俞雪梨

摘要：假設(shè)檢驗(yàn)有雙側(cè)檢驗(yàn)和單側(cè)檢驗(yàn)之分，實(shí)際應(yīng)用的過程中，通常把假設(shè)檢驗(yàn)的實(shí)施流程化，而沒有去深究實(shí)施流程邏輯上的嚴(yán)密性。文章研究了單側(cè)檢驗(yàn)中的這個(gè)邏輯問題，使得單側(cè)檢驗(yàn)的實(shí)施流程更加嚴(yán)密。

關(guān)鍵詞：假設(shè)檢驗(yàn)；單側(cè)檢驗(yàn)；邏輯嚴(yán)密

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2019）31-0195-02

一、假設(shè)檢驗(yàn)的基本流程

高等金融類院校和工科院校均開設(shè)了“統(tǒng)計(jì)學(xué)”這門核心課程，其中假設(shè)檢驗(yàn)由于廣泛應(yīng)用于金融、生物技術(shù)、教育學(xué)、心理學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域，因而備受重視，與此同時(shí)，該部分內(nèi)容涉及比較深的統(tǒng)計(jì)思想，因而也是教學(xué)中的難點(diǎn)。為了降低學(xué)生學(xué)習(xí)的難度，在教學(xué)過程中，通常把假設(shè)檢驗(yàn)的流程程序化和步驟化，一般總結(jié)為以下幾個(gè)步驟。

第一步：提出原假設(shè)H和備擇假設(shè)H；第二步：確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量；第三步：根據(jù)顯著性水平，確定拒絕域；第四步：計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的實(shí)現(xiàn)值；第五步：驗(yàn)證第四步檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的實(shí)現(xiàn)值是否掉入拒絕域，得出結(jié)論。

下面用一個(gè)例子來說明這五個(gè)步驟的實(shí)施。

例1：某大學(xué)所有學(xué)生都擁有手機(jī)，一年前，所有學(xué)生每月的手機(jī)話費(fèi)支出的均值為100元。一年之后的現(xiàn)在，從該校所有學(xué)生中隨機(jī)抽取100名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們每月的手機(jī)話費(fèi)支出的均值為110元，標(biāo)準(zhǔn)差為30元。據(jù)此，在顯著性水平為α=0.05下能否認(rèn)為所有學(xué)生每月的手機(jī)話費(fèi)均值已不同于一年以前？

解：第一步：依題意，如果用μ代表現(xiàn)在所有學(xué)生每月話費(fèi)的均值，一年前話費(fèi)均值μ=100元，原假設(shè)為H：μ=μ=100，備擇假設(shè)是原假設(shè)的對立面，即為H：μ≠100元。第二步：考慮到總體標(biāo)準(zhǔn)差σ未知，并且樣本容量很大，使用z=N（0，1）作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。第三步：當(dāng)X的值太大或者太小，與檢驗(yàn)值100差距很大時(shí)，是小概率事件，此時(shí)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

Z=～N（0，1）將會(huì)是一個(gè)很小的負(fù)數(shù)或是一個(gè)很大的正數(shù)，結(jié)合顯著性水平α=0.05，說明這兩塊區(qū)域的面積加起來要等于0.05，查正態(tài)分布的分位數(shù)表可得，右邊的分位點(diǎn)為1.96，由于對稱性，左邊的分位點(diǎn)為-1.96，即拒絕域?yàn)閦>1.96或z<-1.96（如圖1）。第四步：將樣本數(shù)據(jù)及原假設(shè)成立時(shí)μ=μ=100代入計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的實(shí)現(xiàn)值，得z===

3.33。第五步：由于3.33>1.96，掉入右側(cè)拒絕域，因此拒絕原假設(shè)H，認(rèn)為現(xiàn)在該校所有學(xué)生每月話費(fèi)的均值已不同于一年以前的100元。

二、單側(cè)檢驗(yàn)中存在的問題

例2：在例1中，抽取到的這100名學(xué)生每月的手機(jī)話費(fèi)支出的均值為110元，比一年前所有學(xué)生每月手機(jī)話費(fèi)均值100元是有所提高的，一個(gè)很自然的問題是，在顯著性水平為α=0.05下，能否認(rèn)為所有學(xué)生每月的手機(jī)話費(fèi)均值比一年以前有顯著的提高？

解：第一步：顯然這是屬于單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)問題，原假設(shè)為H：μ≤100元，備擇假設(shè)為H：μ>100元。第二步，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量仍然為z=N（0，1）。第三步：原假設(shè)是H：μ≤100，樣本均值反映了總體均值的真實(shí)情況，當(dāng)?shù)闹堤?，比檢驗(yàn)值100大很多時(shí)，是在原假設(shè)成立時(shí)不太可能發(fā)生的小概率事件，此時(shí)依據(jù)小概率原理，我們將得出拒絕原假設(shè)的結(jié)論。因此拒絕域只在右邊，考慮到顯著性水平為0.05，查表得臨界值為1.6449，拒絕域?yàn)閦>1.6449。第四步：代入計(jì)算得檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的實(shí)現(xiàn)值z===3.33。第五步：由于3.33>1.6449，掉入拒絕域，拒絕原假設(shè)H，即可以認(rèn)為現(xiàn)在該校所有同學(xué)每月話費(fèi)的均值比一年以前的100元有顯著的提高。

大家在使用上述步驟時(shí)，幾乎是“天經(jīng)地義”，沒有誰去質(zhì)疑它的邏輯嚴(yán)密性。問題出在哪里呢？在第四步中，在原假設(shè)成立的時(shí)候，計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的實(shí)現(xiàn)值，為什么代入μ=μ=100進(jìn)行計(jì)算呢？事實(shí)上，原假設(shè)μ≤100中μ不僅可以等于100，還可能是≤100的任何一個(gè)值。為什么只需要代入端點(diǎn)值μ=100進(jìn)行判斷就可以了呢？

三、單側(cè)檢驗(yàn)中邏輯問題的解決

事實(shí)上，在做假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，把需要收集證據(jù)驗(yàn)證的假設(shè)放在備擇假設(shè)的位置上，要求在得出備擇假設(shè)是對的結(jié)論（即拒絕原假設(shè)）時(shí)，要有足夠的證據(jù)（小概率事件發(fā)生了）。由于檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量z=是一個(gè)關(guān)于μ的遞減函數(shù)，因此當(dāng)μ=μ=100算出的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量大于拒絕域，從而得出拒絕原假設(shè)的結(jié)論時(shí)，把μ<100代入計(jì)算得到的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量將更大，就一定會(huì)掉入拒絕域中，同樣能夠保證拒絕原假設(shè)時(shí)證據(jù)的充分性。因此，在進(jìn)行單側(cè)檢驗(yàn)的時(shí)候，計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的實(shí)現(xiàn)值時(shí)只需把端點(diǎn)的值代入計(jì)算。

因?yàn)閜π<<π，pπ0，因而Z′（π）<0，因此Z（π）是一個(gè)單調(diào)遞減函數(shù)，這就保證了在總體比例的單側(cè)檢驗(yàn)中，假設(shè)檢驗(yàn)流程的第四步，可以使用原假設(shè)的臨界點(diǎn)代入計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的實(shí)現(xiàn)值。

參考文獻(xiàn)：

[1]叢凌博.假設(shè)檢驗(yàn)的啟發(fā)式教學(xué)方法研究[J].價(jià)值工程，2012，（6）：273.