邱金米

摘 要：數(shù)學(xué)思考最核心的是學(xué)會(huì)獨(dú)立思考，體會(huì)數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式。人教版開辟“數(shù)學(xué)廣角”重點(diǎn)進(jìn)行介紹。六年級(jí)下冊(cè)總復(fù)習(xí)單獨(dú)列出“數(shù)學(xué)思考”這塊內(nèi)容，對(duì)小學(xué)所學(xué)的數(shù)學(xué)思考進(jìn)行全面的整理回顧。本文以利用數(shù)形結(jié)合找規(guī)律為例，對(duì)教材中的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行解讀與思考。教材中教學(xué)內(nèi)容解讀不僅是文本層面，更需探索蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)思想和方法。教材的解讀與思考蘊(yùn)藏在數(shù)學(xué)教學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展、實(shí)踐、反思的過程中。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思考；解讀；思考

“數(shù)學(xué)思考”是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》具體目標(biāo)之一，其明確提出：建立數(shù)感、符號(hào)意識(shí)和空間觀念，初步形成幾何直觀和運(yùn)算能力，發(fā)展形象思維和抽象思維；在參與觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明、綜合實(shí)踐等數(shù)學(xué)活動(dòng)中，發(fā)展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達(dá)自己的想法；學(xué)會(huì)獨(dú)立思考，體會(huì)數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式。數(shù)學(xué)思考最核心的是學(xué)會(huì)思考，學(xué)會(huì)獨(dú)立思考。以數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，提高抽象能力；以數(shù)學(xué)的視角思考世界，發(fā)展推理能力和數(shù)學(xué)思維。人教版教材不僅在各個(gè)內(nèi)容的編排中蘊(yùn)藏?cái)?shù)學(xué)思想和方法，且專門安排了“數(shù)學(xué)廣角”的單元，系統(tǒng)的、有步驟的滲透重要的數(shù)學(xué)思想和方法?！皵?shù)學(xué)廣角”選取的教學(xué)內(nèi)容學(xué)生能理解的且比較具體生動(dòng)的事例，與生活實(shí)際聯(lián)系緊密，并且操作性和探究性比較強(qiáng)，適合學(xué)生自主探究，使學(xué)生在經(jīng)歷探究的過程中感受數(shù)學(xué)思想和方法。

小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)第六單元整理和復(fù)習(xí)數(shù)與代數(shù)中第4節(jié)的“數(shù)學(xué)思考”，以數(shù)學(xué)思考為整理與復(fù)習(xí)的對(duì)象，對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)所學(xué)的數(shù)學(xué)思考進(jìn)行回顧整理中提升，讓學(xué)生在推理方面得到更多的訓(xùn)練，進(jìn)一步發(fā)展邏輯推理能力和解決問題的能力，也為第三學(xué)段的銜接做一些準(zhǔn)備。下面以這個(gè)小節(jié)中的例1利用數(shù)形結(jié)合找規(guī)律為例，對(duì)六年級(jí)下冊(cè)整理與復(fù)習(xí)中的數(shù)學(xué)思考的教材進(jìn)行解讀與思考。

教材選取的教學(xué)內(nèi)容是編者對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)的把握和教育教學(xué)理念的具體體現(xiàn)，其解題思路和方法具有一定的典型性和代表性，其蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)思想和方法具有廣泛性與遷移性。尤其是例題的問題解決與數(shù)學(xué)思考的過程，有利于抓住問題的本質(zhì)，感悟解題的規(guī)律，訓(xùn)練思維能力，從而達(dá)到觸類旁通。

一、文本的解讀

（一）導(dǎo)語的解讀

本小節(jié)導(dǎo)語開門見山提出——數(shù)學(xué)思想和方法可以幫助我們有條理地思考，簡(jiǎn)捷地解決問題。你能舉例說一說你知道哪些數(shù)學(xué)思想和方法呢？共兩句話，但言簡(jiǎn)意賅。第一句話指出數(shù)學(xué)思想和方法的作用是幫助我們有條理地思考。關(guān)鍵詞是有條理，有條理是所有數(shù)學(xué)思考最應(yīng)具備的前提，有條理地把退，使問題退到源頭，再有條理地列舉，這樣有利于探索蘊(yùn)藏的規(guī)律，達(dá)到應(yīng)用規(guī)律簡(jiǎn)捷地解決問題的目的。反之如果想簡(jiǎn)捷地解決問題，需要數(shù)學(xué)思想和方法的幫助，它們可以使我們退到源頭，從簡(jiǎn)單問題入手，在逐步前進(jìn)中不斷回頭看、反思，探索規(guī)律，建立模型，再應(yīng)用模型簡(jiǎn)捷地解決問題。第二句話溫馨提示學(xué)生用舉例的方法，回顧知道的數(shù)學(xué)思想和方法。數(shù)學(xué)思想和方法不是單獨(dú)存在的，它們是蘊(yùn)藏在數(shù)學(xué)知識(shí)的形成、發(fā)展、應(yīng)用的過程中。因此需要學(xué)生在舉例中，在回顧解決問題的過程中來體會(huì)數(shù)學(xué)思想和方法。

