即便如此，學生的答題得分情況仍不盡如人意，存在各式各樣的問題，其很大原因是學生在幾何入門學習時出了問題。本文以筆者十幾年的教學經(jīng)驗為立足點，通過幾個方面談談初中幾何入門的考與教。

關鍵詞：中考；規(guī)范化；邏輯推理能力；基本圖形

圖形與幾何是初中數(shù)學的重要組成部分，在中考涉及的知識點中近乎占據(jù)半壁江山，涵蓋空間和平面基本圖形的認識，圖形的性質(zhì)、分類和度量，圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱、相似和投影，平面圖形基本性質(zhì)的證明，運用坐標描述圖形的位置和運動等方面的內(nèi)容，旨在注重發(fā)展和培養(yǎng)學生的符號意識、空間觀念、幾何直觀、推理能力等數(shù)學核心素養(yǎng)。

建立符號意識有助于學生理解符號的使用是數(shù)學表達和進行數(shù)學思考的重要形式，教學中教師應注重發(fā)展學生的符號感，培養(yǎng)學生正確認識、規(guī)范書寫、科學使用符號的良好習慣；空間觀念主要是指發(fā)展學生的圖形感，培養(yǎng)和提高學生在解決幾何問題中的識圖與畫圖、析圖與用圖、變圖與比圖等能力；幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題，培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的思想，形成“以形助數(shù)、以數(shù)解形”的數(shù)學素養(yǎng)；推理能力的發(fā)展貫穿在整個數(shù)學學習過程中，旨在培養(yǎng)學生合情推理和演繹推理的邏輯思維能力，清晰地表達自己的想法。

上述數(shù)學核心素養(yǎng)都是基于初中幾何入門教學而形成的。因此，初中幾何入門教學是整個幾何教學的基石，對后續(xù)的教學有著深遠影響?？v觀近年數(shù)學中考，對幾何入門的考查相當純粹，比如解答題部分中的第一道幾何題，動輒就是以教科書中的原題或只是略作改編后呈現(xiàn)。

例1 （2014年福州，第17題）如圖1，點E，F(xiàn)在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C。求證：∠A=∠D。（新人教版八年級上冊P39練習第2題，原題）

例2 （2015年福州，第19題）如圖2，∠1=∠2，∠3=∠4。求證：AC=AD。（新人教版八年級上冊P44習題12.2第4題，原題）

例3 （2016年福州，第21題）一個平分角的儀器如圖3所示，其中AB=AD，BC=DC。求證：∠BAC=∠DAC。（新人教版八年級上冊P4812.3角平分線的性質(zhì)思考，原題）

例4 （2017年福州，第18題）如圖4，已知AC=DF，CB=FE，AD=BE，求證：∠C=∠F。（新人教版八年級上冊P44習題12.2第9題，原題）

數(shù)學中考中即便是以原題呈現(xiàn)，學生的答題得分情況仍不盡如人意，存在著各式各樣的問題。下面筆者以2016年福州市初中畢業(yè)班第二次質(zhì)量檢測第21題的學生答題情況為例，歸納整理其中的問題，為幾何入門教學提供一些參考。此題改編自新人教版八年級上冊第十二章第56頁第9題，改編后難度下降。

例5 （新人教版八年級上P56復習題12第9題）如圖5，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，

BE⊥CE，垂足分別是D，E。AD=2.5 cm，DE=1.7 cm。求BE的長。

（2016福州二檢·21題）如圖6，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為D，E。求證： △ACD≌△CBE。

此8分，主要考查全等三角形的判定，涉及的相關知識點有角的表示（七上）、三角形內(nèi)角和定理（八上）、直角三角形的兩個銳角互余（八上）、同（等）角的余角相等（七上）及三角形全等的判定（八上）。經(jīng)統(tǒng)計，此題全福州市考生的得分情況如上方統(tǒng)計圖。

統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，此題平均分為5.62分，滿分率僅45.38%，15.19%的考生得分為0，29.71%的考生得分在5分以下。隨機抽查一些學生的答卷，除空白卷外，失分現(xiàn)象主要集中在以下五個方面：一是書寫不規(guī)范。首先是角的表示不規(guī)范，只能用三個大寫字母表示角時只用一個字母表示角。其次是用三角形內(nèi)角和定理求角度時書寫不規(guī)范，如∠B+∠BCE=△BCE-∠E。再是字母、全等、角等符號書寫不規(guī)范，如把“∠”寫成了“<”或“C”，把“≌”寫成“≈”，把“∵”和“∴”寫反了等。二是邏輯不清晰。證明思路不同尋常，條理混亂、繁瑣，條件和結(jié)論不匹配，漏掉關鍵步驟，寫了很大的篇幅也沒有找準解決問題的關鍵。三是卷面不整潔。解答過程字跡潦草、涂改嚴重、排版混亂，把答案寫到了圖形上甚至超出了規(guī)定的答題區(qū)域。四是條件隨意加。這類問題的學生主觀意識太強，看完圖形以后，憑主觀意識隨意添加條件，比如將度量的角度值或直接認為∠BCE=30°作為條件。五是判定不理解。對全等三角形的判定方法不甚理解，如把HL作為本題全等的判定方法，而且還是把一個角和一條邊作為HL的判定條件。

