陳 露

(陜西理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,陜西 漢中 723000)

正則半群是半群代數(shù)理論的主要研究對(duì)象,而純正半群是一類特殊的正則半群．文獻(xiàn)[1-3]分別給出了含有中間單位的純正半群和正則半群的一些基本性質(zhì)和相關(guān)結(jié)構(gòu)定理；文獻(xiàn)[4]建立了帶有一對(duì)雙半群的N(2,2,0)代數(shù)系統(tǒng)；文獻(xiàn)[5-7]討論了N(2,2,0)代數(shù)的子代數(shù)、理想、非零零因子和右閉包半群；文獻(xiàn)[8-9]利用N(2,2,0)代數(shù)的一個(gè)子類,給出了它的一種同余分解；文獻(xiàn)[10]引入并討論了N(2,2,0)代數(shù)的中間冪等元的性質(zhì)；文獻(xiàn)[11-14]討論了N(2,2,0)代數(shù)的各種模糊子代數(shù)和模糊理想的性質(zhì).論文提出N(2,2,0)代數(shù)的反正則半群的概念并討論其性質(zhì).

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[4]設(shè)S是含常元0的集合.若在S中定義二元運(yùn)算*和Δ滿足以下公理：?x,y,z∈S,有

(F1)x*(yΔz)=z*(x*y);

(F2) (xΔy)*z=y*(x*z);

(F3) 0*x=x.

則稱(S,*,Δ,0)是一個(gè)N(2,2,0)代數(shù)．

定理1[4]若(S,*,Δ,0)是N(2,2,0)代數(shù),則?x,y,z∈S,下列等式成立：

(1)x*y=yΔx；

(2) (x*y)*z=x*(y*z)，(xΔy)Δz=xΔ(yΔz)；

(3)x*(y*z)=y*(x*z)，(xΔy)Δz=(xΔz)Δy.

推論1[4]若(S,*,Δ,0)是一個(gè)N(2,2,0)代數(shù),則(S,*,0)和(S,Δ,0)都是半群．

定義2[5]設(shè)(S,*)是一個(gè)半群，對(duì)于a∈S，若存在b∈S，使得a*b*a=a，則稱a是S的正則元. 如果S的每個(gè)元素都是正則元，則稱S是一個(gè)正則半群.

定義3[5]設(shè)(S,*,Δ,0)是一個(gè)N(2,2,0)代數(shù),對(duì)于a∈S,存在b∈S,使得a*b*a=a,b*a*b=b,則稱a為可逆元,b是a的逆元.

顯然，在N(2,2,0)代數(shù)(S,*,Δ,0)中，可逆元都是正則元. 記S的正則元a的所有逆元的集合記為V(a)，如果N(2,2,0)代數(shù)的半群(S,*，0)中的每個(gè)元素都存在逆元，則稱半群(S,*，0)是可逆的，也稱S是一個(gè)可逆半群.

定義4[5]給定一個(gè)N(2,2,0)代數(shù)(S,*，0)，若a∈S(a≠0)，存在b∈S(b≠0),使得a*b=0,則稱a是N(2,2,0)代數(shù)(S,*，0)的一個(gè)非零零因子，b是a的右伴隨非零零因子．

2 主要結(jié)果

定理2在N(2,2,0)代數(shù)(S,*,Δ,0)中，A?S，考慮集合

A={a,b|a*b*a=a,b*a*b=b,b2=0}，

其中：a,b都是正則元，且互為逆元.顯然集合A具有下列性質(zhì)：

(1) 當(dāng)a≠0,b≠0時(shí)，a是非零零因子，b是a的右伴隨非零零因子；

(2)a3=a;

證明(1) 由

于是

a*b=a*(0*b)=(a*0)*b=b*b=b2=0，

故當(dāng)a≠0,b≠0時(shí)，a是非零零因子,b是a的右伴隨非零零因子；

(2)a=a*b*a=a*b*(a*b*a)=b2*a3=0*a3=a3；

(3) 顯然成立.

定義5[15]設(shè)S是一個(gè)半群. 稱元素a為S的反正則元, 如果存在元素x∈S, 使得axa=x,xax=a成立.如果半群的每個(gè)元都是反正則元，則該半群是反正則半群.

定義6在N(2,2,0)代數(shù)(S,*，0)中，若a∈S，存在x∈S，使得a*x*a=x,x*a*x=a，則稱a是N(2，2，0)代數(shù)(S,*，Δ，0)的半群(S,*,0)的一個(gè)反正則元，x稱為a的伴隨元.

記S(a)={x∈S|a*x*a=x,x*a*x=a}，稱S(a)為a的伴隨元集．從定義容易看出a,x是互為伴隨元的.由定義1的(F3)，易知0∈S(0).