（二）例1的解讀

例1利用數(shù)形結(jié)合找規(guī)律，選取“求平面上幾個(gè)點(diǎn)可以連多少條線段”為學(xué)習(xí)內(nèi)容。它來自學(xué)生的生活，同時(shí)操作性、探究性比較強(qiáng)，且具有低起點(diǎn)高落點(diǎn)的特點(diǎn)。低起點(diǎn)是每個(gè)孩子都能去操作探究、都敢去探究；高落點(diǎn)是合情推理發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

例1共有“6個(gè)點(diǎn)可以連多少條線段？8個(gè)點(diǎn)呢？根據(jù)規(guī)律，你知道12個(gè)點(diǎn)、20個(gè)點(diǎn)能連多少條線段嗎？請(qǐng)寫出算式。想一想，n個(gè)點(diǎn)能連多少條線段？”5個(gè)小問題，可分三個(gè)層次。

（1）第一層次是“6個(gè)點(diǎn)可以連多少條線段？8個(gè)點(diǎn)呢？”第一個(gè)問題從6個(gè)點(diǎn)的“數(shù)”開始，經(jīng)過連多少線段的“數(shù)形結(jié)合”的歷程，最后以線段的“形”結(jié)束。從靜態(tài)的點(diǎn)，經(jīng)歷連線段的動(dòng)態(tài)的過程，最后到量化的多少條線段的數(shù)量的過程，融合了數(shù)、形、數(shù)形結(jié)合的三個(gè)維度。問題呈現(xiàn)后，教材用大量的篇幅和多種形式對(duì)學(xué)習(xí)方法進(jìn)行指導(dǎo)。①圖文結(jié)合形式，真實(shí)的再現(xiàn)了學(xué)生在解答過程中碰到的困難，是學(xué)生學(xué)習(xí)生活的真實(shí)寫照。②利用小精靈進(jìn)行提示：“別著急，從2個(gè)點(diǎn)開始，逐漸增加點(diǎn)數(shù)，找找規(guī)律?！边@提示語中包含著四層意思。一是“別著急”，不僅是對(duì)學(xué)生的安慰，也是提示學(xué)生停下來，想一想怎樣思考；二是“從2個(gè)點(diǎn)開始”，提示學(xué)生有序思考的起點(diǎn)；三是“逐漸增加點(diǎn)數(shù)”，是有序思考開展的路徑的提示；四是“找找規(guī)律”是解決問題的方法的提示。在這四個(gè)層次的提示下，為學(xué)生接下去的思考指明了方向。③在數(shù)形結(jié)合、有序列舉中，進(jìn)行有序的思考來探索規(guī)律的載體是表格、文字、算式。表格在點(diǎn)數(shù)一欄中采用畫圖的形式，從2個(gè)藍(lán)點(diǎn)連1條線段開始，依次增加1個(gè)點(diǎn)用紅點(diǎn)，藍(lán)點(diǎn)與紅點(diǎn)連接的新增加的線用虛線表示，原來在的藍(lán)點(diǎn)間的線段用實(shí)線表示。在這張表格中存在的關(guān)系有：增加條數(shù)與虛線是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系；增加條數(shù)與原來藍(lán)點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系；總條數(shù)是實(shí)線和虛線條數(shù)的和等等?？倵l數(shù)與總點(diǎn)數(shù)的關(guān)系以“總條數(shù)等于從1一直加到總點(diǎn)數(shù)減1的差”這種計(jì)算的方法用式子進(jìn)行了呈現(xiàn)。這式子與表格的圖、數(shù)都能建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，把存在于圖形、數(shù)中的規(guī)律利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行推理再抽象到式子，幫助學(xué)生進(jìn)行有序地思考，探索規(guī)律，簡(jiǎn)捷地解決問題。

（2）第二層次是“根據(jù)規(guī)律，你知道12個(gè)點(diǎn)、20個(gè)點(diǎn)能連多少條線段嗎？請(qǐng)寫出算式?！边@是對(duì)第一層次學(xué)習(xí)的檢查與應(yīng)用，進(jìn)一步明白點(diǎn)數(shù)、增加條數(shù)、總條數(shù)之間的關(guān)系，會(huì)用式子進(jìn)行表達(dá)與計(jì)算，再次經(jīng)歷用數(shù)表達(dá)形，感受到有條理思考后，利用規(guī)律解決問題的簡(jiǎn)捷，體會(huì)到數(shù)學(xué)思考的魅力。

