徐盈盈

[摘 要]在計(jì)算圖形的面積和體積時(shí)，一般只要將各項(xiàng)數(shù)值代入公式就可以準(zhǔn)確計(jì)算出結(jié)果，但是與圓形相關(guān)的一系列計(jì)算都繞不開(kāi)一個(gè)棘手的問(wèn)題，那就是圓周率[π]的近似值，因?yàn)閇π]是小學(xué)生接觸到的第一個(gè)無(wú)理數(shù)。給出在計(jì)算過(guò)程中對(duì)[π]的代換、抵消、簡(jiǎn)化的技巧，幫助學(xué)生正確認(rèn)識(shí)[π]。

[關(guān)鍵詞][π]的取值;操作;試驗(yàn) ;感悟

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2019）14-0025-02

盡管十二冊(cè)“實(shí)踐活動(dòng)”這一課已經(jīng)上過(guò)很多次，但每次備課筆者都會(huì)產(chǎn)生新的疑問(wèn)——“這個(gè)實(shí)踐活動(dòng)探究的價(jià)值在哪里？”“怎么才能有條不紊地安排4個(gè)活動(dòng)？”大家給出的意見(jiàn)是：讓學(xué)生通過(guò)操作認(rèn)識(shí)到側(cè)面積相同的圓柱體體積未必相等的教學(xué)創(chuàng)意不錯(cuò);盡管能夠利用計(jì)算器速算，但是一旦啟用計(jì)算器，規(guī)律就會(huì)被隱藏。聽(tīng)取了同事的意見(jiàn)后，筆者開(kāi)始重新審視這節(jié)課。

一、試教中的新發(fā)現(xiàn)

不管“水有多深”，只有親身“下水”，才能發(fā)現(xiàn)“π取近似值”妨礙了探究活動(dòng)的展開(kāi)。

活動(dòng)：準(zhǔn)備四張一模一樣的長(zhǎng)方形紙，長(zhǎng)16cm、寬4cm。取出其中兩張長(zhǎng)方形紙，一張橫向卷曲成圓柱體，另一張縱向卷曲成圓柱體。問(wèn)：兩個(gè)圓柱的體積相等嗎？先猜想，再驗(yàn)算。

當(dāng)長(zhǎng)方形紙片橫向卷曲（沿著長(zhǎng)卷）成圓柱體時(shí)，如圖1所示，得到的圓柱體中，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)演化為圓柱體底面的周長(zhǎng)，即圓柱體底面周長(zhǎng)C=16cm，長(zhǎng)方形的寬演化為圓柱體的高，圓柱體高h(yuǎn)=4cm。[4cm][16cm][4cm][圖1]

根據(jù)本單元的教學(xué)目標(biāo)，在計(jì)算圓柱的底面半徑、表面積和體積時(shí)，公式中的圓周率π一律要取近似值。因?yàn)閳A周率的近似取值，使得每個(gè)學(xué)生在計(jì)算制成的圓柱體紙筒的底面半徑、表面積和體積時(shí)，得到的結(jié)果也不同。如本題要計(jì)算圓柱體紙筒的底面半徑，按課本中一般保留π的兩位小數(shù)的明文規(guī)定，半徑r=16[÷]2π=2.547707…≈2.55（cm），然后再計(jì)算出圓柱體紙筒的體積V=πr[2]h[≈]3.14[×]2.55[×] 2.55[×]4=81.6714≈81.67（cm[3]）。

同理，當(dāng)長(zhǎng)方形紙筒豎直起來(lái)卷（沿著寬卷） 成圓柱體時(shí)（如圖2），長(zhǎng)方形的寬演化成圓柱的底面周長(zhǎng)，圓柱體底面周長(zhǎng)C=4cm，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)演化為圓柱體的高，圓柱體高h(yuǎn)=16cm。此時(shí)圓柱體底面半徑r=4[÷]2π=0.6369…[≈]0.64（cm），圓柱體體積V=πr[2]h[≈]3.14[×]0.64[×]0.64[×]16=20.578304[≈]20.58（cm[3]）。

將得到的各項(xiàng)數(shù)據(jù)整理如下：

可以發(fā)現(xiàn)：用兩種方式卷長(zhǎng)方形紙，得到兩個(gè)不同的圓柱形紙筒，它們的底面周長(zhǎng)、高、側(cè)面積都是精確值（整數(shù)值），二者的元素聯(lián)系非常明顯。不管是橫向曲卷還是豎直曲卷，制成圓柱形紙筒的側(cè)面積相等，都等于長(zhǎng)方形紙張的面積，而圓柱體的底面周長(zhǎng)，橫向曲卷時(shí)是縱向曲卷時(shí)的4倍，高則恰好相反，可底面半徑、體積之間卻沒(méi)有這種對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系。面對(duì)這種情況，是否該對(duì)學(xué)生直言相告：橫向曲卷的圓柱體的底面半徑和體積約為縱向曲卷時(shí)的4倍，而非剛好4倍，是因?yàn)榍笾禃r(shí)對(duì)圓周率[π]取了近似值？既知如此，何必當(dāng)初！

