成谷

摘要：數(shù)值計(jì)算方法課程包含方法眾多、方法名稱容易混淆、數(shù)學(xué)推導(dǎo)較多，理論性、技術(shù)性和實(shí)踐性均較強(qiáng)，學(xué)生在有限的時(shí)間內(nèi)很難獲得較好的學(xué)習(xí)效果。為增強(qiáng)課程的趣味性，使學(xué)生在較短的時(shí)間內(nèi)掌握眾多的方法并學(xué)以致用，筆者在多年的教學(xué)實(shí)踐中進(jìn)行了一系列的教學(xué)改革：利用Matlab軟件具化方法原理及圖形，增強(qiáng)直觀感性認(rèn)知；多媒體教學(xué)、傳統(tǒng)板書(shū)教學(xué)、Matlab軟件實(shí)時(shí)編程演示相結(jié)合，控制教學(xué)節(jié)奏；提出啟發(fā)式問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考；結(jié)合專業(yè)需求，注重實(shí)踐教學(xué)和應(yīng)用研究。上述措施經(jīng)教學(xué)驗(yàn)證獲得了較好的效果。

關(guān)鍵詞：數(shù)值計(jì)算方法；教學(xué)改革；實(shí)踐教學(xué)

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2019）23-0122-02

一、引言

數(shù)值計(jì)算方法是一門理論性、技術(shù)性和實(shí)踐性都很強(qiáng)的課程，包括非線性方程求根、插值方法與曲線擬合方法、數(shù)值積分、常微分方程的數(shù)值解法、線性方程組的數(shù)值解法等內(nèi)容，在科學(xué)研究和工程實(shí)踐中具有廣泛的應(yīng)用。課程具有如下特點(diǎn)：包含方法眾多。如非線性方程求根方法包括二分搜索法、一般迭代法、Newton迭代法、Newton下山法、弦截法等，插值方法包括Lagrange插值、Aitken逐次插值、分段插值、Newton插值、Hermite插值等，矩陣的三角分解包括Doolittle、Crout及Cholesky等方法。學(xué)生在有限的時(shí)間內(nèi)很難掌握這眾多的方法；方法名稱容易混淆。如Newton這一名稱在非線性方程求根、多項(xiàng)式插值中均有出現(xiàn)，數(shù)值積分中又出現(xiàn)類似的名稱Newton-Cotes求積公式。在插值方法中有高次插值的Runge現(xiàn)象，在數(shù)值積分中有Romberg積分法，在常微分方程的數(shù)值解法中有Runge-Kutta方法。這些方法名稱的相似性使學(xué)生記憶過(guò)程中容易混淆，影響學(xué)習(xí)效果；數(shù)學(xué)推導(dǎo)較多，理論性較強(qiáng)。講解過(guò)程中眾多定理的推導(dǎo)和證明涉及較多的數(shù)學(xué)知識(shí)，內(nèi)容抽象，理論性較強(qiáng)，易使學(xué)生感覺(jué)枯燥，喪失學(xué)習(xí)興趣。如上所述眾多問(wèn)題影響了學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，很多學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了有益的探討。為增強(qiáng)課程的趣味性，使學(xué)生在較短的時(shí)間內(nèi)掌握眾多的方法并學(xué)以致用，筆者在多年的教學(xué)實(shí)踐中也進(jìn)行了一系列的教學(xué)改革。