二檢如此，中考亦是如此。初三的學生面對幾何入門的考查尚存諸多問題，作為教師必須深刻反思平時的教與學，尤其是幾何入門的教與學。教師作為執(zhí)教者和學生學習的引路人，在幾何入門教學時就應十分重視這些問題的出現(xiàn)，及時糾正，為學生夯實基礎。筆者認為，如果教師在“教”的這三個方面下足工夫，那么學生在“學”上一定會大有收獲，快速做好幾何入門，養(yǎng)成良好的解題習慣，提高邏輯推理能力。

一、 培養(yǎng)學生規(guī)范書寫的習慣和能力。

規(guī)范是指按照既定標準、規(guī)范的要求進行操作，使某一行為或活動達到或超越規(guī)定的標準。在幾何入門教學階段，應該在哪些方面作規(guī)范化要求？

1. 符號書寫規(guī)范化。數(shù)學符號包括數(shù)量（π）、運算（×）、關系（<）、性質(zhì)（±）、省略（Rt△）等符號。在教學過程中，每當出現(xiàn)新的符號，教師應認真說明符號的含義，正確示范符號的規(guī)范書寫（如“≌”不能寫成“≈”），仔細區(qū)分與已學的哪些符號容易產(chǎn)生混淆（如“<”與“∠”，“△”與“A”）。教師可以把學生容易寫混的符號放在一起讓學生辨識、訓練，還可以借鑒英語學科訓練學生寫英文字母的要求進行符號書寫訓練，保證書寫規(guī)范。endprint

2. 答題排版規(guī)范化。平時應要求學生養(yǎng)成只在指定區(qū)域答題的良好習慣，字跡工整，字號大小適宜；可根據(jù)不同題型將答題區(qū)域用分割線劃分成2～4欄；在劃分好的答題區(qū)域內(nèi)逐題從左往右自上而下逐行書寫，并留有一定的行間距；“∵”“∴”分行書寫。

3. 添輔助線規(guī)范化。解幾何問題經(jīng)常需要添加輔助線，而輔助線的添法必須在解題過程中用文字進行準確表述。因此，很有必要對學生進行添輔助線的規(guī)范化訓練。在教學時，每出現(xiàn)一種新的輔助線添加方法，教師就應向?qū)W生進行準確表述示范，并不斷總結(jié)歸納常見添加輔助線的方法和準確表述，讓學生熟能生巧。學生在剛接觸添加輔助線時，會有表述不完整或不嚴謹現(xiàn)象，甚至憑主觀意識讓輔助線具有“一線多得”的功能（如圖7，連接AC，使得AC平分∠BAD），此時，教師應及時給予糾正和規(guī)范，向?qū)W生說明錯誤緣由。

4. 教師示范規(guī)范化。學生的規(guī)范書寫完全是基于教師的規(guī)范示范。在教學過程中，教師在課堂上說的每一句話，板書的每一個字和符號，都將直接影響學生對問題的準確表述。因此，教師的言語表達要精準，畫圖作圖要嚴謹，幾何語言、例題示范等板書要規(guī)范，給學生以標準、規(guī)范的示范。

例如，在學習對頂角相等時，這個結(jié)論的三種文字語言應如何板書才規(guī)范呢？

【文字語言】 【圖形語言】

（兩直線相交）對頂角相等

【符號語言】

（∵AB與CD交于點O）

∴∠AOC=∠BOD

“對頂角相等”這個結(jié)論雖然簡單，但在初學時，教師應將這個結(jié)論的文字補齊（上述括號內(nèi)畫線部分）并工整板書，這樣更容易讓學生正確理解和使用這個結(jié)論。

另外，課堂上學生回答或板演時不規(guī)范的地方也要及時糾正；批改作業(yè)時，教師應對錯誤的地方進行規(guī)范批注，對學生的錯誤應進行歸類、反思，究其錯因。如下面劃線部分是學生在初學全等時常見的一種錯誤，應及早防范，及時糾正。

