邵建國(guó)

[摘 要]用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言做表述，并用數(shù)學(xué)符號(hào)、式子、圖形等對(duì)抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行簡(jiǎn)單而又簡(jiǎn)潔的刻畫(huà)，這就是建立數(shù)學(xué)模型的重要意義，這些意義隨著新課標(biāo)的提倡成為每一位小學(xué)數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中深思的問(wèn)題。

[關(guān)鍵詞]小學(xué)數(shù)學(xué);建模;方法

[中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2019）14-0091-02

數(shù)學(xué)建模隨著《義務(wù)教育教學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的倡導(dǎo)，日益滲入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的領(lǐng)域。什么是數(shù)學(xué)模型，如何有效引導(dǎo)小學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，在小學(xué)推廣建模有什么重要意義？這是本文要探究的問(wèn)題。

一、數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模的概念初探

模型這個(gè)概念其實(shí)并不深?yuàn)W，《現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典》解釋：模型是依照實(shí)物的形狀和結(jié)構(gòu)按比例制成的物品，多用來(lái)展覽或?qū)嶒?yàn)。將模型遷移到數(shù)學(xué)上來(lái)，就是用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言對(duì)客觀事物（或者是一部分）進(jìn)行簡(jiǎn)縮、抽象、提煉出來(lái)的原型的替代物。接著數(shù)學(xué)領(lǐng)域又由模型這個(gè)概念發(fā)展了另一個(gè)概念——建模。其實(shí)就是建立模型。

不同的人對(duì)于建模這個(gè)概念都有不同的認(rèn)識(shí)。例如《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中認(rèn)為，數(shù)學(xué)建模是運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、方法和知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，已經(jīng)成為不同層次數(shù)學(xué)教育的重要內(nèi)容和基本內(nèi)容。葉其孝在《數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動(dòng)與大學(xué)數(shù)學(xué)教育改革》一書(shū)中認(rèn)為 ，數(shù)學(xué)建模就是應(yīng)用數(shù)學(xué)模型來(lái)解決各種實(shí)際問(wèn)題的方法，也就是通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的抽象、簡(jiǎn)化，確定變量和參數(shù)，并應(yīng)用某些規(guī)律建立有變量和參數(shù)的數(shù)學(xué)問(wèn)題（也可稱為一個(gè)數(shù)學(xué)模型），并解釋、驗(yàn)證所得到的解，從而確定能否用于解決實(shí)際問(wèn)題的多次循環(huán)、不斷深化的過(guò)程。有人又對(duì)這兩個(gè)定義進(jìn)行了比較，想仔細(xì)分析它們之間的不同。其實(shí)沒(méi)有這個(gè)必要，這兩個(gè)概念大同小異，就是“運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、方法和知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程”。數(shù)學(xué)的公式、定理本身就是一種模型。但是有一點(diǎn)值得注意，模型是聯(lián)系實(shí)際問(wèn)題與結(jié)果的橋梁，模型從實(shí)際問(wèn)題中歸納、提煉而來(lái)，最終為生活中的實(shí)際問(wèn)題服務(wù)，它是解決實(shí)際問(wèn)題的工具。

二、讓小學(xué)生充分體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的過(guò)程

著名數(shù)學(xué)家華羅庚認(rèn)為：“我們?cè)谶M(jìn)行教學(xué)時(shí)，對(duì)于書(shū)本上某些原理、定律、公式等，不能只讓學(xué)生記住，還要讓他們明白這些內(nèi)容是怎么來(lái)的。”其實(shí)這就是數(shù)學(xué)建模的過(guò)程。學(xué)生只有經(jīng)歷了這樣的探索過(guò)程，數(shù)學(xué)思想、方法才能沉積、凝聚，從而發(fā)揮更大的智慧價(jià)值。

例如，在進(jìn)行“圓錐體積”公式教學(xué)時(shí)，筆者給學(xué)生提供了多個(gè)圓柱形、長(zhǎng)方體、正方體和圓錐形的空盒（其中圓柱和圓錐有等底等高關(guān)系的，有不是等底等高關(guān)系的，圓錐與其他盒子形體沒(méi)有等底或等高關(guān)系的）、沙子等學(xué)具，讓學(xué)生分小組動(dòng)手實(shí)驗(yàn)。筆者引導(dǎo)學(xué)生自主探究、合作交流，對(duì)學(xué)習(xí)材料、學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)、學(xué)習(xí)過(guò)程主動(dòng)歸納、提升，最終構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。學(xué)生在建模的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)“圓錐的體積等于與它等底等高的圓柱體積的[13]”這一模型。之后筆者讓學(xué)生再進(jìn)行操作驗(yàn)證這一模型。

在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，筆者作為教學(xué)活動(dòng)的組織者和引導(dǎo)者，負(fù)責(zé)必要的幫扶工作。學(xué)生需要從提供的材料中通過(guò)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行建模和驗(yàn)證。學(xué)生通過(guò)不斷猜測(cè)、驗(yàn)證、修訂、再猜測(cè)、再驗(yàn)證的過(guò)程逐步以抽象概括方式自主總結(jié)出圓錐體積的計(jì)算公式。這樣的教學(xué)不僅發(fā)展了學(xué)生的統(tǒng)籌能力，更讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)建模的思維過(guò)程，同時(shí)在時(shí)而獨(dú)立思考、時(shí)而小組合作中體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，發(fā)展了數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