二、增強(qiáng)《計(jì)算方法》課程趣味性的教學(xué)改革與實(shí)踐

1.利用Matlab軟件具化方法原理及圖形，增強(qiáng)直觀感性認(rèn)知。計(jì)算方法課程的學(xué)習(xí)涉及到很多數(shù)學(xué)推導(dǎo)，學(xué)習(xí)難免枯燥。因此在各種方法的學(xué)習(xí)過(guò)程中，通過(guò)Matlab軟件強(qiáng)大的圖形顯示功能具象化方法實(shí)現(xiàn)的過(guò)程和意義，增強(qiáng)學(xué)生的直觀感性認(rèn)識(shí)和對(duì)課程內(nèi)容的理解程度。如在二分法非線性求根過(guò)程中，利用Matlab畫圖表示曲線的形態(tài)、各次迭代的區(qū)間中點(diǎn)坐標(biāo)。在牛頓法非線性求根過(guò)程中，利用Matlab畫圖顯示每次迭代時(shí)的切線方向，比較不同迭代步時(shí)切線的解向真解的逼近過(guò)程。在一般迭代法中，針對(duì)不同的迭代格式利用Matlab展示不同迭代步的解及其收斂或發(fā)散特征。在講解Runge現(xiàn)象時(shí)，指導(dǎo)學(xué)生針對(duì)特定示例繪出等距節(jié)點(diǎn)和不等距節(jié)點(diǎn)時(shí)不同插值次數(shù)的多項(xiàng)式插值曲線的圖形，與原函數(shù)對(duì)比進(jìn)行解析。在數(shù)值求積部分，利用Matlab軟件顯示矩形、梯形、Simpson及Cotes型求積曲線與待求積函數(shù)進(jìn)行精度對(duì)比。講述羅朗定理時(shí)利用Matlab軟件繪出圖形講述函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)與其導(dǎo)數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)之間的關(guān)系。Matlab軟件繪制出的直觀圖形，讓抽象的理論內(nèi)容有了可視性。理論內(nèi)容的抽象性與繪圖結(jié)果的直觀性兩種不同的方式相結(jié)合，讓學(xué)生從不同的角度理解同一問(wèn)題，即增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又增強(qiáng)對(duì)課程內(nèi)容的理解程度。

2.多媒體教學(xué)、板書(shū)教學(xué)、Matlab軟件實(shí)時(shí)編程演示相結(jié)合，控制教學(xué)節(jié)奏。上課時(shí)讓學(xué)生緊跟老師講解的節(jié)奏不是一件容易的事，若學(xué)生在某一步驟沒(méi)有聽(tīng)懂，則后續(xù)的課程內(nèi)容便完全不知所云。授課的目的不是老師講清楚了，而是學(xué)生跟上節(jié)奏聽(tīng)明白了。因此在課堂授課的過(guò)程中要注意節(jié)奏的變化，留給學(xué)生思考的空間。目前常用的多媒體教學(xué)的優(yōu)點(diǎn)是美觀便捷，利于圖形展示，但每張PPT篇幅有限，只適合張貼提綱挈領(lǐng)式內(nèi)容，數(shù)學(xué)推導(dǎo)部分利用PPT講解易講解速度過(guò)快，不利于給學(xué)生留出思考的空間跟上課程節(jié)奏。因此，在多媒體教學(xué)的基礎(chǔ)上，結(jié)合傳統(tǒng)的板書(shū)教學(xué)，二者互相穿插。板書(shū)教學(xué)讓學(xué)生跟隨老師的粉筆，和老師一起思考，逐步遞進(jìn)了解每一數(shù)學(xué)步驟的推導(dǎo)過(guò)程。多媒體教學(xué)展示課程的內(nèi)容綱要、優(yōu)美圖件及重要結(jié)論，更能使學(xué)生抓住學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。二者的切換避免了教學(xué)形式的單一，更利于提高學(xué)生的專注程度。同時(shí)，針對(duì)一些方法得出的數(shù)學(xué)公式以及結(jié)論，老師利用Matlab軟件實(shí)時(shí)進(jìn)行編程演示，給出直觀的繪圖結(jié)果，避免單純講述公式和結(jié)論的空洞性。多媒體教學(xué)、板書(shū)教學(xué)、Matlab軟件實(shí)時(shí)編程演示三種教學(xué)方式相結(jié)合，保證教學(xué)節(jié)奏的張弛有度，有效引領(lǐng)學(xué)生的學(xué)習(xí)節(jié)奏，在增強(qiáng)課程趣味性的同時(shí)提高教學(xué)效果。

3.提出啟發(fā)式問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考。啟發(fā)式問(wèn)題可大大促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行主動(dòng)思考，學(xué)習(xí)效率事半功倍。在各部分內(nèi)容講述前，給出啟發(fā)式問(wèn)題讓學(xué)生進(jìn)行預(yù)習(xí)，預(yù)習(xí)過(guò)程中注意尋找問(wèn)題的答案，在課堂授課時(shí)學(xué)生在遇到相關(guān)問(wèn)題時(shí)也會(huì)精力集中。如在復(fù)化求積法講解前啟發(fā)學(xué)生思考Newton-cotes型低階和高階求積公式存在的問(wèn)題并由此引入為什么要進(jìn)行復(fù)化求積計(jì)算，在Aitken插值法和Newton插值法講解前啟發(fā)學(xué)生思考lagrange插值法的缺點(diǎn)及兩種方法不同的解決方案；在內(nèi)容講述后，給出啟發(fā)式問(wèn)題讓學(xué)生進(jìn)行拓展式思考。如在數(shù)值求積部分利用待定系數(shù)法求取求積系數(shù)時(shí)，讓學(xué)生思考如果設(shè)f（x）=x2，x3，讓精確求積公式與近似求積公式結(jié)果相等時(shí)求取的求積系數(shù)是否合理及其原因。在牛頓插值法講解時(shí)啟發(fā)學(xué)生比較第一種差商格式和第二種差商格式得到的差商系數(shù)是否相同，調(diào)換插值節(jié)點(diǎn)順序是否會(huì)影響插值結(jié)果等。