（3）第三層次是“想一想，n個(gè)點(diǎn)能連多少條線段？”是在前兩個(gè)層次的基礎(chǔ)上提升。這個(gè)問題的解決，就從算式式子的表達(dá)過渡到含有字母的代數(shù)式的表達(dá)，是從算式思維到代數(shù)思維的轉(zhuǎn)變。在這個(gè)環(huán)節(jié)，經(jīng)歷了從特殊到一般的合情推理，以代數(shù)式的形式建模，學(xué)生抽象、推理、建模的、等基本數(shù)學(xué)思想和方法得到了訓(xùn)練，也為第三學(xué)段的學(xué)習(xí)做好鋪墊。

二、探索文本蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)思想和方法

例1蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)思考非常豐富。主要體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是模型思想和數(shù)形結(jié)合思想。解題思路的引領(lǐng)采用數(shù)形結(jié)合的形式，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想、列表法、列舉法、觀察法等。規(guī)律的表達(dá)抽象到代數(shù)式體現(xiàn)了抽象思想和模型思想。1.利用幾何直觀——畫圖連線，把“6個(gè)點(diǎn)連多少條線段”數(shù)學(xué)問題利用動(dòng)手操作轉(zhuǎn)化為具體形象的圖形，凸顯了轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想；2.從源頭2個(gè)點(diǎn)開始，逐一增加一個(gè)點(diǎn)，蘊(yùn)含了有序思考和列舉法；3.增加條數(shù)、總條數(shù)的數(shù)，每次增加都有規(guī)律，在有序列舉的基礎(chǔ)上，通過觀察法、分析法、合情推理等去找規(guī)律；4.“3個(gè)連成線段的條數(shù)：1+2=3（條）”把形抽象到算式，并與表格第2、3列的數(shù)與線一一對(duì)應(yīng)，一一對(duì)應(yīng)的思想溝通了數(shù)與形的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合的思想、一一對(duì)應(yīng)的思想、抽象的思想相得益彰；5.“根據(jù)規(guī)律，你知道12個(gè)點(diǎn)、20個(gè)點(diǎn)能連多少條線段嗎？請(qǐng)寫出算式?！泵撾x形，抽象到算式的形式來表達(dá)，把形抽象到數(shù)，要求學(xué)生在前個(gè)階段借助數(shù)形結(jié)合思考的基礎(chǔ)上，抽象到用數(shù)學(xué)語言數(shù)與式子來表達(dá)，使學(xué)生的抽象能力、分析能力、合情推理能力得到實(shí)在地訓(xùn)練；6.“想一想，n個(gè)點(diǎn)能連多少條線段？”要根據(jù)前面的研究，利用之前有序找到的例子，通過觀察、合情推理，把結(jié)論一般化，建立模型。不僅符號(hào)意識(shí)得到加強(qiáng)，更重要的是訓(xùn)練了合情推理能力和數(shù)學(xué)建模能力。

通過梳理，例1利用數(shù)形結(jié)合找規(guī)律不僅蘊(yùn)藏了最基本的數(shù)學(xué)思想抽象、推理、建模，還包含了數(shù)形結(jié)合、列表、枚舉、畫圖、運(yùn)算、觀察、分析等具體的數(shù)學(xué)方法。

教學(xué)內(nèi)容的解讀與思考要 “細(xì)”。首先“仔細(xì)”、“細(xì)致”全面周詳?shù)慕庾x教材，追溯前因后果。思考學(xué)生之前學(xué)習(xí)了哪些相關(guān)的知識(shí)？掌握了哪些相關(guān)的技能與方法？學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)是什么？如六下數(shù)學(xué)思考——利用數(shù)形結(jié)合找規(guī)律的前因更多的是各冊(cè)“數(shù)學(xué)廣角”的學(xué)習(xí)，在此基礎(chǔ)上，在解決實(shí)際問題的過程中回顧梳理數(shù)學(xué)思想和方法，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法“知其然，知其所以然”，為后繼的第三學(xué)段的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。其次注意“細(xì)節(jié)”，體會(huì)實(shí)驗(yàn)教材與新教材的“細(xì)小”變化。如六下數(shù)學(xué)思考——利用數(shù)形結(jié)合找規(guī)律，新教材增加了“想一想，n個(gè)點(diǎn)能連多少條線段？”新增的問題，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力與代數(shù)思想的要求更高了，跟第三學(xué)段的銜接更加近了。教材解讀是“細(xì)工出慢活”，需要靜下心來讀，靜下心來思。

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