∵△DBC≌△ECB

∴△DBC-△ABC=△ECB-△ABC

∴△DBA≌△ECA

5. PPT課件規(guī)范化?，F(xiàn)在，多數(shù)教師都會使用PPT課件輔助教學，尤其是公開課。因此，PPT課件中呈現(xiàn)的內(nèi)容是否規(guī)范直接影響教學效果。質(zhì)量好的PPT課件應使用統(tǒng)一的母版、字體、字號、色彩等元素，排版工整，字號適當，色彩對比度好，有良好的視覺效果。相反，如果粗制濫造，尤其是字號和字體不統(tǒng)一，也會影響學生的規(guī)范書寫。

二、 培養(yǎng)學生的邏輯推理能力。

很多學生解幾何問題時沒有解題思路，久而久之便有畏難情緒甚至失去信心。這是由于學生在幾何入門時沒有理解幾何證明的原理，在幾何語言的使用與互化、基本圖形的認識與運用、證明的格式與條理等方面沒有形成體系而導致的。因此，在幾何入門教學中，教師應對學生加強這些方面的訓練，從而培養(yǎng)學生的邏輯推理能力。

（一） 三種語言交互化

幾何的三種語言是指文字語言、圖形語言、符號語言。三者之間的互化是以圖形為紐帶，建立語言、符號之間的聯(lián)系。對三種語言的能力要求概括起來為“三化”，即每個幾何知識點的三種語言表述要規(guī)范化，相近幾何知識點的三種語言表述要系統(tǒng)化，所有幾何知識點的三種語言表述要網(wǎng)絡化。如以中點為例（如下圖），可以將與中點相關的知識點串聯(lián)起來。

（二） 玩轉(zhuǎn)圖形意識化

我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休?！睌?shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而實現(xiàn)優(yōu)化解題途徑的目的?？梢姟皵?shù)形結(jié)合”是十分重要的數(shù)學思想之一。作為幾何入門階段，教師應注重發(fā)展學生的圖感，逐步培養(yǎng)學生識圖與畫圖、析圖與用圖、變圖與比圖等能力，為學生逐漸形成數(shù)學結(jié)合思想提供有力支撐。

識圖是分析圖形的基礎，識圖訓練應從簡到繁、從易到難，重點訓練識別重要的基本圖形。這些圖形通常是考試的重點，也是解題的關鍵點，教師應把它們從教科書中提煉出來作重點講解和梳理。比如“K形圖”“子母型直角三角形”“一線三等角”“雙A型相似三角形”“手拉手全等三角形”等等。

畫圖是從幾何語句到直觀圖形的操作過程，是分析、解決問題的基本環(huán)節(jié)。用尺規(guī)完成基本作圖、根據(jù)題意畫出圖形是學好幾何的基本技能。教學時，教師可只給出文字不給出圖形，采用分步訓練法提高學生的畫圖能力。

例6 已知線段AC=3.3 cm。

（1） 點B在AC的上方，線段AB⊥AC，AB=2 cm，連接BC；

（2） AE⊥BC，垂足為E；

（3） 線段BD平分∠ABC，分別交AE，AC于點F，D；

（4） 線段FG∥BC交AC于G；

（5） 線段FH∥AC交BC于H。

析圖與用圖是指遇到復雜圖形式，學生能分析出圖形的生成過程，將其拆解成熟悉的基本圖形，再用基本圖形作為突破口，化整為零，解決問題。（如圖8）

變圖是指由一個基本圖形利用圖形變換或改變屬性等方式進行變化，得出一個系列圖組，再對比變化前后的圖形的異同點，從而起到做一題通一類的效果，不斷積累解題經(jīng)驗，提高解題能力。（如圖9）

學生的析圖、用圖、變圖、比圖等能力的形成是要有一個過程，但必須在幾何入門教學時教師就要做好引導并時常給予滲透。做到了這一點，相信學生的幾何解題能力會很出色。

（三） 解題析題模式化

雖題海無邊，但解題有法。對于解幾何題，其通法主要從三個方面入手：一是析文，仔細分析題意，找出由條件可直接得出的結(jié)論；二是觀圖，認真觀察圖形，拆解圖形，找出其中的基本圖形；三是思論，思考需求的結(jié)論，找出條件與其之間的關聯(lián)。這三個方面的有機結(jié)合是解決幾何問題的關鍵所在。在幾何入門教學時，教師應注重培養(yǎng)學生這三個方面的能力。endprint

對毫無解題經(jīng)驗的幾何初學者來說，難以快速找到解題思路和形成解題過程，教師可以采用“閱讀、排序、填空、說理、糾錯”等形式呈現(xiàn)解題過程，幫助學生固化因果關系，強化邏輯推理意識，再按照“讀題→分析→猜想→驗證→解答→反思”的解題流程對學生進行模式化訓練，讓其形成良好的解題習慣。