因?yàn)閇π]取了近似值，原本直觀的規(guī)律不存在了，還能繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生去尋找、檢驗(yàn)已被破壞的規(guī)律嗎？這不是偽證嗎？就算使用計(jì)算器，還是一樣找不出嚴(yán)謹(jǐn)準(zhǔn)確的規(guī)律！實(shí)踐活動(dòng)的目標(biāo)“研究圓柱體體積的變化，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)規(guī)律，加深對(duì)圓柱表面積、體積的認(rèn)知，并感受數(shù)量的轉(zhuǎn)化關(guān)系”如何實(shí)現(xiàn)？難怪大家都嘆息“想要說(shuō)清不容易”，最終只能遺憾地舍棄！

二、課后思考

在做應(yīng)用題時(shí)，圓周率π通常取近似值，演算時(shí)把π置于代數(shù)式最后一項(xiàng)，可以通過(guò)觀察代數(shù)式的全貌特征進(jìn)行簡(jiǎn)化，這個(gè)道理早在第十一冊(cè)就已經(jīng)被學(xué)生理解并運(yùn)用。那只是圓周率π在乘法算式中的簡(jiǎn)化抵消方法，如：3.14[×]3[×]3=9[×]3.14=28.26。如今圓周率π要作為除式的分子，又該怎么應(yīng)對(duì)？筆者的處理方式是：把圓周率[π]的取值置于最后一步，或者將圓周率π原封不動(dòng)留存于算式中，讓結(jié)果帶字母π。

如圖2，當(dāng)橫向曲卷長(zhǎng)方形紙時(shí)，制得的圓筒底面周長(zhǎng)C=16cm，高h(yuǎn)=4cm，先據(jù)此推算出底面半徑r。

r=C[÷]2π=[162π]=[8π]（cm）。（[π]不參與計(jì)算，用含π的分式表示得數(shù)）

V=π[×]（[8π]）[2][×]4=π[×][8π][×][8π][×]4（[π]仍不參與計(jì)算，可約分去掉一個(gè)[π]）=[256π]（cm[3]）。約分后最簡(jiǎn)代數(shù)式是含有無(wú)理數(shù)符號(hào)π的分式。

同樣，當(dāng)縱向曲卷長(zhǎng)方形紙時(shí)，制得的圓筒其底面周長(zhǎng)C=4cm，高h(yuǎn)=16cm。那么半徑r=C[÷]2π=[42π]=[2π]（cm），V=π[×]（[2π]）[2][×]16=π[×][2π][×][2π][×]16=[64π]（cm[3]。）

把分別橫向、縱向曲卷長(zhǎng)方形紙得到的圓柱體的五項(xiàng)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，如下表：

觀察表內(nèi)數(shù)值，“[8π]正好是[2π]的4倍”“[256π]正好是[64π]的4倍”……規(guī)律顯而易見(jiàn)。

三、實(shí)踐感悟

不著急給π取值，學(xué)生就能探究出轉(zhuǎn)化后的數(shù)量之間的規(guī)律：（1）當(dāng)圓柱體的側(cè)面積不變時(shí)，圓柱體的底面周長(zhǎng)與底面積和體積的大小變化相同;（2）當(dāng)圓柱體的側(cè)面積不變時(shí)，圓柱的底面周長(zhǎng)與高的大小變化相反。圓柱的底面周長(zhǎng)擴(kuò)大（縮?。?倍，高就隨之縮小（擴(kuò)大）4倍;（3）當(dāng)圓柱體的側(cè)面積不變時(shí)，圓柱體的底面周長(zhǎng)與半徑、體積的大小變化相同。圓柱體的底面周長(zhǎng)擴(kuò)大（或縮小）4倍，它的半徑就同向伸縮4倍，體積也同向伸縮4倍。

不僅如此，還有意外的驚喜，如：高的“作用力”以及半徑平方的幾何倍增作用相互制約。在計(jì)算圓柱體體積時(shí)，因?yàn)椤绑w積=π[×]半徑[2][×]高”，所以一個(gè)圓柱體的體積既受到半徑的計(jì)值作用，也受到高的計(jì)值作用。在這個(gè)操作過(guò)程中，從橫向曲卷到縱向曲卷，高雖然擴(kuò)增4倍，底面半徑縮小4倍，但是由于半徑要平方，也就是連續(xù)做兩次乘法，擴(kuò)增互相抵消一次后，結(jié)算下來(lái)，體積仍是縮小了4倍。

用式子表述如下：

[V橫]=π[×]r[2][×h]

[V縱]=π[×]（r[÷]4）[2][×]（h[×]4）=[π][×][r216][×]h[×]4=[π][×]r[×]r[×h][÷]4=（π[×]r[2][×][h]）[÷]4

因此，[V縱]=[V橫][÷]4。

也有少數(shù)學(xué)生迫不及待地算出近似值，最終確認(rèn)兩個(gè)近似結(jié)果之間近乎4倍不是正好為4倍。但在筆者提出質(zhì)疑后，學(xué)生馬上找到其中的原因——因?yàn)槎既×私茢?shù)。可見(jiàn)，用帶無(wú)理數(shù)符號(hào)[π]的式子直接代表計(jì)算結(jié)果更便于揭示規(guī)律。

（責(zé)編 童 夏）