三、運(yùn)用模型進(jìn)行數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解

模型一旦建立之后，就會(huì)發(fā)揮巨大的智慧價(jià)值。教師在課堂上可以引導(dǎo)學(xué)生把模型的價(jià)值充分利用起來(lái)，這能起到啟迪智慧、培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的功效。

例如，在幾何圖形應(yīng)用的練習(xí)題中，第一題：如圖1所示，正方形的面積是16平方米，求圓的面積。第二題：如圖2所示，一個(gè)正方形的頂點(diǎn)都在一個(gè)圓上，正方形的面積是40平方厘米，這個(gè)圓的面積是多少平方厘米？第三題：如圖3所示，已知正方形面積是40平方厘米，如果在正方形里面畫(huà)一個(gè)最大的圓，這個(gè)圓的面積是多少？

經(jīng)過(guò)筆者的引導(dǎo)，學(xué)生思考動(dòng)手建立模型后，針對(duì)第一題，學(xué)生得出圓的面積=π×正方形面積。這樣，建模的過(guò)程就完成了，學(xué)生只要建立一個(gè)計(jì)算模型，再利用這個(gè)模型就可以求出一些幾何圖形的變形題或者拓展題。針對(duì)第二題，可以畫(huà)出正方形互相垂直的兩條對(duì)角線，然后把其中一個(gè)小三角形中與另外一個(gè)小三角形合并成一個(gè)小正方形，這樣這個(gè)小正方形與圓就形成了一個(gè)新模型，從而能夠利用新模型進(jìn)行求解。運(yùn)用同樣的思想方法，第三題可以經(jīng)過(guò)圓心分別畫(huà)出垂直于正方形兩條邊的垂線段，這樣就把一個(gè)大的正方形劃分為4個(gè)小正方形，而每一個(gè)小正方形與圓就構(gòu)成了圖1的模型，再利用模型來(lái)解答，就不難求出第三題的答案了。

這個(gè)案例充分說(shuō)明了用模型求解的重要意義。一旦教師引導(dǎo)學(xué)生探究出一個(gè)數(shù)學(xué)模型后，它的思想價(jià)值是非常巨大的。在解題時(shí)，只要學(xué)生認(rèn)真觀察、善于發(fā)現(xiàn)、善于聯(lián)系轉(zhuǎn)化，就能夠利用模型進(jìn)行求解，從而獲得巨大的學(xué)習(xí)樂(lè)趣。

四、數(shù)學(xué)模型在生活中的實(shí)際應(yīng)用

新課標(biāo)指出：義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程處于公共基礎(chǔ)的地位，教師要著眼于提高學(xué)生的整體素質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生全面、持續(xù)、和諧發(fā)展。課程設(shè)計(jì)要滿足學(xué)生未來(lái)生活、工作和學(xué)習(xí)的需要。從這個(gè)方面講，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最終的目的就是解決實(shí)際問(wèn)題，因此在運(yùn)用數(shù)學(xué)思想進(jìn)行建模的時(shí)候，最后還是要以在生活中的實(shí)際應(yīng)用為標(biāo)準(zhǔn)。

例如，當(dāng)教師指導(dǎo)學(xué)生建立了路程、時(shí)間和速度三者的關(guān)系模型之后，就可以讓學(xué)生利用騎自行車(chē)的方法測(cè)量從家到學(xué)校的距離，甚至還可以通過(guò)自然規(guī)律來(lái)判斷高跟鞋的高度為多少適合。大家都知道，自然規(guī)律中有一個(gè)黃金比例，這個(gè)比例在很多時(shí)候都于無(wú)形中發(fā)揮著作用，例如，什么樣的身材才能給人賞心悅目的感覺(jué)呢？答案就是人的下半身長(zhǎng)度與身高之比應(yīng)符合黃金比例。這時(shí)候可以引導(dǎo)學(xué)生用L代表身高，用h代表下半身長(zhǎng)度，用x代表高跟鞋的高度，即當(dāng)h+x[∶]L+x=0.618的時(shí)候，身材最完美。這個(gè)等式就是一個(gè)身材模型。用這個(gè)模型可以在生活中指導(dǎo)女士挑選適合自己身材的高跟鞋。

諸如此類(lèi)的問(wèn)題還有很多，例如，根據(jù)一輛轎車(chē)的占地面積與轎車(chē)的數(shù)量，估算出一個(gè)停車(chē)場(chǎng)大致的面積;用按揭貸款的模型去思考買(mǎi)房中的數(shù)學(xué)問(wèn)題;用統(tǒng)計(jì)中的模型快速統(tǒng)計(jì)出班干部選舉的結(jié)果……從這些內(nèi)容中不難發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模在生活中的重要意義，教師要善于用數(shù)學(xué)模型引導(dǎo)學(xué)生在生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，從而培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和素養(yǎng)。

總之，小學(xué)數(shù)學(xué)建模對(duì)于學(xué)生的生活有著重要的意義，教師要以新課標(biāo)理念為指導(dǎo)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，用科學(xué)的方法引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，并讓學(xué)生在課堂和課后生活中運(yùn)用模型解決問(wèn)題，以提高小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的效果。

（責(zé)編 覃小慧）