采用模式化訓練固然有效，但前提是必須讓學生先認識模式的產(chǎn)生，這就涉及對學習平面幾何的基本認識以及落實知識的基本方法與方式。比如，在定義或定理教學中，教師不僅僅要關注定義或定理的內(nèi)容，更重要的是要深究其使用條件及價值，否則學生就難以形成解題思路。例如在與平行線有關的問題中，其關鍵條件是截線，只有找到截線才能建立起角之間的聯(lián)系。因此，解決平行線問題最常見的解題思路就是找截線到角。

例7 如圖，將△ABC的兩個頂點分別放在矩形DEFG的兩條邊上，如果∠ECB=54°，∠B=80°，那么∠BAF= °。

三、 用好教科書中的例題和習題。

從歷年的中考中發(fā)現(xiàn)，教科書中的例題和習題經(jīng)常會以原題或略作改編作為考題出現(xiàn)。因此，用好教科書中的例題和習題是十分有必要的，除了夯實幾何基礎，還能讓大部分學生在中考中輕松得分，何樂而不為呢？

（一） 用好例題的示范作用

教科書中的例題都是精挑細選，非常具有代表性的，對某個知識點有很好的鞏固作用，對于幾何初學者來說，更具有很好的示范作用。在教學過程中，教師應認真、詳細板書例題的解題過程，用彩筆標記解題過程中的注意點或易錯點，供學生閱讀、參考，逐步培養(yǎng)學生正確的書寫習慣。

（二） 深挖例題的導向作用

教科書中的例題或習題，通常還會被作為中考的母題來源。在教學過程中，除了講解原題的解法之外，教師還應注重對其進行拓展或變式，充分挖掘原題的數(shù)學價值和導向作用。

例8 已知△ABC和△CEF是正三角形。Ⅰ.如圖11～12，當點B，C，E在同一直線上時，（1）求∠MCN的度數(shù)；（2）求證：△AEC≌△BFC；（3）求∠AGB的度數(shù)；（4）求證：CM=CN；（5）求證：△MCN是等邊三角形；（6）若CH⊥BF，CK⊥AE，垂足分別是H，K，則請判斷下列三個結(jié)論：①CH=CK；②GC平分∠BGE；③△HCK是等邊三角形，哪些是正確的？并說明理由；（7）若點H，K分別是BF，AE的中點。求證：①CH=CK；②△HCK是等邊三角形；（8）若CH，CK分別平分∠BCF，∠ACE。求證：①CH=CK；②△HCK是等邊三角形。Ⅱ.當點B，C，E不在同一直線上時，以上結(jié)論中哪些依然成立？請說明理由。

（三） 融合基本圖形的體系作用

在幾何學習的不同階段，同一個基本圖形將體現(xiàn)不同的數(shù)學價值。在教學過程中，教師應針對不同的學習階段，與學生一起總結(jié)歸納基本圖形的用法，并與已學的用法形成體系，這對不斷提高學生的解題、析題能力有很大的幫助。

例如，如圖13，子母型直角三角形，這是很重要的一個基本圖形。它最早出現(xiàn)在七年級下冊的《三角形》，所涉及的知識點是“直角三角形兩銳角互余”，用于計算角度；到八年級下冊的《勾股定理》，所涉及的知識點是“勾股定理”，用于計算線段長度；到九年級上冊的《圓》，所涉及的知識點是“圓周角定理”和“垂徑定理”，用于計算弦長或直徑；到九年級下冊的《相似三角形》《解直角三角形》，所涉及的知識點是“相似三角形”和“三角函數(shù)”，用于計算線段長度和建立邊角關系?？梢?，不同階段它有不同的作用和價值。教師應不斷總結(jié)歸納，讓學生理解、領會這個基本圖形的價值和用法。

新課本指出：數(shù)學教學活動應激發(fā)學生興趣，調(diào)動學生積極性，引發(fā)學生的數(shù)學思考，鼓勵學生的創(chuàng)造性思維；要注重培養(yǎng)學生良好的數(shù)學學習習慣，使學生掌握恰當?shù)臄?shù)學學習方法。在幾何入門教學過程中，教師就應著眼中考，多悟多思，不斷改進教學方法，努力培養(yǎng)學生良好的解題習慣和邏輯思維能力，促進學生盡快入門，夯實基礎，良性發(fā)展。相信經(jīng)過三年的積累，學生的能力一定會上升到一個全新的高度。

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作者簡介：杜強，福建省福州市閩江學院附屬中學。endprint