例1設(shè)S={0,a,b,c}，定義S上的*,Δ運(yùn)算如表1，2所示.

表1 例1(S,*)運(yùn)算表

表2 例1(S,Δ)運(yùn)算表

可以證明(S,*,Δ,0)是一個(gè)N(2,2,0)代數(shù).由于

0*0*0=0,a*a*a=a,b*b*b=b,c*c*c=c，

則半群(S,*,0)是一個(gè)反正則半群，也是一個(gè)正則半群和可逆半群，有

V(0)={0}，V(a)={a}，V(b)=,V(c)={c}，

S(0)=S(c)={0,c}，S(a)=S(b)={a,b}.

例2設(shè)S={0,a,b,c}，定義S上的*,Δ運(yùn)算如表3，4所示.

表3 例2(S,*)運(yùn)算表

表4 例2(S,Δ)運(yùn)算表

則(S,*,Δ,0)是一個(gè)N(2,2,0)代數(shù). 由于

0*0*0=0,b*b*b=b,c*c*c=c,

因此0,b,c是正則元和反正則元，也是可逆元.由于

0*c*0=0,c*0*c=c，

可知0,c也是互為逆元的，但元素a既不是正則元也不是反正則元，有

V(0)=V(c)={0,c}，V(a)=?，V(b)=，

S(0)={0}，S(a)=?，S(b)=，S(c)={c}，

故半群(S,*,0)不是一個(gè)反正則半群，不是一個(gè)正則半群，從而也不是可逆半群.

定理3若N(2,2,0)代數(shù)(S,*,Δ,0)的半群(S,*,0)是反正則半群，即a∈S,存在b∈S，使得a*b*a=b,b*a*b=a,則

a*b=b*a,a2=b2,a5=a3=a,b5=b3=b.

證明(1) 由a*b*a=b,b*a*b=a，可得

(b*a*b)*b=a*b，

(b*a*b)*b=b*(b*a*b)=b*a，

即b*a=a*b成立.

(2)a*b*a=b,b*a*b=a?a2=a*a=a*(b*a*b)=(a*b*a)*b=b*b=b2，即a2=b2成立.

(3)b*a3*b=a3?a3*b2=a3?a3*a2=a3?a5=a3.

另一方面,由

a*b*a=b,

b*a*b=a?(a*b*a)*a*(a*b*a)=a?a*(b*a*b)*a*a*a=a?a5=a，

同時(shí),有

(a*b*a)*a*(a*b*a)=a?a*a*(a*b*a)*b*a=

a?a*a*b*b*a=a?a*(b*a*b)*a=a?a3=a，

于是a5=a3=a.類似可得b5=b3=b.

定理4若N(2,2,0)代數(shù)(S,*,Δ,0)的半群(S,*,0)是反正則半群,a,b∈S,則有下列結(jié)論成立:

(1) 若x∈S(a),a是冪零元,則必有x是冪零的;

(2)x∈S(a)∩S(b)?x∈S(a*b).

證明(1) 由x∈S(a),a是冪零元,則由a*x*a=x,得

x*a2=x?x*0=x，

又由

x*a*x=a?x*a*x*a=a2?x*(x*a2)=a2?x*(x*0)=0，

得x*x=0，即x是冪零的.

(2) 由x∈S(a)∩S(b)?x∈S(a*b)，有

a*x*a=x,b*x*b=x,

a*b*x*a*b=a*x*a*b*b=x*b*b=b*x*b=x,

x*a*b*x=a*x*b*x=a*b，

故x∈S(a*b).因此,x∈S(a)∩S(b)?x∈S(a*b).

定理5在N(2,2,0)代數(shù)(S,*,Δ,0)的半群(S,*，0)上定義關(guān)系

aρb?a*b*a=b,b*a*b=a，

則ρ是S上的同余關(guān)系.

證明自反性、對(duì)稱性顯然成立，這里只驗(yàn)證傳遞性.由

c*b*b=b*c*b=c,

同理可得

c*a*c=c*b*a*b*c=b*a*c*b*c=b*a*b=a，

于是傳遞性成立.故ρ是S上的等價(jià)關(guān)系.

假定aρb,cρd, 則有

(a*c)*(b*d)*(a*c)=a*c*a*b*d*c=

c*b*d*c=b*c*d*c=b*d,

類似地,有

(b*d)*(a*c)*(b*d)=b*a*b*d*c*d=a*c，

因此,ρ是S上的同余關(guān)系.

[x]*[y]=[x*y],[x]Δ[y]=[xΔy],

則有定理6.

證明

[x]*([y]Δ[z])=[x]*([yΔz])=[x]*([z*y])=[x]*([z]*[y])=[z]*([x]*[y])，

([x]Δ[y])*[z]=([y]*[x])*[z]=[y]*([x]*[z])，

[0]*[x]=[0*x]=[x]，