4.結(jié)合專業(yè)需求，注重實(shí)踐教學(xué)和應(yīng)用研究。計(jì)算方法是一門普適性課程，適用于很多專業(yè)。鑒于本課程的授課對(duì)象主要是地質(zhì)類和地球物理類專業(yè)學(xué)生，在課程講解過(guò)程中，結(jié)合專業(yè)需求和特點(diǎn)，指導(dǎo)學(xué)生利用計(jì)算方法的知識(shí)解決本專業(yè)的一些應(yīng)用問(wèn)題：如利用線性方程組直接/迭代解法求解地震走時(shí)反演中的射線層析成像問(wèn)題、靜電場(chǎng)中泊松/拉普拉斯方程的求解問(wèn)題，運(yùn)用插值和擬合方法求解地質(zhì)學(xué)中一些觀測(cè)數(shù)據(jù)的關(guān)系曲線等，使學(xué)生在學(xué)以致用的過(guò)程中增強(qiáng)對(duì)課程內(nèi)容的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)效果。此外，在理論教學(xué)的同時(shí)注重實(shí)踐教學(xué)，針對(duì)每一種方法，指導(dǎo)學(xué)生利用編程軟件具體編程實(shí)現(xiàn)，學(xué)生在編程的過(guò)程中自然發(fā)現(xiàn)并解決問(wèn)題，從而加深了對(duì)方法的認(rèn)知程度。學(xué)生在實(shí)踐過(guò)程中與理論知識(shí)相印證，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并解決問(wèn)題，對(duì)課程內(nèi)容的認(rèn)知程度大大加深。通過(guò)理論教學(xué)和上機(jī)實(shí)踐的結(jié)合，書(shū)本內(nèi)容和專業(yè)應(yīng)用的結(jié)合，不僅增強(qiáng)了課程的趣味性和學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，更可夯實(shí)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。

三、結(jié)論

數(shù)值計(jì)算方法是一門理論性、技術(shù)性和實(shí)踐性都很強(qiáng)的課程，包含方法眾多、方法名稱容易混淆、數(shù)學(xué)推導(dǎo)較多，學(xué)生在有限的時(shí)間內(nèi)很難得到較好的學(xué)習(xí)效果。為增強(qiáng)課程的趣味性，使學(xué)生在較短的時(shí)間內(nèi)掌握眾多的方法并學(xué)以致用，筆者在多年的教學(xué)實(shí)踐中進(jìn)行了一系列的教學(xué)改革：利用Matlab軟件具化方法原理及圖形，增強(qiáng)直觀感性認(rèn)知。數(shù)圖結(jié)合讓學(xué)生從不同的角度理解同一問(wèn)題，增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣和對(duì)課程內(nèi)容的理解程度；多媒體教學(xué)、板書(shū)教學(xué)、Matlab軟件實(shí)時(shí)編程演示相結(jié)合，保證教學(xué)節(jié)奏的張弛有度，掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)節(jié)奏，在增強(qiáng)課程趣味性的同時(shí)提高教學(xué)效果；提出啟發(fā)式問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考。啟發(fā)式教學(xué)可充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，從學(xué)習(xí)的被動(dòng)接受者變成主動(dòng)思考者甚至問(wèn)題的解決者，夯實(shí)學(xué)習(xí)效果；結(jié)合專業(yè)需求，注重實(shí)踐教學(xué)和應(yīng)用研究。通過(guò)理論教學(xué)和上機(jī)實(shí)踐的結(jié)合、書(shū)本內(nèi)容和專業(yè)應(yīng)用的結(jié)合，提升課程的趣味性，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，夯實(shí)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。一系列改革措施在教學(xué)實(shí)踐中獲得了較好的效果。

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